Nombres premiers BI

Nombres premiers
1 Nombres premiers
1.1 Définition :
Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou
égal à 2 qui a exactement deux diviseurs : 1 et luimême.
1.2 Remarque
Le nombre 1 n’est pas premier par définition
1.3 Exemple
Les nombres 2,3,5,7,11 sont premiers les seuls
diviseurs de ces nombres sont 1 et lui-même
1.4 Nombres premiers inferieur a 100
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Pour déterminer les entiers premiers inférieurs a 100
1. Le nombre 1 n’est pas premier par définition
2. On retient que les nombres qui ont 1 et lui même comme
diviseurs
3. On hachure les nombres qui ont comme diviseurs outre que 1
et lui-même, 2,3, 4,5,…
Ainsi Les nombres
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,7
9,83,89,97
Sont premiers
2 Test de primalité
2.1 Teste
Pour savoir si un entier naturel n est premier, on
peut tester sa divisibilité par tous les nombres
premiers inférieurs à n dont le carré est inférieur ou
égal à n.
 Si aucun de ces nombres premiers ne divise n,
alors n est premier ;
 Sinon n n'est pas premier.
2.2 Exemple
𝒂 = 𝟐𝟑𝟑 n’est pas divisible par 2,3,4,5 par critères de
divisibilité
On a : √𝒂 ≅ 𝟏𝟓, 𝟐𝟔 donc les nombres premiers
inferieur à 15,26 sont 2 ;3 ;5 ;7 ;11 et 13
Comme ces nombres ne divise pas 𝒂 alors 𝒂 est
premier
2.3 Théorème :
Soit 𝒏 ≥ 𝟐 un entier. Il existe des nombres
premiers 𝒑𝟏 < 𝒑𝟐 < ⋯ < 𝒑𝒓 , et des exposants entiers
𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , . . , 𝜶𝒓 ≥ 𝟏 , tels que : 𝒏 = 𝒑𝟏 𝜶𝟏 × 𝒑𝟐 𝜶𝟐 × … × 𝒑𝒓 𝜶𝒓 de
plus cette décomposition elle est unique
2.4 Exemple :
 𝟐𝟒 = 𝟐𝟑 × 𝟑 est la décomposition en facteurs
premiers
 𝟑𝟔 = 𝟑𝟐 × 𝟗 n’est la pas décomposition en facteurs
premiers
2.5 Remarque :
Pourquoi 𝟏 n’est pas un nombre premier
𝟐𝟒 = 𝟐𝟑 × 𝟑 = 𝟏 × 𝟐𝟑 × 𝟑 = 𝟏𝟐 × 𝟐𝟑 × 𝟑 …
2.6 Exemple :
𝟓𝟎𝟒 = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟐 × 𝟕
et
𝟓𝟎𝟒 = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟐 × 𝟓𝟎 × 𝟕𝟏
𝟑𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 × 𝟑 × 𝟓𝟐
;
𝟑𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 × 𝟑𝟏 × 𝟓𝟐 × 𝟕𝟎
Le PGCD(300,504) s’obtient en prenants le plus petit
exposant de chaque facteur premier
𝑷𝑮𝑪𝑫(𝟑𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟒) = 𝟐𝟐 × 𝟑𝟏 × 𝟓𝟎 × 𝟕𝟎 = 𝟏𝟐
Le PPCM (300,504) s’obtient en prenants le plus grand
exposant de chaque facteur premier
𝑷𝑷𝑪𝑴(𝟑𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟒) = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟐 × 𝟓𝟐 × 𝟕𝟏 = 𝟏𝟐𝟔𝟎𝟎
3 Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par
2 : si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, ou 8.
3 : si la somme des chiffres est un multiple de 3.
5 : si le dernier chiffre est 0 ou 5.
9 : si la somme des chiffres est un multiple de 9.
10 : si le dernier chiffre est 0.
3.1 Teste1
3 x 5² + 35 est-il un multiple de 5 ?
13 divise-t-il 12 X 12 X 12 X 12 - 1 ?
1 est-il premier ?
Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs ou
égaux à 50 ?
45 783 est-il un nombre premier ?
4 est-il premier ?
9 est-il premier ?
4 et 9 sont-ils premiers entre eux ?
55 + 251 est-il un multiple de 5?
12 est-il un diviseur de 12 ?