•
l’intersection de
A
et
B
comme l’ensemble des éléments de
E
qui appartiennent à la fois à
A
et
B. On la note A∩Bet le symbole ∩se lit « inter » :
x∈A∩B⇔(x∈Aet x∈B).
Proposition 17. Soient A, B des parties d’un ensemble E. Alors on a :
(A∩B)⊂A⊂(A∪B)et (A∩B)⊂B⊂(A∪B).
On peut également vouloir considérer, dans un ensemble
E
, tous les éléments sauf certains. On dit que
l’on prive Ede ces éléments et l’on note :
•Er{x}l’ensemble constitué de tous les éléments de Esauf x;
•Er{x1, x2, . . . , xn}l’ensemble constitué de tous les éléments de Esauf x1, x2, . . . , xn;
•ErAl’ensemble constitué de tous les éléments de Esauf ceux de la partie A.
2.2 Les ensembles de nombres
L’ensemble
{0,1,2,3,4, . . . }
des (nombres) entiers naturels est noté
N
(avec une double-barre !) et
l’ensemble
{. . . , −2,−1,0,1,2, . . . }
des (nombres) entiers relatifs est noté
Z
. On parle parfois d’entiers
(tout court) et le contexte permet de déterminer s’il s’agit d’entiers naturels ou relatifs.
Un nombre est dit rationnel s’il peut s’écrire comme un quotient d’entiers (naturels ou relatifs). On
note
Q
l’ensemble des (nombres) rationnels. Parmi les rationnels, on peut mettre en exergue l’ensemble
Ddes (nombres) décimaux où un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire comme le quotient
d’un entier par une puissance de 10.
L’ensemble
R
des (nombres) réels est l’ensemble de tous les nombres connus en classe de seconde. Il
contient donc les entiers naturels et relatifs, les décimaux et rationnels, mais également des nombres
dits irrationnels tels que √2ou π.
Remarque 18.
La racine carrée de tout entier naturel qui n’est pas un carré parfait est un irrationnel.
Proposition 19. On a N⊂Z⊂ D ⊂ Q⊂Ret ces inclusions sont strictes.
Remarque 20
(Écriture décimale)
.
Il y a une différence entre les nombres décimaux et l’écriture
décimale d’un nombre. En effet, l’écriture décimale est une façon d’écrire un nombre « avec une vigule »
et tous les nombres réels admettent une écriture décimale. Et les nombres décimaux sont exactement
ceux qui admettent une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
De façon générale, l’écriture décimale est à utiliser avec parcimonie car elle ne donne souvent qu’une
valeur approchée du nombre ; on ne peut écrire une infinité de décimales. Or en mathématiques, on
privilégie les valeurs exactes. On préfère donc autant que faire se peut, les notations
√2
et
π
plutôt
que 1,41 et 3,14 respectivement.
En particulier, pour les rationnels, on utilise l’écriture fractionnaire avec les règles de calcul idoines.
3 Quantificateurs
Avec les connecteurs logiques et le langage de la théorie des ensembles, les quantificateurs permettent
de construire des assertions complexes. Il en existe deux.
3.1 Le quantificateur universel
Définition 21.
Le quantificateur universel permet de spécifier le domaine de validité d’une assertion.
Il se note ∀et se lit « quelque soit » ou « pour tout ».
Exemple 22. L’assertion (∀x∈R, x2>0) signifie « pour tout réel x, on a x2est positif (ou nul) ».
Méthodologie.
Pour démontrer une assertion quantifiée universellement, on commence par considérer
la quantité quantifiée. Par exemple, pour démontrer (
∀x∈R, x2>
0), on commence par écrire « Soit
x∈R» et l’on démontre la suite.
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