Savoir reconnaître si deux entiers sont premiers entre eux Enoncé

Savoir reconnaître si deux entiers sont premiers entre eux
Enoncé
Dire si les deux nombres sont premiers entre eux.
a) 175 et 2380
b) 39 et 55
Solution
a) Les deux nombres sont divisibles par 5 donc 175 et 2 380 ne sont pas premiers entre eux. Les critères de
divisibilité s’appliquent parfois, c’est le cas ici, il est alors maladroit de perdre son temps à faire un calcul de
PGCD.
b) Les diviseurs de 39 sont : 1 ;3 ;13 ;39.
Les diviseurs de 55 sont 1 ;5 ;11 ;55
Le seul diviseur qu’ils ont en commun est 1 donc les nombres 39 et 55 sont premiers entre eux.
Savoir rendre une fraction irréductible
Enoncé
a) La fraction est – elle irréductible ?
b) La fraction est – elle irréductible ?
c) La fraction est – elle irréductible ?
Solution
a) La fraction n’est pas irréductible car il est immédiat que son numérateur et son dénominateur sont divisibles
par, on peut déjà au moins simplifier par 5.
Il faut maintenant poursuivre la simplification puisque la fraction est clairement simplifiable par 3.
Les entiers 4 et 3 sont premiers entre eux donc la fraction est irréductible.
b) Lorsque les critères de divisibilité ne s’appliquent pas, il faut avoir recours à un des méthodes de calcul du
PGCD.
Calculons le PGCD de 693 et de 154 par la méthode des soustractions successives.
PGCD(693 ;154)=PGCD(154 ;385)=PGCD(154 ;231)=PGCD(154 ;77)=77 (La dernière égalité provenant du fait
que 154 est le double de 77)
Remarque : Au cas ou vous ne remarqueriez pas que 154=2 77, il suffit de poursuivre la même démarche
PGCD(154 ;77)=PGCD(77 ;77)=77.
Il reste alors à simplifier la fraction par 77.
c) Calculons le PGCD de 10 165 et de 3 745 par la méthode d’ Euclide (ou des divisions successives).
PGCD(10 165 ;3 745)=PGCD(3 745 ;2 675)=PGCD(2 675 ;1 070)=PGCD(1 070 ;535)=PGCD(535 ;0)=535
Il reste alors à simplifier par 535.