Cours: Arithmétique - mathématiques au collège Chaumié

Cours: Arithmétique
ARITHMÉTIQUE
Ce chapitre va utiliser certaines notions vues depuis le début du collège:
notion de diviseur, divisions euclidienne...
Remarque:
Dans ce chapitre, nous allons essentiellement nous intéresser à l'étude des nombres entiers!!!!!
I/ Diviseurs et PGCD
Exemple:
7 est un diviseur de 21 car: 21
=
7
×
3 (par ailleurs 3 est aussi un diviseur de 21!!!)
Exercice: Détermination des diviseurs d'un entier
Déterminer les diviseurs de 16.
16
=
1
×
16 : donc 1 et 16 sont des diviseurs de 16
16
=
2
×
8: donc 2 et 8 sont des diviseurs de 16
16
=
4
×
4: donc 4 est un diviseur de 16
Les diviseurs de 16 sont donc: 1, 2, 4, 8 et 16.
Exemple:
7 est un diviseur commun à 21 et à 28.
En effet, 7 divise 21 car 21
=
7
×
3 et 7 divise 28 car 28
=
7
×
4 .
Exercice: Recherche des diviseurs communs à deux entiers
Établir la liste des diviseurs communs à 8 et à 12.
8=1×8 12=1×12
8 = 2 × 4 12 = 2 × 6
Les diviseurs de 8 sont: 1, 2, 4 et 8. 12=3×4
Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Donc les diviseurs communs à 8 et à 12 sont: 1, 2 et 4.
Remarque: Deux entiers ont forcément au moins un diviseur commun: 1. En effet, 1 divise tous les entiers!
Arithmétique – Cours – Page 1
Définition de l'arithmétique:
L'arithmétique est une partie des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des nombres
Définition d'un diviseur d'un nombre:
Soit m et n deux nombres entiers. On dit que m divise n si il existe un entier d tel que n
=
m
×
d
Définition d'un diviseur commun à deux entiers:
Soit a et b deux nombres entiers.
On dit qu'un entier d est un diviseur commun à a et à b si b est à l fois un diviseur de a et un diviseur de b.
Pour déterminer les diviseurs d'un entier, on « décompose »
cet entier en produit de deux facteurs entiers. La liste des
facteurs correspond alors à celle des diviseurs
Définition du PGCD de deux entiers
Soit a et b deux entiers. Parmi tous les diviseurs communs à a et à b, il en existe un qui est plus grand que les autre.
Ce diviseur est appelé Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) à a et à b et on le note: PGCD(a : b).

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Exemple:
Dans l'exercice précédent, on a vu que que les diviseurs communs à 8 et à 12 sont: 1, 2 et 4.
Donc PGCD(8 ; 12) = 4.
Exercice: Recherche du PGCD de deux entiers
Déterminer le PGCD de 24 et de 36.
24
=
1
×
24 36
=
1
×
36
24
=
2
×
12 36
=
2
×
28
24
=
3
×
8 36
=
3
×
12
24
=
4
×
6 36
=
4
×
9
Les diviseurs de 24 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 36
=
6
×
6
Les diviseurs de 36 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 28 et 36.
Les diviseurs communs à 24 et à 36 sont: 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Donc PGCD(24 ; 36) = 12
.
Exemple:
15 et 14 sont premiers entre eux.
En effet, les diviseurs de 15 sont: 1, 3, 5 et 15
Ceux de 14 sont : 1, 2, 7 et 17
Donc PGCD (15 ; 14) = 1.
Remarque: Il va parfois être difficile de trouver le PGCD de deux nombres, en particulier lorsqu'ils sont grands:
par exemple il est difficile de trouver celui de 145 et de 100!!!!!
Il va donc falloir trouver une « méthode » permettant de trouver simplement de PGCD de deux nombres!!!
II/ L'algorithme d'Euclide
Exemple:
On a vu précédemment que PGCD(36 ; 24) = 12.
Faisons la division euclidienne de 36 par 24:
36 24
12 136
=
24
×
1 12
Étudions maintenant PGCD(24 ; 12).
Les diviseurs de 24 sont: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 12 et 24
Ceux de 12 sont: 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Donc PGCD(24 ; 12) = 12
D'où PGCD(36 ; 24) = PGCD(24 ; 12)
ALGORITHME D'EUCLIDE
Arithmétique – Cours – Page 2 sur 4
Définition: Nombres premiers entre eux
Lorsque le PGCD de deux entier est égal à 1, on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux
Propriété: Propriété de la division Euclidienne
Soit a et b deux entiers.
Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b < a); alors PGCD(a ; b) = PGCD(b; r)
Propriété: Lien entre PGCD et reste de la division Euclidienne
Soit a et b deux entiers tels que a > b.
Si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0, alors PGCD(a ; b) = b.

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L'algorithme D'Euclide va consister à combiner les deux propriétés vues précédemment!!!
En effet, on va effectuer l division euclidienne de a par b, puis de b par r .... et ainsi de suite jusqu'à obtenir un reste nul.
Lorsque le reste est nul, alors on est certain que le PGCD des deux entiers de départ est égal au dernier reste non nul!!!!!
Exercice: Utilisation de l'algorithme D'Euclide
Déterminer le PGCD de 100 et de 145.
Déterminons le PGCD de 100 et de 145 à l'aide de l'algorithme d'Euclide:
145 100
45 1
145
=
100
×
1 45
100 45
10 2
100
=
45
×
2 10
45 10
54
45
=
10
×
4 5
10 5
02
10
=
5
×
2 0
Le processus s'arrête, car nous avons un reste nul!
Le dernier reste non nul (qui est aussi le dernier nombre par lequel on a diviser) est égal à 5.
Donc PGCD(100 ; 145) = 5.
III/ Application à la simplification de fractions
Exemple:
La fraction
22
15
est irréductible, en effet:
22
15=2
×
11
3
×
5
, on n peut plus la simplifier!
Vérifions que le PGCD de 22 et de 15 est bien 1.
Pour cela, il est plus simple de lister des diviseurs de 22 et de 15 que d'utiliser l'algorithme d'Euclide étant donné que les
nombres sont « petits ».
22
=
1
×
22 15
=
1
×
15
22
=
2
×
11 15
=
3
×
5
Les diviseurs de 22 sont: 1, 2, 11 et 22 Les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5 et 15
Donc PGCD (22 ; 15) = 1.
Remarque: On utilisera cette méthode uniquement lorsque les nombre composant la fraction sont assez grands,
sinon on continue la méthode utilisant la décomposition des nombres en produit de facteurs!
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Définition: Fraction irréductible
Une fraction est dite irréductible lorsque l'on ne peut plus la simplifier.
Propriété: Lien entre fraction irréductible et PGCD
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont deux nombres premiers entre eux,
alors la fraction est irréductible.
Propriété: Rendre irréductible une fraction
Si on divise le numérateur et le numérateurs d'une fraction par le PGCD de ses deux nombres,
alors on obtient une fraction irréductible.

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Exercice:
Rendre irréductible
1078
322
.
Déterminons le PGCD de 1078 et 322 à l'aide de l'algorithme d'Euclide:
1078 322
112 3
1078
=
322
×
3 112
322 112
98 2
322
=
112
×
2 98
112 98
14 1
112
=
98
×
1 14
98 14
07
98
=
14
×
7 0
Donc PGCD(1078 ; 322) = 14.
Simplifions maintenant la fraction
1078
322
:
1078
322 =1078:14 322:14 =77 23
La fraction irréductible égale à
1078
322
est
77
23
.
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