Chap 4 Les racines carrées I Racine carrée d`un nombre positif

Chap 4 Les racines carrées
I Racine carrée d’un nombre positif
Définition 1 :
La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est égal à a.
Ce nombre se note
!
a
.
Le symbole
!
s’appelle le radical.
Autrement dit : Pour tout nombre positif a :
!
a
existe ,
!
a"0
,
!
a
( )
2
=a
Exemples :
!
9
est le nombre positif dont le carré est égal à 9, d’où :
!
9=3
!
25
est le nombre positif dont le carré est égal à 25, d’où
!
25 =5
.
!
2
est le nombre positif dont le carré est 2.
!
2
n’a pas d’écriture décimale ni fractionnaire.
C’est un nombre irrationnel. On ne peut donner que des valeurs décimales approchées du
nombre
!
2
.
Attention
!
-9
n’a pas de sens. Il n’existe aucun nombre dont le carré soit égal à -9.
Exemples : Donner l’écriture entière des nombres suivants :
!
1,7
( )
2
=1,7
!
"16 ="4
!
3"5
( )
2
=32"5
( )
2
=9"5=45
Remarque : Pour tout nombre positif a, le nombre
!
"a
désigne l’opposé du nombre
!
a
.
Propriété 1 : Pour tout nombre positif a :
!
a2=a
Démonstration :
!
a2
est par définition le nombre positif dont le carré est égal à
!
a2
.
Or les seuls nombres dont le carré est égal à
!
a2
sont a et –a .
Comme a est positif alors :
!
a2=a
.
Exemple :
!
112=11
Définition 2 :
On appelle carré parfait un nombre entier positif dont la racine carrée est un nombre entier.
Exemples :
0 ;1 ;4 ;9 ;16 ; 25 ;36 ; 49 ;64 ;81 ;100 ;121 ;144 ;169 ;196 ;225 sont des carrés parfaits.
En effet :

!
1=12=1
4=22=2
9=32=3
25 =52=5
!
36 =62=6
49 =72=7
64 =82=8
81 =92=9
100 =102=10
121 =112=11
144 =122=12
169 =132=13
196 =142=14
225 =152=15
II Produit et quotient de deux radicaux
Propriété 2 :
La racine carrée du produit de deux nombres positifs est égale au produit de leur racine
carrée.
Autrement dit : Si a et b sont des nombres positifs alors :
!
a"b=a "b
Démonstration :
!
a "b
( )
2
=a
( )
2
"b
( )
2
=a"b
Ce qui signifie que
!
a "b
(qui est positif) a pour carré
!
a"b
.
Or par définition
!
a"b
est l’unique nombre positif dont le carré est
!
a"b
.
Par conséquent
!
a "b = a "b
.
Exemples :
1°)
!
8 "2 = 8 "2=16 =4
2°)
!
4"3=4"3=2"3=2 3
Propriété 3:
La racine carrée du quotient de deux nombres positifs non nuls est égale au quotient de leur
racine carrée.
Autrement dit Si a et b sont des nombres positifs avec b non nul alors :
!
a
b=a
b
Démonstration :

!
a
b
"
#
$
%
&
'
2
=
a
( )
2
b
( )
=a
b
Ce qui signifie que
!
a
b
(qui est un quotient positif) a pour carré
!
a
b
.
Or par définition
!
a
b
est l’unique nombre positif dont le carré est
!
a
b
.
Par conséquent
!
a
b=a
b
.
Exemples :
1°)
!
100
49 =100
49 =10
7
2°)
!
72
2=72
2=36 =6
Attention : En général :
!
a+b"a+b
En effet :
!
16 +9=4+3=7
16 +9=25 =5
donc 16 +9"16 +9
Les savoir-faire du chapitre 4

Soient a,b, et n des nombres entiers positifs.
1) Ecrire le nombre
!
n
sous la forme
!
a b
avec b le plus petit
possible.
Méthode: Ecrire le nombre n sous la forme d’un produit dont un facteur est un carré
parfait.
Exemples:
!
45 72
=9"5 = 36 "2
=9"5 = 36 "2
=35 = 6 2
2) Simplifier une somme avec des radicaux.
Méthode : Ecrire chaque
!
n
sous la forme
!
a b
avec b le plus petit possible de façon à
faire apparaître un facteur commun puis factoriser .
Exemples :
!
A=12 +5 27 B = 3 200 +4 18 "32
A=4#3+5 9 #3 B = 3 100 #2+4 9 #2"16 #2
A=2 3 +5#3 3 B = 3 #10 2 +4#3 2 "4 2
A=2 3 +15 3 B = 30 2 +12 2 "4 2
A=3#2+15
( )
B = 2 #30 +12 "4
( )
A=17 3 B = 38 2
3) Ecrire
!
a b
avec sous la forme
!
n
.
Méthode : Utiliser l’égalité
!
a = a2
et les propriétés 2 et 3 du chapitre 5
Exemples:
!
75 3
4
=72"5 = 3
42
= 49 "5 = 3
42
=245 = 3
16
4) Développer un produit ou une identité remarquable avec des
radicaux.
Exemples:
!
A=3 2 8 +2
( )
B = 2 5 "7
( )
2 5 +7
( )
C = 52"3
( )
2
A=3 2 #8+3 2 #2 B = 2 5
( )
2
"72 C = 52
( )
2
"2#52#3+32
A=24 2 +3#2 B = 22#5
( )
2
"49 C = 52#2
( )
2
"30 2 +9
A=24 2 +6 B = 4 #5"49 C = 25 #2"30 2 +9
A=24 2 +6 B = 20 "49 C = 50 "30 2 +9
A=24 2 +6 B = "29 C = 59 "30 2