
N'oublions pas que 0d¶esigne ici le z¶ero des r¶eels,i.e. la section Q¡.
La premiµere propri¶et¶e exprime la commutativit¶e et la seconde exprime l'associativit¶e
de l'addition.
}La commutativit¶eest¶evidente : tout rationnel s'¶ecrivant de la forme p+qoµup
est un ¶el¶ement de ®et qun ¶el¶ement de ¯s'¶ecrit aussi sous la forme q+pd'un ¶el¶ement
de ¯et d'un ¶el¶ement de ®et vice-versa. On a donc ®+¯=¯+®.
}On v¶eri¯e ais¶ement qu'un rationnel appartient µa®+(¯+°)si et seulement si il
est de la forme p+q+roµu les rationnels p; q; r appartiennent respectivement µa®; ¯; °
(associativit¶e de la somme des rationnels). On en d¶eduit que ®+(¯+°)=(®+¯)+°.
}Il est plus d¶elicat de montrer que 0est ¶el¶ement neutre de la somme des r¶eels : il
faut montrer que ®+0µ®, puis que ®µ®+0
.
²montrons d'abord que ®+0 µ®:un¶el¶ement de ®+0 est la somme
d'un ¶el¶ement pde ®et d'un rationnel n¶egatif : il s'agit donc d'un rationnel
plus petit qu'un ¶el¶ement pde la section ®. La seconde propri¶et¶edessections
implique que c'est encore un ¶el¶ement de la section ®.
²montrons maintenant que ®µ®+0
. Prenons un ¶el¶ement quelconque h
de la section ®et essayons de l'¶ecrire comme somme d'un autre ¶el¶ement de
cette section et d'un rationnel strictement n¶egatif : ceci est possible car une
section ne contient pas de plus grand ¶el¶ement. Il existe donc un rationnel h0
plus grand que het encore dans ®:l'¶egalit¶eh=h0+(h¡h0)oµuh¡h0est
un rationnel n¶egatif permet de conclure.
}Cherchons pour terminer un oppos¶e pour l'addition : en utilisant la caract¶erisation
"un rationnel est inf¶erieur µaunr¶eel si et seulement si il appartient µalasectiond¶e¯nissant
ce r¶eel"etennotantqueh<¡½() ¡ h>½
, nous arrivons µalad¶e¯nition
¡®=fh2Qj¡h=2®g:
²sachant que le compl¶ementaire d'une section est une partie non vide minor¶ee
de Qet que tout rationnel sup¶erieur µa¶el¶ementdececompl¶ementaire en fait
encore partie, il est facile de voir que ¡®est une section de Q, quitte µa
¶eliminer son ¶eventuel plus grand ¶el¶ement (provenant de l'¶eventuel plus petit
¶el¶ement du compl¶ementaire de ®dans le cas oµu®est une section rationnelle).
²montrons tout d'abord que ®+(¡®)µ0.Un¶el¶ement de ®+(¡®)est
la somme d'un ¶el¶ement pde ®et d'un rationnel qtel que ¡qne soit pas
dans ®: comme tout ¶el¶ement du compl¶ementaire d'une section est sup¶erieur
(strictement) µatout¶el¶ement de cette section, nous voyons que p¡(¡q)=p+q
est strictement n¶egatif, ce qui donne l'inclusion voulue.
²montrons maintenant que tout rationnel strictement n¶egatif hpeut se met-
tre sous la forme de la somme d'un ¶el¶ement de la section ®et d'un ¶el¶ement de
son compl¶ementaire. Partons d'un ¶el¶ement quelconque pde ®et consid¶erons
la suite croissante de rationnels pn=p¡n£h. Comme la section ®est une
partie major¶ee de Q,ilexisteunentierm(unique d'ailleurs) tel que pmsoit
dans ®et pm+1 soit dans le compl¶ementaire de ®. Nous pouvons alors ¶ecrire
h=pm+(¡pm+1)oµulerationnel¡pm+1 est dans la section ¡®.
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