Nombres rationnels et proportionnalité Fiche professeur N°7 Enfin

Groupe National Mathématiques : Les automates. A.Pressiat p 1 / 2
Nombres rationnels et proportionnalité Fiche professeur N°7
Enfin, on exploite la définition d'un nombre rationnel comme quotient pour en faire un outil pour
traiter les situations de proportionnalité : il permet de généraliser la notion de "nombre de fois" du
cas où ce "nombre de fois" est entier, au cas où il est rationnel. Le cas où le nombre rationnel est
décimal est intéressant à la fois sur le plan pratique et sur le plan théorique.
Illustrons ceci avec des écrits de type tableau :
Un nombre entier de fois :
3 fois
Un nombre décimal de fois :
1,2 fois 0,375 fois
7,23 € ?
Pour multiplier 7,23 par 1,2 on multiplie 7,23 par 12 puis on divise par 10.
Or 1,2 =12
10 Pour multiplier par 12
10 on multiplie par 12 et on divise par 10.
4 kg 12 kg
x 3
15 € ?
× 3
× 1,2 ou × 12
10
10 L 12 L
× 1,2
100 cl 37,5 cl
10,67 € ?
× 0,375 ou 37,5 %
× 0,375

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Pour multiplier 10,67 par 0,375 on multiplie 10,67 par 375 puis on divise par 1000.
Or 0,375 =375
1000 Pour multiplier par 375 1000 on multiplie par 375 et on divise par 1000.
Un nombre rationnel de fois :
12
7 fois
– Le raisonnement précédent est valable même lorsque le dénominateur du quotient est différent de
10. Ainsi pour calculer 15,47 € x 12
7 on peut utiliser la technique suivante :
on multiplie 15,47 € par 12 et on divise le résultat par 7 : on trouve 26,52 €. On s’appuie ainsi sur
le fait que 12
7 est le "septième de douze".
En faisant abstraction des grandeurs pour tout rabattre sur le numérique, cela veut dire que l'on
utilise la formule : c×b
a=c×b
a.
– On peut également s'appuyer sur le fait que 12
7 c’est "douze septièmes" : on calcule
1 septième de 15,47 €, en divisant par 7 ; cela fait 2,21 €, puis on calcule 12 septièmes en
multipliant par 12 : 2,21 € x 12 ; cela fait 26,52 €.
En faisant abstraction des grandeurs pour tout rabattre sur le numérique, cela veut dire que l'on
utilise la formule : c×b
a=c a×b.
– On peut également utiliser la calculatrice : on calcule 12
7. La calculatrice affiche
12
7 = 1,714285714. Puis on multiplie le nombre ainsi obtenu par 15,47 (€) : cela fait 26,52 (€).
7 kg 12 kg
15,47 € ?
×12
7
×12
7