Chapitre 2 : DYNAMIQUE EN REFERENTIEL NON

accélération d’entraînement.
Composition
des
vitesses
et des
PC/PC*16/17
accélérations dans le cas d’un référentiel en
rotation uniforme autour d’un axe fixe : point
coïncident,
vitesse
d’entraînement,
accélération d’entraînement, accélération de
Coriolis.
Utiliser le point coïncident pour exprimer
la
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vitesse d’entraînement et l’accélération
d’entraînement.
Citer et utiliser l’expression de l’accélération
de Coriolis.
Chapitre2:DYNAMIQUEENREFERENTIELNON-GALILEEN
Notions et contenus
1.2 Dynamique dans un référentiel non
galiléen
Cas d’un référentiel en translation par rapport
à un référentiel galiléen : force d’inertie
d’entrainement
Cas d’un référentiel en rotation uniforme
autour d’un axe fixe dans un référentiel
galiléen : force d’inertie d’entraînement, force
Capacités exigibles
Déterminer la force d’inertie d’entraînement.
Appliquer la loi de la quantité de
mouvement, la loi du moment cinétique et la
loi de l’énergie cinétique dans un référentiel
non galiléen.
Exprimer la force d’inertie axifuge et la force
d’inertie de Coriolis. Associer la force
d’inertie axifuge à l’expression familière
d’inertie
© Ministèrede
de Coriolis.
l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013« force centrifuge ». Appliquer la loi de la
quantité de mouvement, la loi du moment
16
cinétique et la loi de l’énergie cinétique dans
http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr
un référentiel non galiléen.
Exemples :
-
champ de pesanteur : définition, évolution
qualitative avec la latitude, ordres de
grandeur ;
Distinguer le champ de pesanteur et le
champ gravitationnel.
-
équilibre d’un fluide dans un référentiel
non galiléen en translation ou en rotation
uniforme autour d’un axe fixe dans un
référentiel galiléen.
Établir et utiliser l’expression de la force
d’inertie d’entraînement volumique.
Approche documentaire : associer les
marées à un terme gravitationnel différentiel
et comparer l’influence de la Lune et du
Soleil pour analyser des documents
scientifiques.
Approche
documentaire :
utiliser
l’expression de la force de Coriolis pour
analyser des documents scientifiques
portant sur les effets de la force de Coriolis
sur les vents géostrophiques ou les
courants marins.
Notions et contenus
Capacités exigibles
Problématique:leprogrammedepremièreannéeserestreintauxmouvementsdansdesréférentiels
1.3
Approche
descriptive
du
fonctionnement d’un véhicule à roues.
galiléens,orilarrivesouventquel’onsetrouvedansd’autrescas:
Mouvement rectiligne uniforme d’un véhicule Exprimer la condition de non-glissement
• Voitureouascenseurenphased’accélération;
à roues dans un référentiel galiléen en des roues.
• Manège;
l’absence de glissement :
a) véhicule tracté par une force Appliquer la loi de la quantité de
• MouvementdelaTerre!
extérieure F
mouvement et la loi de l’énergie cinétique
Onpeuttoujoursserapporteràunréférentielgaliléen,cependantilestpluspratiqued’adapterlesloisde
b) véhicule muni de roues motrices.
au véhicule. Appliquer la loi du moment
lamécaniquepourcomprendrelesexpériencesvécuesenréférentielnongaliléen.
cinétique aux roues dans le référentiel du
véhicule.
Expliquer
qualitativement
les
rôles
1. Rappels:
respectifs du moteur et des actions de
contact exercées par la route selon qu’on
envisage un bilan énergétique global ou un
Lesréférentielsgaliléenssontdéfinisparleprinciped’inertie:dansunréférentielgaliléentoutpoint
bilan de quantité de mouvement global.
matérielisoléestaniméd’unmouvementrectiligneuniforme(PCSI).
La partie consacrée à la mécanique des fluides prolonge à la fois la rubrique « statique des
fluides » et la rubrique « thermodynamique » de PCSI. Cet enseignement est conçu comme
Lesréférentielsgaliléenssontentranslationrectiligneuniformelesunsparrapportauxautres(PCSI).
une initiation de telle sorte que de nombreux concepts (écoulement laminaire, écoulement
turbulent, couche limite, vecteur tourbillon, nombre de Reynolds…) sont introduits de
manière élémentaire. Toute extension du programme vers les cours spécialisés doit être
SoitRunréférentielgaliléen,auquelestattachéunsystèmed’axesOxyz,devecteursunitaires𝑒
! , 𝑒! 𝑒𝑡 𝑒! évitée : par exemple l’approche lagrangienne, la fonction de courant, le potentiel complexe,
etR’unréférentielnongalilen,doncaniméparrapportàRd’unmouvementàprioriquelconque,auquel
l’étude locale du champ des vitesses, la relation de Bernoulli pour des écoulements
estattachéunsystèmed’axesO’x’y’z’d’origineO’etdevecteursunitaires𝑒
𝑒𝑡 𝑒horscompressibles ou instationnaires, le théorème de Reynolds et le théorème d’Euler
!! , 𝑒!!sont
!! .
programme. Enfin la tension superficielle est abordée exclusivement d’un point de vue
énergétique et expérimental.
Commedanslechapitreprécédent,RestleréférentielabsoluetR’leréférentielrelatif.
L’apprentissage de la mécanique des fluides contribue à la maîtrise progressive des
opérateurs d’analyse vectorielle qui sont utilisés par ailleurs en thermodynamique et en
électromagnétisme. Quel que soit l’ordre dans lequel le professeur choisit de présenter ces
PC/PC*16/17
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2. Casd’unréférentielentranslationparrapportàunréférentielgaliléen:
2.1. Principefondamentaldeladynamique:
DansR’,leprincipefondamentals’exprimepar:
𝒎𝒂𝒓 =
𝑭𝒆𝒙𝒕 + 𝑭!𝒆 𝑭!𝒆 = − 𝒎𝒂𝒆 estlaforced’inertied’entrainement.
Théorèmedumomentcinétique:
2.2.
SoitO’unpointfixeparrapportauréférentielR’:
𝒅𝝈𝑶!
=
𝑴𝑶! (𝑭𝒆𝒙𝒕 + 𝑭!𝒆 )
𝒅𝒕 𝑹!
2.3. Théorèmedel’énergiecinétiqueetdelapuissancecinétique:
𝚫𝑬𝒄 = 𝑾 𝑭𝒆𝒙𝒕 + 𝑾(𝑭!𝒆 )
𝐝𝑬𝒄
= 𝑭𝒆𝒙𝒕 . 𝒗𝒓 + 𝑭!𝒆 . 𝒗𝒓 𝒅𝒕
3. Casd’unréférentielenrotationuniformeautourd’unaxefixeparrapportàunréférentiel
galiléen:
3.1.Principefondamentaldeladynamique:
DansR’,leprincipefondamentals’exprimepar:
𝒎𝒂𝒓 =
𝑭𝒆𝒙𝒕 + 𝑭!𝒆 + 𝑭!𝒄 avec
•
𝑭!𝒆 = −𝒎𝒂𝒆 = 𝒎𝝎𝟐 . 𝑯𝑴
Forced’inertied’entrainement,appelée«forceaxifuge»ou«forcecentrifuge»
H
𝑒!
!!!⃗
M
O
𝑒!
!!!⃗
𝑒!
!!!!⃗
!!!!!⃗
𝑭!𝒆 PC/PC*16/17
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𝑭!𝒄 = −𝒎𝒂𝒄 = −𝟐𝒎𝝎 ∧ 𝒗𝒓 Forced’inertiedeCoriolis
H
𝑒!
!!!⃗
M
!!!⃗
𝝎
O
!!!!!⃗
𝑭!𝒄 !!!!⃗
𝒗𝒓
𝑒!
!!!!⃗
𝑒!
!!!⃗
3.2.Théorèmedumomentcinétique:
SoitO’unpointfixeparrapportauréférentielR’;
𝒅𝝈𝑶!
=
𝑴𝑶! (𝑭𝒆𝒙𝒕 + 𝑭!𝒆 + 𝑭!𝒄 )
𝒅𝒕 𝑹!
3.3.Théorèmedel’énergiecinétiqueetdelapuissancecinétique:
LapuissancedelaforcedeCoriolisestnulle,ainsi:
𝚫𝑬𝒄 = 𝑾 𝑭𝒆𝒙𝒕 + 𝑾(𝑭!𝒆 )
𝐝𝑬𝒄
= 𝑭𝒆𝒙𝒕 . 𝒗𝒓 + 𝑭!𝒆 . 𝒗𝒓 𝒅𝒕
Exemple:penduleconique.
4. Dynamiqueenréférentielterrestre:
4.1.Leréférentielterrestre:
Lameilleureapproximationderéférentielgaliléenàl’échelledusystèmesolaireestleréférentielde
Copernic,dontl’origineestaucentredemassedusystèmesolaireetdontlesaxespointentverstrois
étoilesfixes.
LeréférentielgéocentriqueasonorigineaucentredemassedelaTerre,sesaxespointentverstrois
étoilesfixes.
RéférentieldeCopernic
Référentielterrestre
Référentielgéocentrique
PC/PC*16/17
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Enconséquence,sonmouvementestceluiducentredemassedelaTerre:ilestentranslationelliptique
parrapportauréférentieldeCopernic.
Leréférentielgéocentriquen’estpasgaliléen(cfanalysedocumentairesurleseffetsdemarée).
Onpeutleconsidérercommetelsurdeséchellesdetempsdel’ordredelajournée.
Leréférentielterrestreestenrotationparrapportauréférentielgéocentrique:iln’estdoncpas
galiléen.
3.2.Lepoids:
Définition:lepoids𝑃 d'unpointmatérielestlarésultantedela
forcedegravitationetdelaforced'inertied'entraînementdueàla
rotationdelaterre.
Rappel:auvoisinagedelasurfaceterrestreetdans
l’approximationsphérique,lechampdegravitationduàlaTerre
s’écrit:
!"
GM !"!
A(RT ) = − 2 T ur RT
où:
• G=6,67.10-11kg-1.m3.s-2estlaconstantedegravitation;
• RT=6,37.106mestlerayonterrestre;
• MT=5,97.1024kgestlamassedelaTerre.
Onadonc:
𝑷 = 𝒎 𝑨 𝑴 + 𝝎𝟐 𝑯𝑴 ♡
oùHestleprojetédeMsurl’axederotation.
Ladirectiondupoidsdéfinitlaverticaledulieu.
L’accélérationdelapesanteurestdonc:
𝑔 = 𝐴 𝑀 + 𝜔! 𝐻𝑀
EllevarieentrelePoleetl’Equateur: 𝐴 𝑀 =9,8m.s-2;RT.Ω2=3,4.10-2m.s-2.
3.3.Letermedemarées:
a)Modèletrèssimple:Terre-Soleil.
LeprincipefondamentalappliquéàlaTerredecentreOdansleréférentieldeCopernics’écrit,en
nommant𝐴! (𝑂)lechampgravitationnelenOcrééparleSoleil:
𝑀! 𝑎 𝑂 = 𝑀! 𝐴! (𝑂) (1)
Orleréférentielgéocentriqueestnongaliléen,entranslationelliptiqueparrapportauréférentielde
Copernic;sonaccélérationd’entrainementdansleréférentieldeCopernicest𝑎 𝑂 .
OnconsidèreunpointMdemassemàlasurfacedelaTerre,dansleréférentielgéocentrique,soumisà
l’interactiongravitationnelledueàlaTerreetàl’interactiongravitationnelledueauSoleil.
PC/PC*16/17
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Leprincipefondamentalappliquéàcepoints’écritdansceréférentiel:
𝑚𝑎 𝑀 = 𝐹 + 𝑚𝐴 ! (𝑀) + 𝑚𝐴! (𝑀) − 𝑚𝑎! où:

• AT (M ) estlechampdegravitationduàlaterreenM,
•
•
𝐴! (𝑀)estlechampdegravitationduauSoleilenM;

F représentelesforcesautresquelesforcesdegravitationexercéessurM.
Enremplaçant𝑎! parsonexpressiondéduitede(1),onobtient:
𝑚𝑎 𝑀 = 𝐹 + 𝑚𝐴 ! (𝑀) + 𝑚 𝐴! (𝑀) − 𝐴! (𝑂) Onappelleforcedemaréeoutermedemaréeletermedifférentiel𝑚 𝐴! (𝑀) − 𝐴! (𝑂) .
!!!!⃗! (𝑀)
𝑚𝐴
!!!!⃗! (𝑂)
𝑚𝐴
b)Modèleplusprécis:Terre-Soleil-Lune:
Lune
Soleil
LetermedemaréeduàlaLune:
Terre
𝑚 𝐴! (𝑀) − 𝐴! (𝑂) premier quartier (morte−eaux)
estenviron2foisplusimportantqueceluiduau
Soleil!
Lestermesdemaréesdesdeuxastress’ajoutent
Lune
vectoriellement;onobserveenconséquencedes
maréesdemorteseauxetdevives-eaux.
pleine Lune (vive−eaux)
dernier quartier (morte−eaux)
Lune
Lune
nouvelle Lune (vive−eaux)
Figure 1.5 – Le cycle de vives-eaux mortes-eaux vient de la superposition des
Figure3:lecycledevives-eaux/mortes-eaux
effets
de la Lune et du Soleil.
vientdelasuperpositiondeseffetsdelaluneet
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