ALGÈBRE LINÉAIRE 1 Résolution de systèmes d`équations

Lycée Henri Dupuy de Lôme
MPSI
Programme de colle : semaine 16 (du 22 au 26 février 2016)
ALGÈBRE LINÉAIRE
le (tout) début
Dans toute la suite chapitre,
1
K désignera le corps R ou C.
Résolution de systèmes d'équations linéaires
1. Systèmes d'équations linéaires
Système de n équations linéaires à p inconnues, coecients du système, second membre, inconnue(s).
Système homogène, système homogène associé à un système.
Système compatible, incompatible (un système homogène est toujours compatible).
Systèmes équivalents, opérations élémentaires sur les lignes d'un système.
2. Exemples importants
Systèmes triangulaires : simplicité de la résolution (et de la description des solutions) lorsque les coecients diagonaux sont non nuls.
Systèmes échelonnés (on n'a pas nécessairement n = p) : dénitions (équations principales, équations de compatibilité, inconnues principales, inconnues secondaires), résolution, écriture de l'ensemble des solutions, nombre de
solutions.
3. Résolution d'un système : la méthode du pivot de Gauss
Transformation explicite et pratique d'un système quelconque en un système échelonné qui lui est équivalent.
4. Systèmes de Cramer
Systèmes de Cramer (dans le cas où n = p) : dénition, exemples. Lien avec la méthode du pivot de Gauss, (non)
lien avec le second membre du système, lien avec le système homogène associé ; cas où n = p = 2.
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Début du cours sur les espaces vectoriels
1. Structure d'espace vectoriel
Dénition d'un K-espace vectoriel ; exemples (Kn , pour tout n ∈ N∗ ; RN , F (R, R), K[X]...) ; quelques règles de
calcul (0 et ~0 sont absorbants, intégrité mixte, passage à l'opposé mixte )
2. Notion de sous-espace vectoriel
Combinaison linéaire d'une famille nie de vecteurs ; dénition d'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel ;
caractérisation : une partie F de l'espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement
si F contient ~0 et est stable par combinaison linéaire ; exemples (dans les espaces vectoriels usuels ) ;
sous-espace vectoriel engendré par une famille nie de vecteurs ; droite vectorielle, plan vectoriel.
3. Intersection et somme de deux sous-espaces vectoriels
L'intersection de deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E .
L'union de deux sous-espaces vectoriels de l'espace E n'est pas, en général, un sous-espace vectoriel de E , ce qui
nous amène à dénir la somme de deux sous-espaces vectoriels F1 et F2 de l'espace vectoriel E , qui, elle, est un
déf
sous-espace vectoriel de E : F1 + F2 = {~u1 + ~u2 ; ~u1 ∈ F1 , ~u2 ∈ F2 }
L'unicité d'une écriture selon F1 + F2 équivaut à F1 ∩ F2 = {~0} : dans ce cas, on dit que F1 et F2 sont en somme
directe ; sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Toutes les dénitions et tous les énoncés des propositions doivent être sus, et feront éventuellement
l'objet d'une question de cours. Les élèves pourront également être interrogés sur la démonstration de l'un des
résultats suivants (choisi par l'interrogateur) :
• L'ensemble des suites bornées est un sous-espace vectoriel de RN .
• Etant donnés n vecteurs ~u1 , · · · , ~un d'un espace vectoriel E , l'ensemble des combinaisons linéaires de (~u1 , · · · , ~un )
est un sous-espace vectoriel de E .
• Etant donné un K-espace vectoriel E , F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E , l'ensemble F1 + F2 est un
sous-espace vectoriel de E , contient F1 ∪ F2 , et c'est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient F1 ∪ F2 .
• L'unicité d'une écriture selon F1 + F2 équivaut à F1 ∩ F2 = {~0}.
• K1 [X] et Vect(X 2 ) sont deux sous-espaces vectoriels de K2 [X], supplémentaires dans K2 [X].