DEA Méthodes Algébriques (2005

DEA Méthodes Algébriques (2005-2006)
cours de Laszlo ‘Géométrie algébrique’
Feuille d’exercises N0 1
Dans tous les exercises, k un corps algébriquement clôs.
1. On considère un fermé Y ⊂ A3k donné par y 2 = xz, z 2 = y 3 .
a) Décrire les composantes irréductibles de Y .
b) Soit f = xy vu comme fonction regulière sur l’ouvert de Y donné par x 6= 0. Montrer que f
ne se prolonge pas à une fonction regulière sur Y .
2. On considère la courbe X ⊂ A2k donnée par y 2 = x2 + x3 .
a) Montrer que la fonction xy n’est pas régulère sur X. Quel est le plus grand ouvert de X sur
lequel elle est régulère?
b) Montrer que X est rationnelle.
c) En admettant que l’action naturelle de GL2 (k) sur k(t) induit un homomorphisme surjectif
GL2 (k) → Autk (k(t)), trouver tous les automorphismes de X.
3. On suppose la characteristique de k differente de 3.
a) Pour quelles valeurs de m ∈ k la cubique Zm definie dans P2k par x30 + x31 + x32 + mx0 x1 x2 = 0
est nonsingulière? Ici (x0 , x1 , x2 ) sont des coordonnées homogènes dans P2k .
b) Si Zm est singulière, décrire les composantes irréductibles de Z. Notons que le groupe S3 des
permutations des coordonnées agit sur Zm . Comment il agit sur les composantes irreductibles?
4. Soit Y la courbe x2 = y 3 dans A2 .
a) Montrer que Y est rationnelle.
b) Montrer que le groupe de k-automorphismes de Y est isomorphe a k ∗ .
5. Soit f ∈ k[x, y] polynôme de la forme f (x, y) = un−1 + un , où uk est la composante homogène
de degré k. Supposons que la courbe Y ⊂ A2 donnée par f (x, y) = 0 est irréductible. Montrer
que Y est rationnelle. (Ça généralise exercise 2b et 4a).
6. Soit U ⊂ P1 un ouvert nonvide, f : U → Pn est un morphisme des variétées algébriques.
Montrer qu’il se prolonge (de façon unique) en un morphisme P1 → Pn .
7. Montrer que le groupe d’automorphismes de P1k qui preserve {0, 1, ∞} est isomorphe a S3 .
(Admettre la même chose que dans 2c).
8. Soit M un module de type fini sur un anneau A. Appelons le support de M l’ensemble
{p ∈ Spec A | Mp 6= 0}. Soit I = {a ∈ A | aM = 0} l’annulateur de M .
a) Montrer que le support de M est V (I) = {p ∈ Spec A | I ⊂ p}.
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b) Supposons que A = k[t] et M est un A-module de longuer finie. Alors M peut-etre vu
comme un k-espace vectoriel M̄ de dimension finie muni d’un operateur t̄ ∈ End(M̄ ). Montrer
que l’annulateur de M est l’ideal engendré par P , où P est le polynôme minimal de t̄.
9. Decrire les idéaux premiers et maximaux de Z[x]. Coment ils se comportent par rapport
a l’application Spec Z[x] → Spec Z associée à l’inclusion Z ,→ Z[x]? Démontrer le théorème
suivant. Soit K un corps, une extension finie de Q, alors K n’est pas une Z-algèbre de type fini.
10. Si X est un espace topologique (non vide) séparé et irréductible, alors X est un point.
Montrer que dans un espace topologique irréductible, les ouverts non vides sont denses (et en
particulier se coupent). Montrer qu’un ouvert non vide d’un espace topologique irréductible est
lui aussi irréductible. Si X est un espace topologique et Y ⊂ X est une partie irréductible alors
Ȳ est aussi irréductible.
11. Soit P, Q, R ∈ C[x1 , . . . , xn ] avec P irréductible et Q non multiple de P . On suppose que
pour tout x ∈ Cn la condition P (x) = 0 et Q(x) 6= 0 implique R(x) = 0. Montrer que P
divise R.
12. a) On considère l’espace affine An = Spec k[x1 , . . . , xn ]. Soit U ⊂ An le complémentaire de
l’origine 0 ∈ An . Montrer que pour n > 1 la flèche de restriction H0 (An , O) → H0 (U, O) est un
isomorphisme. En déduire que U n’est pas affine dans ce cas. Qu’en est-il si k est un anneau
quelconque, si n = 1?
13. Montrer que la courbe xy = 1 dans A2k n’est pas isomorphe à A1k .
14. Soit Y ⊂ A3k le schéma donné par des équations x2 − yz = 0 et xz − x = 0. Montrer que
Y admet trois composantes irréductibles, trouver les idéaux premiers correspondants de O(Y ).
Montrer que Y est connexe.
15. Soit d ∈ N. Soit G ⊂ GL(n, C) un sous-groupe tel que chaque g ∈ G satisfait à la propriété
g d = 1. Montrer que G est fini.
16. Soit k un corps algébriquement clos. Soit Yr ⊂ Mat(n, k) l’ensemble des matrices de rang r.
Introduire une structure de schéma sur Yr , montrer qu’il est irréductible.
Introduire une structure de schéma sur l’ensemble des matrices de rang ≤ r.
17. a) Montrer que K = Q[x]/(x2 + x + 1) est un corps, decrire les composantes irréductibles
de Spec K ⊗Q Q̄.
b) Montrer que Spec A est irréductible pour A = Q[x, y]/(x2 + y 2 ). Decrire les composantes
irréductibles de Spec A ⊗Q Q̄.
18. Soit H ⊂ Pnk une hyper-surface donnée par une équation homogène f (x0 , . . . , xn ) = 0 de
degré d. Montrer que Pnk \ H est un schéma affine. Idée: utiliser le plongement de Veronese
ρd : Pn ,→ PN .
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19. Soit ϕ : Ank → Ank un morphisme donné par yi = fi (x1 , . . . , xn ) pour i = 1, . . . , n, où
dfi
fi ∈ k[x1 , . . . , xn ]. Le jacobien J = det( dx
) est un polynome ∈ k[x1 , . . . , xn ]. Montrer que si ϕ
j
est un isomorphisme alors J est une constante. 1
20. a) Soit X un espace topologique et Y ⊂ X. Montrer que dim Y ≤ dim X. Rappelons que
dim X = sup{n | il existe une chaine X0 ⊂ X1 ⊂ . . . ⊂ Xn des fermés irréductibles deux à deux
distincts }.
b) Montrer que si X = ∪ni=1 Ui est un couvrement ouvert, alors dim X = sup dim Ui .
c) Si Y ⊂ X est un fermé, X est irréductible et dim X = dim Y < ∞ alors X = Y .
21. Soit V un espace vectoriel de dimension d sur un corps k. Introduire une structure de
schéma sur l’ensemble Y≤r (resp., Yr ) des formes quadratiques sur V de rang ≤ r (resp., de rang
r). Montrer que Yr est irréductible.
22. Plongement de Veronese. Soit M0 , . . . , MN tous les monômes de degré d de n + 1 variable
n+d
x0 , . . . , xn , où N =
− 1. Soit ρd : Pn → PN le morphisme qui envoie P = (a0 , . . . , an )
n
à (M0 (a), . . . , Mn (a)). Montrer que la clôture projective de ‘la cubique tordue’ (voir exo 3c) est
l’image de ρ3 : P1 → P3 . Montrer que ρd est une immersion fermé.
23. Soit f ∈ k[x0 , x1 , x2 ] un polynôme homogène de degré d, Y ⊂ P2 la courbe f = 0. Supposons
que Y est irréductible. Pour un point singulier p de Y on a une notion de multiplicité de
singularité. Montrer que si pi est un point singulier de Y de multiplicité ai (pour i = 1, 2) et
p1 6= p2 alors a1 + a2 ≤ d.
24. Soit f : P2 → P2 une application rationnelle donnée par f (x0 : x1 : x2 ) = (x1 x2 : x2 x0 :
x0 x1 ) dans les coordonnées homogènes. Montrer que f est birationnellement un isomorphisme.
Trouver deux ouverts U, V ⊂ P2 tel que f induit un isomorphisme U f
→V .
25. Soit Y ⊂ P2k la clôture projective de la courbe y 2 = x3 + px + q dans A2k .
a) Montrer que Y est Y est lisse si et seulement si 4p3 + 27q 2 6= 0. Dans ce cas elle s’appelle
la courbe elliptique. b) Soit σ l’automorphisme de Y qui envoit (x, y) sur (x, −y). Calculer le
nombre des points fixes de σ. (En deduire que pour 4p3 + 27q 2 6= 0 la courbe elliptique Y n’est
pas isomorphe a P1k ).
26. On suppose que A1k − {x1 , . . . , xn } f
→ A1k − {y1 , . . . , ym }. Ici {x1 , . . . , xn } sont des points
deux a deux distincts, de même pour {y1 , . . . , ym }. Montrer que m = n.
27. Soit Z ⊂ A3k le cone quadratique xy = z 2 . Montrer que Z est une variété rationnelle.
28. Montrer que les fermés irréductibles de Pnk de dimension n−1 sont en bijection avec l’ensemble
des idéaux principaux (f ) ⊂ k[x0 , . . . , xn ], où f est un polynôme irréductible homogène de degré
> 0. (Utiliser l’énoncé analogue affine donné dans le cours acceleré).
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L’enoncé reciproque est une question ouverte pour n ≥ 2.
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