Algèbre 1

ALGEBRE
1
Algèbre 1
ACTIVITÉ 1Des expressions égales CHERCHER : Changer de registre
On considère la figure codée ci-dessous
.
.A.B
.C
.D
.x
.x
.x
.x
.x.x.x.4
.5
1) Exprimer l’aire du rectangle ABCD de deux façons
différentes en utilisant les distances codées sur le
dessin
2) Que peut on alors dire des quantités (3x+4)(4x+5)
et de 12x2+31x+20 ?
3) Comment appelle t’on la manipulation algébrique
qui passe de (3x+4)(4x+5)à12x2+31x+20 ?
4) Comment appelle t’on la manipulation algébrique
qui passe de 12x2+31x+20 à(3x+4)(4x+5)?
5) Démontrer par un calcul que :
Pour toute valeur de x:(3x+4)(4x+5)est bien
égal à 12x2+31x+20
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ACTIVITÉ 2Des expressions égales (bis) CHERCHER : Changer de registre
Dans un carré de côté 10 on dessine 4 carrés aux coins
de côté a.
.
.a
1) Exprimer de deux manières différentes l’aire de la
partie grisée en fonction de a
2) Vérifier par un calcul algébrique que les deux expres-
sions trouvées sont bien égales.
3) En découpant les 4 coins , on obtient le patron d’un
pavé ouvert sur le dessus.
Exprimer en fonction de ale volume de la boite ainsi
obtenue
ACTIVITÉ 3
Un carré de côté nest quadrillé en n2petit carré ( comme sur les schémas ci-dessous)
On note A(n)le nombre de carrés en périphérie ( Partie grisée sur les schémas ci-dessous)
1) Donner les valeurs de A(6)et A(10)
2) Exprimer A(n)en fonction de n.
Expliquer votre raisonnement.
3) Application : Utiliser cette formule pour calculer le nombre de carreaux gris dans le cas d’un
carré de coté 165
4) Quelle est la valeur de npour que le nombre de carreaux gris soit égal à 964 ?
5) Existe-t-il une valeur de ntelle que le nombre de carreaux gris soit égal à 1 242 ?
Figure 1
.
Figure 2
.
2

ACTIVITÉ 4
On pose f(x) = (2x+1)2−16.
1) Développer et réduire f(x)
2) Factoriser f(x).
3) En choisissant pour f(x)la forme la plus adaptée :
a) Calculer f(0),f(3), f−1
5et f√2
b) Résoudre l’équation f(x) = −15.
c) Résoudre l’équation f(x) = 0.
d) Résoudre l’équation f(x) = −16.
3

Cours - Méthodes
1. Règles d’écriture et priorités opératoires
En Mathématiques, les nombres avec lesquels on calcule sont souvent remplacés par des lettres.
Exemple : Si on note xla longueur du côté d’un carré, le périmètre du carré dépend donc de xet est donné par
l’expression P(x) = x+x+x+x=4×x
Le signe ×de la multiplication est souvent omis, et les deux termes de la multiplication accolés Dans l’exemple
précédent, on notera donc : P(x) = 4x
On effectue les opérations en respectant l’ordre de priorité :
Les parenthèses en commençant par celles qui sont le plus intérieures en cas de parenthèses imbriquées
Les puissances
Les produits et quotients
Les sommes et différences
2. Développement et factorisation
Une expression factorisée est une expression pour laquelle le dernier calcul effectué est une multiplication
Une expression développée est une expression pour laquelle le dernier calcul effectué est une somme (ou différence)
Soient a,bet ktrois nombres on a les formules de développement ci-dessous
k(a+b) = ka +kb et k(a+b) = ka +kb
Formule du double développement :
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
3. Propriété du passage au carré
A. Identités remarquables
Pour tous nombres réels aet bon a :
t(a+b)2=a2+2ab +b2
Ainsi le carré d’une somme n’est en général pas égal à la somme des carrés
t(a−b)2=a2−2ab +b2
Ainsi le carré d’une différence n’est en général pas égal à la différence des carrés
t(a−b)(a+b) = a2−b2
Ces formules doivent être connues et appliquées à bon escient.
Exemple
À(x−5)(x+5) = x2−25
Á(x−11)2=x2−22x+121
B. Carré d’un produit ou d’un quotient
Pour tous nombres réels aet bon a :
t(a×b)2=a2×b2
Ainsi le carré d’un produit est égal au produit des carrés
4Chapitre A1. Algèbre 1

Cours - Méthodes
ta
b2=a2
b2
Ainsi le carré d’un quotient est égal au quotient des carrés
Exemple
À(2x−5)2=4x2−20x+25
Á2
3x−92
=4
9x2−12x+81
Chapitre A1. Algèbre 1 5