Probabilités – Loi de probabilité à densité Exercices corrigés

Probabilités – Loi de probabilité à densité
Exercices corrigés
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Exercice 1 : densité de probabilité (fonction définie sur un intervalle)
Exercice 2 : densité de probabilité (fonction définie sur une réunion d’intervalles)
Exercice 3 : loi de probabilité à densité
Exercice 4 : variable aléatoire continue et calculs de probabilités
Exercice 5 : variable aléatoire continue et calcul de probabilité conditionnelle
Exercice 6 : espérance d'une variable aléatoire continue
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1
Exercice 1 (1 question)
Montrer que la fonction
Niveau : facile
définie sur [
] par ( )
est une densité de probabilité sur [
Correction de l’exercice 1
].
Retour au menu
Rappel : Densité de probabilité
Soit un intervalle. On appelle densité de probabilité sur toute fonction continue et positive sur telle que :
( )
∫
Remarque : Pour tous réels
 Si
[
 Si
[
 Si
et
], alors
tels que
, on a :
∫
( )
[, alors
∫
( )
∫ ( )
]
], alors
∫
( )
∫
Soit la fonction
définie sur [
] par ( )
sur [
],
].
par la fonction carré, continue sur
2) Etudions le signe de la fonction
[
Pour tout
nombres positifs.
( )
.
1) Etudions la continuité de la fonction
est le produit du réel
].
continue sur [
( )
∫
sur [
. Par conséquent,
, donc continue sur [
]. Par conséquent,
est
].
est positive sur [
], comme étant le produit de deux
3) Vérifions que ∫ ( )
∫ ( )
∫
∫
De ces trois résultats, il découle que
[
]
(
)
une densité de probabilité sur [
].
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Exercice 2 (1 question)
Niveau : moyen
définie par ( )
Préciser si la fonction
{
[
]
]
]
est une densité de probabilité sur [
Correction de l’exercice 2
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sur [
1) Etudions la continuité de la fonction
D’une part, sur [
[, ( )
est une fonction affine ; elle est donc continue.
. Sur cet intervalle,
est continue sur [
Par conséquent,
].
. Sur cet intervalle,
], ( )
D’autre part, sur ]
].
[
]
est une fonction affine ; elle est donc continue.
].
Rappel : Continuité d’une fonction en un point
Soit
une fonction définie sur et soit
est continue en
( )
.
si et seulement si
( ). En particulier
a une limite en
est continue en
égale à
( ), c’est-à-dire si et seulement si
( )
si et seulement si
( )
( ).
Remarque :
 On note indifféremment la limite à gauche de la fonction
 On note indifféremment la limite à droite de la fonction
Enfin,
( )
(
( )
Par conséquent,
En définitive,
)
et
( ). Autrement dit,
est continue sur [
Ainsi,
],
en
( ) ou
:
:
(
( ) ou
)
( ).
( ).
.
est continue en .
].
2) Etudions le signe de la fonction
D’une part, sur [
( )
en
sur [
].
est une fonction affine de taux d’accroissement positif. Elle est donc croissante.
, c’est-à-dire
( ).
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3
D’autre part, sur ]
],
est une fonction affine de taux d’accroissement négatif. Elle est donc décroissante.
( ).
, c’est-à-dire
Ainsi,
est positive sur [
En définitive,
].
3) Vérifions si ∫ ( )
Rappel : Relation de Chasles
Soit
une fonction continue sur un intervalle . Pour tous nombres réels ,
∫ ( )
( )
∫
et de tels que
,
∫ ( )
En utilisant la relation de Chasles, on a :
∫ ( )
( )
∫ ( )
(
∫
)
(
( )
)
∫ (
(
)
( )
∫ (
)
[
]
[
]
)
Autrement dit, ∫ ( )
En tenant compte de ce dernier résultat, la fonction
ne peut pas être une densité de probabilité sur [
].
Remarque importante :
On pouvait également représenter la fonction dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗) et observer que l’aire du
domaine situé entre la courbe représentative de , l’axe des abscisses et les droites d’équation
et
était supérieure à une unité d’aire.
Etape 1 :
Etape 2 :
⃗
⃗
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Etape 3 :
Etape 4 :
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Exercice 3 (1 question)
Niveau : facile
Indiquer, pour chacune des quatre fonctions
de probabilité sur l’intervalle donné.
1)
[
3)
[
représentées ci-dessous, si elle peut être une fonction de densité
]
]
2)
[
4)
[
]
]
Correction de l’exercice 3
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Rappel : Loi de probabilité à densité
Soit
une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle et soit
Dire que
(
est la loi de probabilité de densité
) est égale à l’aire du domaine { (
Remarque : Pour tous réels
et
], alors
de
(
signifie que, pour tout intervalle
)
tels que
une densité de probabilité sur .
, la probabilité
( )}.
, on a :
)
( )
 Si
[
 Si
[
[, alors
(
)
∫ ( )
 Si
]
], alors
(
)
∫
∫
( )
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1)
La fonction
représentée peut être une densité
] car :
de probabilité sur [


 ∫
est continue sur [
est positive sur [
]
]
( )
Remarque : La fonction
représentée est définie sur [
] par
( )
[
{
[
]
.
]
2)
La fonction
représentée peut être une densité
de probabilité sur [
] car :


 ∫
est continue sur [
est positive sur [
]
]
( )
Remarque : La fonction
représentée est définie sur [
] par
( )
] par
( )
.
3)
La fonction
représentée ne peut pas être une
densité de probabilité sur [
] car :
 Même si est continue sur [
 Et même si est positive sur [
 ∫
]
]
( )
Remarque : La fonction
représentée est définie sur [
.
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4)
La fonction
représentée ne peut pas être une
densité de probabilité sur [
] car :
 Même si est continue sur [

n’est pas positive sur [
]
 ∫
]
( )
Remarque : La fonction
représentée est définie sur [
] par
( )
.
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Exercice 4 (3 questions)
Niveau : moyen
[ par ( )
définie sur [
Soit la fonction
est une densité de probabilité sur [
1) Montrer que
une variable aléatoire telle que ( )
Soit
.
2) Calculer (
3) Calculer (
[
[.
[ et dont la loi de probabilité admet
comme densité.
).
).
Correction de l’exercice 4
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est une densité de probabilité sur [
1) Montrons que
[.
Rappel : Limite de la composée de deux fonctions
,
et désignent des réels,
( )
Si
(
La fonction
( )
et si
)( )
ou
( )
.
et
sont deux fonctions.
[)
)
( ( ))
( )
( )
.
, continue sur [
est la composée de la fonction
continue sur ([
(
, alors on a :
[
[. Par conséquent,
Par ailleurs, pour tout
[
est positive sur [
[.
[,
.
[, par la fonction
est continue sur [
,
[.
est donc le quotient de deux nombres positifs. Par conséquent,
Enfin, on a :
∫ ( )
∫
Or,
(
et
fonctions,
(
[
)
)
(
]
(
(
))
(
)
donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux
)
. Par conséquent, par somme des limites,
(
)
,
c’est-à-dire :
∫ ( )
De ces trois résultats, il vient que
est une densité de probabilité sur [
[.
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2) Calculons (
(
)
).
∫ ( )
∫
3) Calculons (
)
]
(
)
).
Les événements (
(
[
) et (
(
) sont deux événements contraires. Par conséquent, il vient que :
)
∫ ( )
∫
[
]
[ ]
Remarque : On pouvait également utiliser la méthode suivante.
(
)
∫ ( )
Or,
fonctions,
c’est-à-dire (
(
et
(
)
)
∫
)
(
[
]
(
(
))
(
)
donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux
)
. Par conséquent, par somme des limites,
(
)
,
.
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Exercice 5 (3 questions)
Niveau : moyen
est une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité
définie sur [
] par ( )
.
1) Déterminer la valeur du réel .
) est un nombre rationnel.
2) Montrer que (
).
3) Calculer ( )(
Correction de l’exercice 5
Retour au menu
1) Déterminons la valeur du réel .
] comme étant le produit du réel par la
Tout d’abord, remarquons que est une fonction continue sur [
[
]. Remarquons par ailleurs que est positive sur [
] si et
fonction inverse, continue sur
] si
seulement si
. Enfin, la variable aléatoire suit une loi de probabilité de densité définie sur [
et seulement si :
( )
∫
∫
(
)
Finalement,
[
∫
(
(
)
∫ ( )
(
) est bien un nombre rationnel.
(
)
définie par ( )
sur [
].
) est un nombre rationnel.
(
3) Calculons
(
))
suit une loi de probabilité de densité
2) Montrons que (
]
∫
)(
[
∫
]
(
)
(
)
).
Rappel : Probabilités conditionnelles (conditionnement par un événement)
Soit
une loi de probabilité définie sur un ensemble . Soient
La probabilité de l’événement
(
(
)
((
)
(
(
(
))
)
.
)
( )
(
)
(
deux événements tels que ( )
( ), est définie par :
sachant l’événement , notée
( )
)(
et
)
∫
∫
∫
∫
[
[
]
]
)
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Exercice 6 (2 questions)
Soit
Niveau : moyen
1) Déterminer
] par ( )
définie sur [
un réel et soit la fonction
(
).
soit une densité de probabilité sur [
de sorte que
].
est une variable aléatoire qui suit la loi de densité de probabilité .
2) Calculer l’espérance de .
Correction de l’exercice 6
Retour au menu
] par ( )
1) Déterminons de sorte que la fonction , définie sur [
de probabilité sur [
].
Tout d’abord, notons que la fonction est continue sur [
, continue sur , par la fonction affine
(
Par ailleurs, pour tout
.
Enfin,
∫
[
],
(
)
∫ (
(
), soit une densité
] comme étant la composée de la fonction carré
), continue sur ( )
.
. D’où
est une densité de probabilité sur [
(
. Ainsi,
( )
si et seulement si
] si et seulement si :
)
[
]
(
(
(
)
))
)
] si et seulement si ( )
est une densité de probabilité sur [
Par conséquent,
(
).
2) Calculons l’espérance de .
Rappel : Espérance d’une variable aléatoire continue
L’espérance d’une variable aléatoire continue
de densité
( )
( )
(
∫
( )
(
(
(
∫ (
)
(
)
))
))
(
sur un intervalle est le nombre réel :
( )
∫
(
∫
)
∫ (
)
[
]
)
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