Corrigé de la spécialité - Lycée de la Plaine de l`Ain

Exercice 2 ( 5 points ) Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Soit a et b deux entiers naturels non nuls; on appelle réseau associé aux entiers a et b
l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées ( x, y )
sont des entiers vérifiant les conditions : 0 ≤ x ≤ a et 0 ≤ y ≤ b. On note Ra ,b ce réseau.
Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés aritmétiques des entiers x et y à des
propriétés géométriques des points correspondants du réseau.
A- Représentation graphique de quelques ensembles
Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous forme de
graphiques qui seront complétés et rendus avec la copie.
Représenter graphiquement les points M ( x; y ) du réseau R8,8 vérifiant :
a) x ≡ 2 (modulo 3) et y ≡ 1 (modulo 3) : graphique 1.
b) x + y ≡ 1 (modulo 3) : graphique 2.
c) x ≡ y (modulo 3) : graphique 3.
B- Résolution d'une équation
On considère l'équation ( E ) : 7 x − 4 y = 1, où les inconnues x et y sont des entiers relatifs.
1- Déterminer un couple d'entiers relatifs ( x0 , y0 ) solution de l'équation ( E ).
2- Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation ( E ).
3- Démontrer que l'équation ( E ) admet une unique solution ( x; y ) pour laquelle le point
M ( x; y ) correspondant appartient au réseau R4,7 .
C- Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau Ra ,b ,
avec O (0,0) et A(a, b).
1- Démontrer que les points du segment [OA] sont caractérisés par les conditions :
0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; ay = bx.
2- Démontrer que, si a et b sont premiers entre eux, alors les points O et A sont les seuls
points du segment [OA] appartenant au réseau Ra ,b .
3- Démontrer que si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [OA] contient
au moins un autre point du réseau.
( On pourra considérer le pgcd d des nombres a et b et poser a = da ' et b = db ')
Graphique 1 :
Graphique 2 :
Graphique 3 :
Corrigé exercice de spécialité Bac Blanc TS Février 2009
A- Représentation graphique de quelques ensembles
On se place dans R 8,8 :
a) x ≡ 2(mod 3) ⇔ x = 2 ou x = 5 ou x = 8
y ≡ 1(mod3) ⇔ x = 1 ou x = 4 ou x = 7
Il y a donc 9 points M ( x, y ) vérifiant x ≡ 2(mod 3) et y ≡ 1(mod 3) dans R 8,8
( 2,1) ,(2, 4),(2,7),(5,1),(5,4),(5,7),(8,1),(8, 4),(8,7)
b) x + y ≡ 1(mod 3) ⇔ x + y = 1 + 3k , k ∈ ℤ ⇔ y = − x + 1 + 3k , k ∈ ℤ
Les points sont donc situés sur des droites parallèles, de coefficient directeur − 1, d'ordonnée à
l'origine 1 + 3k , k ∈ ℤ. Il y a 27 points M ( x, y ) vérifiant x + y ≡ 1(mod 3) dans R 8,8 :
les points du réseau situés sur ces droites parallèles
c) x ≡ y (mod 3) ⇔ x = y + 3k , k ∈ ℤ ⇔ y = x − 3k , k ∈ ℤ
Les points sont donc situés sur des droites parallèles, de coefficient directeur 1, d'ordonnée à
l'origine − 3k , k ∈ ℤ. Il y a 27 points M ( x, y ) vérifiant x ≡ y (mod 3) dans R8,8 :
les points du réseau situés sur ces droites parallèles
Graphique 1
Graphique 2
Graphique 3
B- Résolution d'une équation
On considère l'équation (E): 7 x − 4 y = 1, où x et y sont des entiers relatifs
1- PGCD(7,4)=1. 7 et 4 étant premiers entre eux, il existe, d'après le théorème de Bezout,
des couples (u , v) d'entiers relatifs tels que 7u + 4v = 1
On écrit l'algorithme d'Euclide : 7 = 4 × 1 + 3
4=3 ×1+1
On en déduit : 1 = 4 − 3 donc 1 = 4 − (7 − 4) = −7 + 2 × 4
Le couple ( x0 , y0 ) = (−1, −2) est donc une solution particulière de l'équation (E): 7 x − 4 y = 1
2 − Si ( x, y ) est solution de (E), on a : 7 x − 4 y = 1
7 x0 − 4 y0 = 1
Par soustraction membre à membre, on obtient donc : 7( x − x0 ) − 4( y − y0 ) = 0
soit : 7( x + 1) − 4( y + 2) = 0
De l'égalité 7( x + 1) = 4( y + 2), on déduit : 7 divise 4(y + 2)
7 et 4 étant premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, on en déduit que 7 divise y + 2
On a donc : y + 2 = 7 k , k ∈ ℤ
L'égalité 7( x + 1) = 4( y + 2) s'écrit : 7( x + 1) = 4 × 7 k et on en déduit que : x + 1 = 4k
On a donc montré que : si ( x, y ) est solution, alors ( x, y ) = (4k − 1, 7 k − 2), k ∈ ℤ
Réciproquement : si ( x, y ) = (4k − 1, 7 k − 2), k ∈ ℤ alors 7 x − 4 y = 7(4k − 1) − 4(7 k − 2) = 1
( x, y ) est donc solution de (E)
L'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des couples ( x, y ) = (4k − 1, 7 k − 2), k ∈ ℤ
3 − Le point M ( x, y ), avec ( x, y ) solution de (E), appartient au réseau R 4,7

( x, y ) = (4k − 1, 7 k − 2), k ∈ ℤ
( x, y ) = (4k − 1, 7 k − 2), k ∈ ℤ
( x, y ) = (4k − 1, 7 k − 2), k ∈ ℤ

1
5



⇔
0≤ x≤4
⇔
0 ≤ 4k − 1 ≤ 4
⇔
≤k≤
4
4



0≤ y≤7
0 ≤ 7k − 2 ≤ 7


2
9

≤k≤

7
7
( x, y ) = (4k − 1, 7 k − 2), k ∈ ℤ
( x, y ) = (4k − 1, 7 k − 2)

⇔
⇔
⇔ ( x, y ) = (3, 5)
2
5
k =1
≤k≤


7
4
L'équation (E) a une unique solution ( x, y ) = (3,5) appartenant au réseau R4,7
C- Une propriété des points placés sur la diagonale du réseau
Soit O(0,0), A(a, b)
1 − Le point M ( x, y ) appartient à [OA] ⇔ Il existe un réel k tel que : OM = kOA avec 0 ≤ k ≤ 1
 x = ka
⇔ Il existe un réel k tel que 
,0 ≤ k ≤ 1
 y = kb
Les points du segment [OA] sont donc caractérisés par : 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b, ay = bx
2 − Le point O(0,0) et le point A(a, b) appartiennent toujours au réseau Ra ,b .
Si l'un seulement des 2 entiers x ou y est nul, il est impossible d'avoir ax = by car a et b sont non nuls.
Envisageons le cas où les deux nombres x et y sont simultanément non nuls.
Si a et b sont premiers entre eux:
a divise bx donc a divise x d'après le th de Gauss.
On sait que: 0 ≤ x ≤ a. On en déduit que x = a
b divise ay donc b divise y d'après le th de Gauss.
On sait que : 0 ≤ y ≤ b. On en déduit que y = b
Les deux seuls points du réseau situés sur [OA] sont donc O(0,0) et A( a, b).
3 − Si a et b ne sont pas premiers entre eux, on nomme d = PGCD(a, b), d ≠ 1
On écrit alors : a = da ', b = db ', PGCD(a ', b ') = 1
ay = bx s'écrit : da ' x = db ' y et en simplifiant par d , a ' x = b ' y
D'après la question 2, les seuls points du réseau Ra ',b ' situés sur [OA '] sont O(0,0) et A '(a ', b ').
Le segment [OA] contient donc au moins un autre point du réseau : A '