LP203 2007 – 2008 Contrôle continu – Épreuve du 21

LP203
2007 – 2008
Contrôle continu – Épreuve du 21 novembre 2007
Exercice 1
⎛ - r ⎞
Q
On considère le potentiel électrique défini par V(r) = 4πε r exp ⎜⎝ r ⎟⎠ en coordonnées
0
0
sphériques. Ce potentiel représente approximativement le potentiel d’un atome d’hydrogène.
1.1
Montrer qu’en tout point autre que l’origine, la densité de charge ρ(r) s’écrit :
ρ(r) =
⎛ - r ⎞
–Q
⎜ ⎟
2 exp ⎝
r0⎠
4πε r0 r
1.2 Tracer approximativement le graphe de la fonction ρ(r).
→
1.3 Analyser les propriétés de symétrie du champ électrostatique E( →
r ).
→
En déduire l’expression de E( →
r ).
1.4 Calculer le flux φ du champ électrostatique à travers une sphère de rayon R centrée sur O.
1.5 Calculer la charge contenue à l’intérieur d’une sphère de rayon R centrée en O.
1.6 En déduire la présence en O d’une charge que l’on déterminera.
1.7 Calculer la charge totale contenue dans l’espace.
1.8 En déduire la charge de l’espace privé du point O.
On rappelle l’expression de l’opérateur laplacien en coordonnées sphériques :
1 ∂2
1
∂2 f
1
∂ ⎛
∂f ⎞
∆f = r ∂r2(r f) + r2 sin2θ ∂ϕ2 + r2 sinθ ∂θ⎜⎝sinθ ∂θ⎟⎠
Exercice 2
On considère une calotte sphérique portant une distribution de charge σ uniforme (voir figure
ci-dessous).
Le point O est le centre de la sphère de rayon R à laquelle appartient la calotte sphérique
considérée.
2.1
Analyser les propriétés de symétrie de la
distribution de charges.
2.2
En déduire la direction du champ électrostatique
en un point de l’axe Oz.
2.3
Calculer le champ électrique en O.
2.4
Soit Q la charge totale portée sur la calotte,
exprimer E en fonction de Q (sans σ)
2θ
R
O
z