Probabilités – Loi de probabilité à densité Exercices corrigés

Probabilités – Loi de probabilité à densité – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
 Exercice 1 : densité de probabilité (fonction définie sur un intervalle)
 Exercice 2 : densité de probabilité (fonction définie sur une réunion d’intervalles)
 Exercice 3 : loi de probabilité à densité
 Exercice 4 : variable aléatoire continue et calculs de probabilités
 Exercice 5 : variable aléatoire continue et calcul de probabilité conditionnelle
 Exercice 6 : espérance d'une variable aléatoire continue
Probabilités – Loi de probabilité à densité
Exercices corrigés

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Montrer que la fonction  définie sur par  est une densité de probabilité sur .
Rappel : Densité de probabilité
Soit  un intervalle. On appelle densité de probabilité sur  toute fonction continue et positive sur  telle que :
Remarque : Pour tous réels  et  tels que , on a :
 Si , alors
 Si , alors
 Si , alors
Soit la fonction  définie sur par .
1) Etudions la continuité de la fonction  sur .
 est le produit du réel  par la fonction carré, continue sur , donc continue sur . Par conséquent,  est
continue sur .
2) Etudions le signe de la fonction  sur .
Pour tout , . Par conséquent,  est positive sur , comme étant le produit de deux
nombres positifs.
3) Vérifions que
De ces trois résultats, il découle que  une densité de probabilité sur .
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
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Préciser si la fonction  définie par 
 est une densité de probabilité sur .
1) Etudions la continuité de la fonction  sur .
D’une part, sur 
, . Sur cet intervalle,  est une fonction affine ; elle est donc continue.
D’autre part, sur 
, . Sur cet intervalle,  est une fonction affine ; elle est donc continue.
Par conséquent,  est continue sur 
.
Rappel : Continuité d’une fonction en un point
Soit  une fonction définie sur  et soit .
 est continue en  si et seulement si  a une limite en  égale à , c’est-à-dire si et seulement si
. En particulier  est continue en  si et seulement si 
.
Remarque :
 On note indifféremment la limite à gauche de la fonction  en  : 
 ou 
.
 On note indifféremment la limite à droite de la fonction  en  : 
 ou 
.
Enfin, 
 et  .
Par conséquent, 
. Autrement dit,  est continue en 
.
En définitive,  est continue sur .
2) Etudions le signe de la fonction  sur .
D’une part, sur 
,  est une fonction affine de taux d’accroissement positif. Elle est donc croissante.
Ainsi, 
, c’est-à-dire .
Exercice 2 (1 question) Niveau : moyen
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D’autre part, sur 
,  est une fonction affine de taux d’accroissement négatif. Elle est donc décroissante.
Ainsi, 
, c’est-à-dire .
En définitive,  est positive sur .
3) Vérifions si
Rappel : Relation de Chasles
Soit  une fonction continue sur un intervalle . Pour tous nombres réels ,  et  de  tels que ,
En utilisant la relation de Chasles, on a :
Autrement dit,
En tenant compte de ce dernier résultat, la fonction  ne peut pas être une densité de probabilité sur .
Remarque importante :
On pouvait également représenter la fonction  dans un repère orthonormé  et observer que l’aire du
domaine situé entre la courbe représentative de , l’axe des abscisses et les droites d’équation  et 
était supérieure à une unité d’aire.
Etape 1 :
Etape 2 :

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Etape 3 :
Etape 4 :