Addition des nombres r¶eels. II { Groupe additif des r

STRUCTURE ALGEBRIQUE DE
L'ENSEMBLE DES REELS
Nous avons d¶e¯ni dans le chapitre pr¶ec¶edent l'ensemble R. Nous allons maintenant le
munir des op¶erations traditionnelles.
I { Addition des nombres r¶eels.
Nous voulons d¶e¯nir la somme de deux r¶eels, i.e. la somme de deux sections de
Q. Rappelons que la section d¶e¯nissant le r¶eel aest l'ensemble des rationnels qui sont
inf¶erieurs strictement µaa(aprµes plongement de Qdans R).
La remarque ¶evidente suivante
"Un nombre xest inf¶erieure µa la somme a+bsi et seulement si l'on peut ¶ecrire x
comme la somme d'un nombre inf¶erieur µaaet d'un nombre inf¶erieur µab" nous conduit
µalad¶e¯nition suivante de la somme de deux sections :
1{D¶e¯nition et th¶eorµeme. Etant donn¶e deux sections ®et ¯, l'ensemble des ra-
tionnels somme d'un ¶el¶ement de ®et d'un ¶el¶ement de ¯est encore une section de Q.
On l'appelle somme de ®et de ¯et on la note ®+¯.
®+¯=fh2Qj9p2®; 9q2¯;h =p+qg
Sachant que ®et ¯sont deux parties non vides et major¶ees de Q,ilestclairque
®+¯est non vide et est major¶e (par la somme d'un majorant de ®et d'un majorant
de ¯).
Il reste µamontrerladeuxiµeme propri¶et¶e d'une section : prenons un ¶el¶ement hap-
partenant µa®+¯et un rationnel quelconque mplus petit que h; montrons que mest
encore dans ®+¯.
Sachant que h=p+qoµupest dans ®et qdans ¯, nous pouvons ¶ecrire m=p+(m¡p)
oµum¡pest un rationnel plus petit que q (mest inf¶erieur µap+q) : le rationnel m¡p
appartient donc µalasection¯et mest un ¶el¶ement de ®+b.
II { Groupe additif des r¶eels.
Nous allons montrer que l'addition d¶e¯nie ci-dessus confµere µaRune structure de
groupe additif commutatif, i.e.
²®+¯=¯+®
²®+(¯+°)=(®+¯)+°
²®+0=®
²tout r¶eel ®admet un oppos¶e¡®tel que ®+(¡®)=0
.
1

N'oublions pas que 0d¶esigne ici le z¶ero des r¶eels,i.e. la section Q¡.
La premiµere propri¶et¶e exprime la commutativit¶e et la seconde exprime l'associativit¶e
de l'addition.
}La commutativit¶eest¶evidente : tout rationnel s'¶ecrivant de la forme p+qoµup
est un ¶el¶ement de ®et qun ¶el¶ement de ¯s'¶ecrit aussi sous la forme q+pd'un ¶el¶ement
de ¯et d'un ¶el¶ement de ®et vice-versa. On a donc ®+¯=¯+®.
}On v¶eri¯e ais¶ement qu'un rationnel appartient µa®+(¯+°)si et seulement si il
est de la forme p+q+roµu les rationnels p; q; r appartiennent respectivement µa®; ¯; °
(associativit¶e de la somme des rationnels). On en d¶eduit que ®+(¯+°)=(®+¯)+°.
}Il est plus d¶elicat de montrer que 0est ¶el¶ement neutre de la somme des r¶eels : il
faut montrer que ®+0µ®, puis que ®µ®+0 .
²montrons d'abord que ®+0 µ®:un¶el¶ement de ®+0 est la somme
d'un ¶el¶ement pde ®et d'un rationnel n¶egatif : il s'agit donc d'un rationnel
plus petit qu'un ¶el¶ement pde la section ®. La seconde propri¶et¶edessections
implique que c'est encore un ¶el¶ement de la section ®.
²montrons maintenant que ®µ®+0
. Prenons un ¶el¶ement quelconque h
de la section ®et essayons de l'¶ecrire comme somme d'un autre ¶el¶ement de
cette section et d'un rationnel strictement n¶egatif : ceci est possible car une
section ne contient pas de plus grand ¶el¶ement. Il existe donc un rationnel h0
plus grand que het encore dans ®:l'¶egalit¶eh=h0+(h¡h0)oµuh¡h0est
un rationnel n¶egatif permet de conclure.
}Cherchons pour terminer un oppos¶e pour l'addition : en utilisant la caract¶erisation
"un rationnel est inf¶erieur µaunr¶eel si et seulement si il appartient µalasectiond¶e¯nissant
ce r¶eel"etennotantqueh<¡½() ¡ h>½
, nous arrivons µalad¶e¯nition
¡®=fh2Qj¡h=2®g:
²sachant que le compl¶ementaire d'une section est une partie non vide minor¶ee
de Qet que tout rationnel sup¶erieur µa¶el¶ementdececompl¶ementaire en fait
encore partie, il est facile de voir que ¡®est une section de Q, quitte µa
¶eliminer son ¶eventuel plus grand ¶el¶ement (provenant de l'¶eventuel plus petit
¶el¶ement du compl¶ementaire de ®dans le cas oµu®est une section rationnelle).
²montrons tout d'abord que ®+(¡®)µ0.Un¶el¶ement de ®+(¡®)est
la somme d'un ¶el¶ement pde ®et d'un rationnel qtel que ¡qne soit pas
dans ®: comme tout ¶el¶ement du compl¶ementaire d'une section est sup¶erieur
(strictement) µatout¶el¶ement de cette section, nous voyons que p¡(¡q)=p+q
est strictement n¶egatif, ce qui donne l'inclusion voulue.
²montrons maintenant que tout rationnel strictement n¶egatif hpeut se met-
tre sous la forme de la somme d'un ¶el¶ement de la section ®et d'un ¶el¶ement de
son compl¶ementaire. Partons d'un ¶el¶ement quelconque pde ®et consid¶erons
la suite croissante de rationnels pn=p¡n£h. Comme la section ®est une
partie major¶ee de Q,ilexisteunentierm(unique d'ailleurs) tel que pmsoit
dans ®et pm+1 soit dans le compl¶ementaire de ®. Nous pouvons alors ¶ecrire
h=pm+(¡pm+1)oµulerationnel¡pm+1 est dans la section ¡®.
2

III | Valeur absolue d'un r¶eel.
On appelle valeur absolue d'un r¶eel ½et l'on note j½jle r¶eel ¶egal µa ½si celui-ci est
positif ou nul et ¶egal µa l'oppos¶e¡½dans le cas contraire.
Le lecteur v¶eri¯era par lui-m^eme que l'in¶egalit¶e triangulaire
jj®j¡j¯jj ∙j®+¯j∙j®j+j¯j
est encore v¶eri¯¶ee pour tous r¶eels.
IV | Groupe multiplicatif des r¶eels positifs.
Nous allons d¶e¯nir la multiplication des r¶eels strictement positifs. Le produit de deux
r¶eels quelconques sera ensuite d¶e¯ni par le produit des valeurs absolues et la c¶elµebre rµegle
des signes.
La d¶e¯nition de la section produit s'inspire d'une remarque analogue µa celle ayant
donn¶e naissance µalasommedesections:
Un nombre positif est inf¶erieur au produit de deux nombres positifs aet bsi et seule-
ment si on peut l'¶ecrire comme produit d'u nombre positif inf¶erieur µaaet d'un nombre
positif inf¶erieur µab.
1{d¶e¯nition.
Le produit de la section ®par la section ¯est la r¶eunion des rationnels n¶egatifs et
des rationnels produits d'un ¶el¶ement positif de ®par un ¶el¶ement positif de ¯:
®£¯=Q¡[fh=p:q jp2®+;q 2¯+g
L'ensemble de rationnels ®£¯est non vide et major¶e (par le produit d'un majorant
de ®et d'un majorant de ¯). Un rationnel positif hinf¶erieur au produit p:q d'un ¶el¶ement
de ®et d'un ¶el¶ement de ¯peut s'¶ecrire h=h
q£qoµu le rationnel h qest plus petit que p
et appartient donc µalasection®.
Nous avons bien d¶e¯ni une section des rationnels.
2 { Structure de groupe multiplicatif de R+¤.
Il s'agit de montrer les quatre propri¶et¶es :²®£¯=¯£®
²®£(¯£°)=(®£¯)£°
²®£1R=®
²tout r¶eel ®admet un inverse ®¡1tel que ®£(®¡1)=1
R.
N'oublions pas que 1Rd¶esigne ici le "un" des r¶eels, i.e. l'ensemble des rationnels
stricement plus petits que 1.
}La premiµere propri¶et¶e exprime la commutativit¶e et la seconde exprime l'associativit¶e
de la multiplication. Elles d¶ecoulent de ces m^emes propri¶et¶es dans les rationnels.
}Montrons que la section 1Rest ¶el¶ement neutre pour le produit.
3

²montrons d'abord l'inclusion ®£1Rµ®: ilsu±tdemontrerqueleproduit
d'un ¶el¶ement positif pde ®par un rationnel positif strictement inf¶erieur µa1
est encore dans la section ®. Ce produit est un rationnel strictement inf¶erieur
µa pet appartient bien µalasection®.
²montrons maintenant l'inclusion ®µ®£1R: il su±t de montrer que
tout ¶el¶ement positif pde la section ®est le produit d'un ¶el¶ement de cette
section par un rationnel positif strictement inf¶erieur µa1. Comme une section
ne possµede pas de plus grand ¶el¶ement, il existe un rationnel q>pdans ®
:ilsu±talorsd'¶ecrire pcomme le produit de qpar le rationnel p
qqui est
strictement plus petit que 1.
}cherchons maintenant un inverse µalasection®.Laremarque¶evidente (avec des
nombres positifs) "h<1
½() 1 h>½
" conduit µalad¶e¯nition suivante :
®¡1=Q¡[fh>0j1
h=2®g:
²le compl¶ementaire d'une section ¶etant non vide minor¶e, ®¡1est non vide
major¶ee ; tout rationnel sup¶erieur µaun¶el¶ement du compl¶ementaire d'une
section fait encore partie de ce compl¶ementaire, ce qui permet d'a±rmer -
par passage µa l'inverse - que tout rationnel inf¶erieur µaun¶el¶ement de ®¡1
en fait encore partie. Nous avons bien d¶e¯ni une section, quitte µa¶eliminer
l'¶eventuel plus grand ¶el¶ement si ®¶etait une section rationnelle.
²montrons l'inclusion ®£®¡1µ1R: ilsu±tdemontrerqueleproduit
d'un ¶el¶ement strictement positif pde ®par un ¶el¶ement strictement positif
qde ®¡1est un rationnel strictement plus petit que 1. Comme 1
qn'est pas
dans ®,nousavonsp<1
q(tout ¶el¶ement d'une section est inf¶erieur µatout
¶el¶ement du compl¶ementaire de cette section), ce qui donne le r¶esultat.
²montrons maintenant l'inclusion en sens inverse : il s'agit de montrer que
tout rationnel hstrictement compris entre 0et 1peut s'¶ecrire comme produit
d'un ¶el¶ement de ®par un ¶el¶ement de ®¡1.
Prenons un ¶el¶ement quelconque strictement positif ade ®et consid¶erons
lasuitecroissantederationnelsan=a
hn. Comme ®est major¶ee, il ex-
iste un (unique) entier mtel que amsoit dans ®et am+1 soit dans son
compl¶ementaire. Nous pouvons alors ¶ecrire h=am£1
am+1
oµu1
am+1
est dans
®¡1.
L'ensemble des r¶eels strictements positifs est donc un groupe multiplicatif ab¶elien
(commutatif).
V | Multiplication des r¶eels.
Le produit de deux r¶eels quelconques est donn¶e par sa valeur absolue (le produit des
valeurs absolues) et son signe (donn¶eparlac¶elµebre rµegle des signes).
Le produit d'un r¶eel quelconque par 0donne 0(on peut d'ailleurs le v¶eri¯er en
extrapolant la d¶e¯nition du produit de deux r¶eels positifs au cas oµu l'un est nul : la
section obtenue est r¶eduite aux rationnels strictement n¶egatif, i.e. µa0).
4

L'ensemble R¤des r¶eels non nuls est un groupe multiplicatif ab¶elien pour cette mul-
tiplication.
VI | Structure de corps de R.
Le lecteur v¶eri¯era µa titre d'exercice que la multiplication est distributive par rapport
µa l'addition, i.e.
(®+¯)£°=®£°+¯£°
pour tous r¶eels ®; ¯; °.
L'ensemble de toutes les propri¶et¶es ¶enonc¶es confµere µaRune structure de corps com-
mutatif.
Montrons pour terminer que l'addition des r¶els et la multiplication des r¶eels positifs
sont compatibles avec la relation d'ordre d¶e¯nie sur R.
}montrons que si ®∙®0et ¯∙¯0alors ®+¯∙®0+¯0.
Un ¶el¶ement quelconque de ®+¯est de la forme p+qoµupappartient µa®et q
appartient µa¯.Direque
®∙®0et ¯∙¯0signi¯e que tout ¶el¶ement de ®appartient µa
®0et que tout ¶el¶ement de ¯appartient µa¯0.Ilenr¶esulte que p+qest dans ®0+¯0.
L'inclusion ®+¯µ®0+¯0en tant que parties de Qtraduit l'in¶egalit¶evoulueentre
r¶eels.
}le raisonnement est analogue pour la multiplication : si 0∙®∙®0et 0∙¯∙¯0
alors 0∙®+¯∙®0+¯0. Il su±t de raisonner avec les rationnels strictement positifs
de chaque section et d'utiliser le m^eme argument que ci-dessus.
Nous dirons pour conclure que Rest un corps totalement ordonn¶e.
5