Arithmétique - Math France

Arithmétique
Divisibilité dans Z.
Soient aet bdeux entiers relatifs, bétant non nul. On dit que bdivise asi et seulement si il existe un entier relatif ktel
que a=kb. La phrase « adivise b» se note a|b.
Propriétés.
•Pour tout entier relatif non nul a,a|a.
•Pour tous entiers relatifs non nuls a,bet c, si a|bet b|calors a|c.
•Soient a,bet ctrois entiers relatifs, aétant non nul. Si a|bet a|c, alors pour tous entiers relatifs λet µ,a|(λb +µc).
Division euclidienne dans Z.
Soient aet bdeux entiers naturels, bétant non nul. Il existe un couple (q, r)d’entiers naturels et un seul tel que
➀a=bq +ret ➁0≤r < b.
qest le quotient et rle reste de la division euclidienne de apar b.
Congruences dans Z.
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 2. Soient aet bdeux entiers relatifs.
On dit que aest congru à bmodulo nsi et seulement si b−aest divisible par n. On écrit dans ce cas a≡b(n)ou
a≡b(modulo n).
Propriétés. Soit nun entier relatif supérieur ou égal à 2.
•Pour tout entier relatif a,a≡a(n).
•Pour tous entiers relatifs aet b, si a≡b(n)alors b≡a(n).
•Pour tous entiers relatifs a,bet c, si a≡b(n)et b≡c(n)alors a≡c(n).
•(Compatibilité avec l’addition) Pour tous entiers relatifs a,bet c, si a≡b(n)alors a+c≡b+c(n).
•(Compatibilité avec la multiplication) Pour tous entiers relatifs a,bet c, si a≡b(n)alors a×c≡b×c(n).
Nombres premiers. Décomposition en facteurs premiers.
Soit nun entier supérieur ou égal à 2.nest premier si et seulement si nadmet exactement deux diviseurs à savoir 1et n.
Il existe une infinité de nombres premiers.
Théorème fondamental de l’arithmétique. Tout entier naturel supérieur ou égal à 2se décompose en produit de
nombres premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.
PPCM, PGCD.
Soient aet bdeux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
On suppose que a=pα1
1...pαk
ket b=pβ1 1...pβk koù p1,. . . , pksont knombres premiers deux à deux distincts et α1,. . . ,
αk,β1,. . . , βksont des entiers naturels.
On note m1le plus petit des deux nombres α1et β1et M1le plus grand. On note m2le plus petit des deux nombres α2
et β2et M2le plus grand. . .
Le PGCD (plus grand commun diviseur) de aet best pm1
1. . . pmk ket le PPCM (plus petit commun multiple) de aet b
est pM1
1...pMk k.
Exemple. 48 =24×3et 36 =22×32. Donc PGCD(36, 48) = 22×3=12 et PPCM(36, 48) = 24×32=144.
Algorithme d’Euclide.On a le résultat préliminaire suivant : si aet bsont deux entiers naturels non nuls tels que
b < a et si a=bq +roù qet rsont deux entiers naturels tels que 0≤r < b, alors PGCD(a, b) = PGCD(b, r).
On veut maintenant le PGCD de aet de b.
On pose la division euclidienne de apar b. Si r=0, le PGCD de aet de best r0=r.
Sinon, on pose la division euclidienne de bpar r0=r:b=q1r+r1avec 0≤r1< r0. Si r1=0le PGCD de bet de r0
est r0et donc le PGCD de aet de best r0.
Sinon, on pose la division euclidienne de r0par r1...
Cette algorithme s’arrête quand on trouve un reste nul, ce qui se produit toujours. Le PGCD de aet best le dernier reste
non nul.
Théorèmes de Bézout et Gauss.
Théorème de Bézout.Soient aet bdeux entiers relatifs non nuls.
aet bsont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs uet vtels que au +bv =1.
Théorème de Gauss.Soient a,bet ctrois entiers relatifs non nuls.
Si adivise bc et si aet bsont premiers entre eux, alors adivise c.
c
Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr