DEA Méthodes Algébriques (2005

DEA M´ethodes Alg´ebriques (2005-2006)
cours de Laszlo ‘G´eom´etrie alg´ebrique’
Feuille d’exercises N01
Dans tous les exercises, kun corps alg´ebriquement clˆos.
1. On consid`ere un ferm´e Y⊂A3
kdonn´e par y2=xz,z2=y3.
a) D´ecrire les composantes irr´eductibles de Y.
b) Soit f=y
xvu comme fonction reguli`ere sur l’ouvert de Ydonn´e par x6= 0. Montrer que f
ne se prolonge pas `a une fonction reguli`ere sur Y.
2. On consid`ere la courbe X⊂A2
kdonn´ee par y2=x2+x3.
a) Montrer que la fonction y
xn’est pas r´egul`ere sur X. Quel est le plus grand ouvert de Xsur
lequel elle est r´egul`ere?
b) Montrer que Xest rationnelle.
c) En admettant que l’action naturelle de GL2(k) sur k(t) induit un homomorphisme surjectif
GL2(k)→Autk(k(t)), trouver tous les automorphismes de X.
3. On suppose la characteristique de kdifferente de 3.
a) Pour quelles valeurs de m∈kla cubique Zmdefinie dans P2
kpar x3
0+x3 1+x3 2+mx0x1x2= 0
est nonsinguli`ere? Ici (x0, x1, x2) sont des coordonn´ees homog`enes dans P2
k.
b) Si Zmest singuli`ere, d´ecrire les composantes irr´eductibles de Z. Notons que le groupe S3des
permutations des coordonn´ees agit sur Zm. Comment il agit sur les composantes irreductibles?
4. Soit Yla courbe x2=y3dans A2.
a) Montrer que Yest rationnelle.
b) Montrer que le groupe de k-automorphismes de Yest isomorphe a k∗.
5. Soit f∈k[x, y] polynˆome de la forme f(x, y) = un−1+un, o`u ukest la composante homog`ene
de degr´e k. Supposons que la courbe Y⊂A2donn´ee par f(x, y) = 0 est irr´eductible. Montrer
que Yest rationnelle. (C¸ a g´en´eralise exercise 2b et 4a).
6. Soit U⊂P1un ouvert nonvide, f:U→Pnest un morphisme des vari´et´ees alg´ebriques.
Montrer qu’il se prolonge (de fa¸con unique) en un morphisme P1→Pn.
7. Montrer que le groupe d’automorphismes de P1
kqui preserve {0,1,∞} est isomorphe a S3.
(Admettre la mˆeme chose que dans 2c).
8. Soit Mun module de type fini sur un anneau A. Appelons le support de Ml’ensemble
{p∈Spec A|Mp6= 0}. Soit I={a∈A|aM = 0}l’annulateur de M.
a) Montrer que le support de Mest V(I) = {p∈Spec A|I⊂p}.
1

b) Supposons que A=k[t] et Mest un A-module de longuer finie. Alors Mpeut-etre vu
comme un k-espace vectoriel ¯ Mde dimension finie muni d’un operateur ¯ t∈End( ¯ M). Montrer
que l’annulateur de Mest l’ideal engendr´e par P, o`u Pest le polynˆome minimal de ¯ t.
9. Decrire les id´eaux premiers et maximaux de Z[x]. Coment ils se comportent par rapport
a l’application Spec Z[x]→Spec Zassoci´ee `a l’inclusion Z→Z[x]? D´emontrer le th´eor`eme
suivant. Soit Kun corps, une extension finie de Q, alors Kn’est pas une Z-alg`ebre de type fini.
10. Si Xest un espace topologique (non vide) s´epar´e et irr´eductible, alors Xest un point.
Montrer que dans un espace topologique irr´eductible, les ouverts non vides sont denses (et en
particulier se coupent). Montrer qu’un ouvert non vide d’un espace topologique irr´eductible est
lui aussi irr´eductible. Si Xest un espace topologique et Y⊂Xest une partie irr´eductible alors
¯
Yest aussi irr´eductible.
11. Soit P, Q, R ∈C[x1, . . . , xn] avec Pirr´eductible et Qnon multiple de P. On suppose que
pour tout x∈Cnla condition P(x) = 0 et Q(x)6= 0 implique R(x) = 0. Montrer que P
divise R.
12. a) On consid`ere l’espace affine An= Spec k[x1, . . . , xn]. Soit U⊂Anle compl´ementaire de
l’origine 0 ∈An. Montrer que pour n > 1 la fl`eche de restriction H0(An,O)→H0(U, O) est un
isomorphisme. En d´eduire que Un’est pas affine dans ce cas. Qu’en est-il si kest un anneau
quelconque, si n= 1?
13. Montrer que la courbe xy = 1 dans A2
kn’est pas isomorphe `a A1 k.
14. Soit Y⊂A3
kle sch´ema donn´e par des ´equations x2−yz = 0 et xz −x= 0. Montrer que
Yadmet trois composantes irr´eductibles, trouver les id´eaux premiers correspondants de O(Y).
Montrer que Yest connexe.
15. Soit d∈N. Soit G⊂GL(n, C) un sous-groupe tel que chaque g∈Gsatisfait `a la propri´et´e
gd= 1. Montrer que Gest fini.
16. Soit kun corps alg´ebriquement clos. Soit Yr⊂Mat(n, k) l’ensemble des matrices de rang r.
Introduire une structure de sch´ema sur Yr, montrer qu’il est irr´eductible.
Introduire une structure de sch´ema sur l’ensemble des matrices de rang ≤r.
17. a) Montrer que K=Q[x]/(x2+x+ 1) est un corps, decrire les composantes irr´eductibles
de Spec K⊗Q¯ Q.
b) Montrer que Spec Aest irr´eductible pour A=Q[x, y]/(x2+y2). Decrire les composantes
irr´eductibles de Spec A⊗Q¯ Q.
18. Soit H⊂Pn
kune hyper-surface donn´ee par une ´equation homog`ene f(x0, . . . , xn) = 0 de
degr´e d. Montrer que Pn
k\Hest un sch´ema affine. Id´ee: utiliser le plongement de Veronese
ρd:Pn→PN.
2

19. Soit ϕ:An
k→An kun morphisme donn´e par yi=fi(x1, . . . , xn) pour i= 1, . . . , n, o`u
fi∈k[x1, . . . , xn]. Le jacobien J= det( dfi
dxj) est un polynome ∈k[x1, . . . , xn]. Montrer que si ϕ
est un isomorphisme alors Jest une constante. 1
20. a) Soit Xun espace topologique et Y⊂X. Montrer que dim Y≤dim X. Rappelons que
dim X= sup{n|il existe une chaine X0⊂X1⊂. . . ⊂Xndes ferm´es irr´eductibles deux `a deux
distincts }.
b) Montrer que si X=∪n
i=1Uiest un couvrement ouvert, alors dim X= sup dim Ui.
c) Si Y⊂Xest un ferm´e, Xest irr´eductible et dim X= dim Y < ∞alors X=Y.
21. Soit Vun espace vectoriel de dimension dsur un corps k. Introduire une structure de
sch´ema sur l’ensemble Y≤r(resp., Yr) des formes quadratiques sur Vde rang ≤r(resp., de rang
r). Montrer que Yrest irr´eductible.
22. Plongement de Veronese. Soit M0, . . . , MNtous les monˆomes de degr´e dde n+ 1 variable
x0, . . . , xn, o`u N=n+d
n−1. Soit ρd: Pn→PNle morphisme qui envoie P= (a0, . . . , an)
`a (M0(a), . . . , Mn(a)). Montrer que la clˆoture projective de ‘la cubique tordue’ (voir exo 3c) est
l’image de ρ3: P1→P3. Montrer que ρdest une immersion ferm´e.
23. Soit f∈k[x0, x1, x2] un polynˆome homog`ene de degr´e d,Y⊂P2la courbe f= 0. Supposons
que Yest irr´eductible. Pour un point singulier pde Yon a une notion de multiplicit´e de
singularit´e. Montrer que si piest un point singulier de Yde multiplicit´e ai(pour i= 1,2) et
p16=p2alors a1+a2≤d.
24. Soit f:P2→P2une application rationnelle donn´ee par f(x0:x1:x2)=(x1x2:x2x0:
x0x1) dans les coordonn´ees homog`enes. Montrer que fest birationnellement un isomorphisme.
Trouver deux ouverts U, V ⊂P2tel que finduit un isomorphisme Uf→V.
25. Soit Y⊂P2
kla clˆoture projective de la courbe y2=x3+px +qdans A2 k.
a) Montrer que Yest Yest lisse si et seulement si 4p3+ 27q26= 0. Dans ce cas elle s’appelle
la courbe elliptique. b) Soit σl’automorphisme de Yqui envoit (x, y) sur (x, −y). Calculer le
nombre des points fixes de σ. (En deduire que pour 4p3+ 27q26= 0 la courbe elliptique Yn’est
pas isomorphe a P1
k).
26. On suppose que A1
k− {x1, . . . , xn}f→A1 k− {y1, . . . , ym}. Ici {x1, . . . , xn}sont des points
deux a deux distincts, de mˆeme pour {y1, . . . , ym}. Montrer que m=n.
27. Soit Z⊂A3
kle cone quadratique xy =z2. Montrer que Zest une vari´et´e rationnelle.
28. Montrer que les ferm´es irr´eductibles de Pn
kde dimension n−1 sont en bijection avec l’ensemble
des id´eaux principaux (f)⊂k[x0, . . . , xn], o`u fest un polynˆome irr´eductible homog`ene de degr´e
>0. (Utiliser l’´enonc´e analogue affine donn´e dans le cours acceler´e).
1L’enonc´e reciproque est une question ouverte pour n≥2.
3