Algèbre 1

ALGEBRE
1
Algèbre 1
ACTIVITÉ 1 Des expressions égales
On considère la figure codée ci-dessous
.x
.x
.4
.D .x
CHERCHER : Changer de registre
.C
.x
1) Exprimer l’aire du rectangle ABCD de deux façons
différentes en utilisant les distances codées sur le
.x
dessin
2) Que peut on alors dire des quantités (3x + 4)(4x + 5)
.x
et de 12x2 + 31x + 20 ?
3) Comment appelle t’on la manipulation algébrique
.x
qui passe de (3x + 4)(4x + 5) à 12x2 + 31x + 20 ?
4) Comment appelle t’on la manipulation algébrique
qui passe de 12x2 + 31x + 20 à (3x + 4)(4x + 5) ?
5) Démontrer par un calcul que :
.5
Pour toute valeur de x : (3x + 4)(4x + 5) est bien
égal à 12x2 + 31x + 20
.
.A
.B
1
ACTIVITÉ 2 Des expressions égales (bis)
CHERCHER : Changer de registre
Dans un carré de côté 10 on dessine 4 carrés aux coins
de côté a.
1) Exprimer de deux manières différentes l’aire de la
partie grisée en fonction de a
2) Vérifier par un calcul algébrique que les deux expressions trouvées sont bien égales.
3) En découpant les 4 coins , on obtient le patron d’un
pavé ouvert sur le dessus.
Exprimer en fonction de a le volume de la boite ainsi
obtenue
.
.a
ACTIVITÉ 3
Un carré de côté n est quadrillé en n2 petit carré ( comme sur les schémas ci-dessous)
On note A(n) le nombre de carrés en périphérie ( Partie grisée sur les schémas ci-dessous)
1) Donner les valeurs de A(6) et A(10)
2) Exprimer A(n) en fonction de n.
Expliquer votre raisonnement.
3) Application : Utiliser cette formule pour calculer le nombre de carreaux gris dans le cas d’un
carré de coté 165
4) Quelle est la valeur de n pour que le nombre de carreaux gris soit égal à 964 ?
5) Existe-t-il une valeur de n telle que le nombre de carreaux gris soit égal à 1 242 ?
Figure 2
Figure 1
.
.
2
ACTIVITÉ 4
On pose f ( x ) = (2x + 1)2 − 16.
1) Développer et réduire f ( x )
2) Factoriser f ( x ).
3) En choisissant pour f ( x ) (la forme
adaptée :
) la plus
(√ )
1
a) Calculer f (0), f (3), f −
et f
2
5
b) Résoudre l’équation f ( x ) = −15.
c) Résoudre l’équation f ( x ) = 0.
d) Résoudre l’équation f ( x ) = −16.
3
Cours - Méthodes
1. Règles d’écriture et priorités opératoires
En Mathématiques, les nombres avec lesquels on calcule sont souvent remplacés par des lettres.
Exemple :
Si on note x la longueur du côté d’un carré, le périmètre du carré dépend donc de x et est donné par
l’expression P( x ) = x + x + x + x = 4 × x
Le signe × de la multiplication est souvent omis, et les deux termes de la multiplication accolés Dans l’exemple
précédent, on notera donc :
P( x ) = 4x
On effectue les opérations en respectant l’ordre de priorité :
Les parenthèses en commençant par celles qui sont le plus intérieures en cas de parenthèses imbriquées
Les puissances
Les produits et quotients
Les sommes et différences
2. Développement et factorisation
Une expression factorisée est une expression pour laquelle le dernier calcul effectué est une multiplication
Une expression développée est une expression pour laquelle le dernier calcul effectué est une somme (ou différence)
Soient a, b et k trois nombres on a les formules de développement ci-dessous
k( a + b) = ka + kb et k( a + b) = ka + kb
Formule du double développement :
( a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
3. Propriété du passage au carré
A. Identités remarquables
Pour tous nombres réels a et b on a :
t ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ainsi le carré d’une somme n’est en général pas égal à la somme des carrés
t ( a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Ainsi le carré d’une différence n’est en général pas égal à la différence des carrés
t ( a − b)( a + b) = a2 − b2
Ces formules doivent être connues et appliquées à bon escient.
Exemple
À ( x − 5)( x + 5) = x2 − 25
Á ( x − 11)2 = x2 − 22x + 121
B. Carré d’un produit ou d’un quotient
Pour tous nombres réels a et b on a :
t ( a × b )2 = a2 × b2
Ainsi le carré d’un produit est égal au produit des carrés
4
Chapitre A1. Algèbre 1
Cours - Méthodes
t
( a )2
a2
b
b2
Ainsi le carré d’un quotient est égal au quotient des carrés
=
Exemple
À (2x − 5)2 = 4x2 − 20x + 25
(
)2
2
4
Á
x − 9 = x2 − 12x + 81
3
9
Chapitre A1. Algèbre 1 5
S’entraîner
Calcul algébrique ou litteral
1
1)
Développer les expressions suivantes :
A( x ) = x (3x − 2)
2)
B( x ) = (7x − 6)(2x − 1)
3)
C ( x ) = x (2x2 − 3x + 7)
8)
On rappelle que
×)x =
( ;
9
x − 100 (50x − 20)
4)
D(x) =
2
5)
E ( x ) = ( x + 5)2
x2
6)
2
F ( x ) = (2x
− 5)2
7)
x3
9)
10)
11)
G ( x ) = (5x − 3y)2
(
)
5
1 2
H (x) =
x+
2
2
I ( x ) = ( x − 12)( x + 12)
J ( x ) = ((
2x − 3)()
2x(+ 3)
)
2
2
K(x) =
x−1
x+1
7
7
Associer à chaque phrase l’expression algébrique qui lui correspond :
3
x
a. Le quotient du produit de 2 et de x par la somme de 3 et de x
1.
2x +
b.
Le produit de la somme de 2 et de x et de la différence de 3 et de x
2.
2x
3+x
c.
La somme du produit de 2 et de x et du quotient de 3 par x
3.
(2 + x )(3 − x )
d.
La différence du quotient de 2 par x et de la somme de 3 et de x
4.
2−x
3x
e.
Le quotient de la différence de 2 et de x par le produit de 3 et de x
5.
3
2
− (3 + x )
x
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse :
( a + 3)2 = a2 + 9
2) Il existe un nombre a tel que : ( a + 3)2 = a2 + 9
3) Pour tout nombre x, 9 − x2 = ( x + 3)( x3)
4) Pour tout nombre x, x3 − 4x = x ( x + 2)( x2)
5) Pour tout nombre u, (u − 1)2 = u2 − 1
(
)
1 2
1
6) Pour tout réel x non nul,
x+
= x2 + 2
x
x
7) L’ensemble des solutions de l’équation x2 = 9 est S = {3}
8) L’ensemble des solutions de l’équation x2 + 4 = 0 est S = {−2; 2}
9) Pour tout nombre x, (2x )2 = 2x2
10)Pour tout nombre x, (−3x )2 = −9x2
11)Pour tous nombres a et b, a2 + b2 est un nombre strictement positif .
12)L’opposé d’une somme est la somme des opposés.
13)L’opposé d’un produit est le produit des opposés.
14)L’opposé d’une somme est la somme des opposés.
15)L’inverse de la somme de deux nombres est égal à la somme des inverses de ces nombres.
16)Le carré du double d’un nombre est égal au double du carré de ce nombre.
17)Le double du produit de deux nombres est le produit du double de ces nombres..
√
18)Pour tous nombres a et b,
a2 + b2 = a + b
1) Pour tout nombre a,
6
Chapitre A1. Algèbre 1
S’entraîner
√
19)Pour tous nombres a et b,
a2 × b2 = a + b
2x + 1
x+1
20)Pour tout nombre x,
=
4
2
3
4x + 6
2
21)Pour tout nombre x ,
=
2
6x + 9
3
1 1
2
22)Pour tous nombres a et b non nuls,
+ =
a
b
a+b
4
1)
3)
5)
7)
5
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse :
4
1
4+ = 5−
2) 172 − 152 = 22
3
3(
)2
1
9
x2 + x − 4 = x +
−
4) x2 + ( x − 4)2 = 2( x − 2)2 + 8
2
4
√
√
√
√
9+4 6 = 3+2 6
6)
a2 + b2 = a + b
√
2+ 5
2
4x − 5
5
√ =
8)
= 2−
3
2x
+
1
2x
−1
3+ 5
Reconnaître la forme d’une expression algébrique (somme, produit, carré, différence)
x et y étant deux nombres non nuls. Ecrire :
Phrase
Expression algébrique
La somme de leurs inverses
L’inverse de la somme de leurs carrés
La différence du carré de x et de son inverse
x 2 − y2
Le quotient du double de x par l’inverse de y
6
Cocher la bonne réponse :
1) L’écriture réduite et ordonnée de 5x2x2 − 4x est :
− x2
−2x2 + x
− x4
Aucune de ces réponses
2) L’écriture réduite et ordonnée de x2 + 5x − 4 − 7x + 3x2 − 1 est :
−3x6
2x2 − 5
−4x2 − Aucune de ces réponses
2x − 5
(
)
3) L’écriture réduite et ordonnée de 2 x − 3x2 − x (1 − 2x ) est :
−4x2 + x
7
−8x2 + x
−3x2
Aucune de ces réponses
Cocher la bonne réponse :
1) 9x2 − 49 est égal à :
(3x − 7)(3x + 7)
2) 4x2 + 12x + 9 est égal à :
(3x − 7)2
(3x + 7)2
(2x − 3)(2x + 3)
2
3) x + 36 est :
(2x − 3)2
(2x + 3)2
( x − 6)( x + 6)
4) ( x − 1)2 − 36 est :
( x + 6)2
Aucune de ces réponses
( x − 7)( x + 5)
5) (2x − 3)2 − ( x + 1)2 est :
( x − 7)2
( x + 5)2
( x − 4)2
(3x − 2)( x − 2)
( x − 4)(3x − 2)
Chapitre A1. Algèbre 1 7