Notes de cours Outils de base en analyse appliquée

Notes de cours
Outils de base en analyse appliquée
Hervé Le Dret
12 décembre 2015

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Table des matières
1 Topologie 1
1.1 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Espacesmétriques.......................... 10
1.3 Espacescomplets.......................... 22
1.4 Espacescompacts.......................... 31
1.5 Espaces séparables, espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6 Quelques remarques sur la topologie des ouverts de Rd...... 52
2 Espaces vectoriels normés, espaces de Banach 57
2.1 Définition des espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 EspacesdeBanach ......................... 66
2.3 Inverses et spectre dans L(E)................... 74
2.4 Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3 Dualité dans les espaces de Banach 81
3.1 Le concept de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Identification d’un dual à l’aide d’un espace de Banach . . . . . . 84
3.3 Une notion affaiblie de convergence dans E0............ 88
3.4 La notion d’application linéaire transposée . . . . . . . . . . . . . 91
4 Espaces de Hilbert réels et complexes 93
4.1 Produit scalaire et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Propriétés des espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Dualité des espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Lanotiond’adjoint .........................108
4.5 Spectre d’un opérateur auto-adjoint compact . . . . . . . . . . . . 110
5 Les espaces Lp115
5.1 Rappels sur la théorie de la mesure et l’intégration . . . . . . . . . 115
5.2 Densité des fonctions continues dans Lp..............138
5.3 Dualité entre Lpet Lp0........................141
3

4 TABLE DES MATIÈRES
5.4 Convolution et régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6 Distributions sur un ouvert de Rd153
6.1 Présentation des idées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2 Définition des distributions et premières propriétés . . . . . . . . 157
6.3 Opérations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4 Exemples de distributions et d’équations dans D0.........171
6.5 Support d’une distribution, distributions à support compact . . . . 176
7 Transformation de Fourier 181
7.1 Définition sur l’espace L1. .....................181
7.2 Formule d’inversion de Fourier et extension à L2.........185
7.3 Espace de Schwartz et transformation de Fourier . . . . . . . . . 187
7.4 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.5 Opérations et transformation de Fourier sur les distributions tem-
pérées ................................195
8 Espaces de Sobolev 201
8.1 Définition des espaces de Sobolev sur Rd.............201
8.2 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 Les espaces Hm(Ω),Hm
0(Ω)et H−m(Ω)..............210
9 Deux exemples de résolution d’EDP 215
9.1 Résolution du problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2 Résolubilité locale des opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . 217

Avant-propos
Les notes de cours : mode d’emploi
Les notes qui suivent sont à bien des égards trop fournies. Le cours en amphi
n’en traitera qu’une partie, parfois sans entrer dans les détails. Les lecteurs et
lectrices curieux et curieuses pourront souvent trouver les détails en question dans
ces notes et pourront également, du moins on l’espère, conserver celles-ci pour s’y
référer plus tard, dans une étape ultérieure de leur carrière mathématique.
Certains points particulièrement épineux, ou qui peuvent être passés en pre-
mière voire deuxième lecture, sont indiqués par un signe de danger radioactif
dans la marge. Certaines sections sont même totalement radioactives. On ne s’en
approchera que muni des protections appropriées.