Nombres premiers BI

Nombres premiers
1 Nombres premiers
Définition : 1.1
Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou
égal à 2 qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-
même.
Remarque 1.2
Le nombre 1 n’est pas premier par définition
Exemple 1.3
Les nombres 2,3,5,7,11 sont premiers les seuls
diviseurs de ces nombres sont 1 et lui-même
Nombres premiers inferieur a 100 1.4
Pour déterminer les entiers premiers inférieurs a 100
1. Le nombre 1 n’est pas premier par définition
2. On retient que les nombres qui ont 1 et lui même comme
diviseurs
3. On hachure les nombres qui ont comme diviseurs outre que 1
et lui-même, 2,3, 4,5,…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
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28
29
30
31
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33
34
35
36
37
38
39
40
41
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44
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46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

Ainsi Les nombres
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,7
9,83,89,97
Sont premiers
2 Test de primalité
Teste 2.1
Pour savoir si un entier naturel n est premier, on
peut tester sa divisibilité par tous les nombres
premiers inférieurs à n dont le carré est inférieur ou
égal à n.
 Si aucun de ces nombres premiers ne divise n,
alors n est premier ;
 Sinon n n'est pas premier.
Exemple 2.2
𝒂 = 𝟐𝟑𝟑 n’est pas divisible par 2,3,4,5 par critères de
divisibilité
On a : √𝒂 ≅ 𝟏𝟓,𝟐𝟔 donc les nombres premiers
inferieur à 15,26 sont 2 ;3 ;5 ;7 ;11 et 13
Comme ces nombres ne divise pas 𝒂 alors 𝒂 est
premier
Théorème : 2.3
Soit 𝒏 ≥ 𝟐 un entier. Il existe des nombres
premiers 𝒑𝟏< 𝒑𝟐< ⋯ < 𝒑𝒓 , et des exposants entiers
𝜶𝟏, 𝜶𝟐,..,𝜶𝒓≥ 𝟏 , tels que : 𝒏 = 𝒑𝟏𝜶𝟏× 𝒑𝟐𝜶𝟐× … × 𝒑𝒓𝜶𝒓 de
plus cette décomposition elle est unique
Exemple : 2.4
 𝟐𝟒 = 𝟐𝟑× 𝟑 est la décomposition en facteurs
premiers
 𝟑𝟔 = 𝟑𝟐× 𝟗 n’est la pas décomposition en facteurs
premiers

Remarque : 2.5
Pourquoi 𝟏 n’est pas un nombre premier
𝟐𝟒 = 𝟐𝟑× 𝟑 = 𝟏 × 𝟐𝟑× 𝟑 = 𝟏𝟐× 𝟐𝟑× 𝟑 …
Exemple : 2.6
𝟓𝟎𝟒 = 𝟐𝟑× 𝟑𝟐× 𝟕 et 𝟑𝟎𝟎 = 𝟐𝟐× 𝟑 × 𝟓𝟐
𝟓𝟎𝟒 = 𝟐𝟑× 𝟑𝟐× 𝟓𝟎× 𝟕𝟏 ; 𝟑𝟎𝟎 = 𝟐𝟐× 𝟑𝟏× 𝟓𝟐× 𝟕𝟎
Le PGCD(300,504) s’obtient en prenants le plus petit
exposant de chaque facteur premier
𝑷𝑮𝑪𝑫(𝟑𝟎𝟎,𝟓𝟎𝟒)= 𝟐𝟐× 𝟑𝟏× 𝟓𝟎× 𝟕𝟎=𝟏𝟐
Le PPCM (300,504) s’obtient en prenants le plus grand
exposant de chaque facteur premier
𝑷𝑷𝑪𝑴(𝟑𝟎𝟎,𝟓𝟎𝟒)= 𝟐𝟑× 𝟑𝟐× 𝟓𝟐× 𝟕𝟏=𝟏𝟐𝟔𝟎𝟎
3 Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par
2 : si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, ou 8.
3 : si la somme des chiffres est un multiple de 3.
5 : si le dernier chiffre est 0 ou 5.
9 : si la somme des chiffres est un multiple de 9.
10 : si le dernier chiffre est 0.
Teste1 3.1
3 x 5² + 35 est-il un multiple de 5 ?
13 divise-t-il 12 X 12 X 12 X 12 - 1 ?
1 est-il premier ?
Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs ou
égaux à 50 ?
45 783 est-il un nombre premier ?
4 est-il premier ?
9 est-il premier ?
4 et 9 sont-ils premiers entre eux ?

55 + 251 est-il un multiple de 5?
12 est-il un diviseur de 12 ?