Probabilités

1re STI2D, lycée Jean Moulin, Béziers
Probabilités
Probabilités
1.a
Schéma de Bernoulli
Définition 1
1
1.b
Pré-requis
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon
certaine. On appelle ce résultat (mesurable) une « issue », et il peut y en avoir plus d’une.
une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne présente que deux issues
possibles : un succès ou un échec.
Le succès à une épreuve de Bernoulli est noté S et a pour probabilité P(S ) = p. L’échec
sera donc noté E ou de préférence S et aura pour probabilité P(S ) = 1 − p.
Exemple : avec une pièce, il y a deux issues possibles, pile ou face.
Définition 2
L’ensemble regroupant toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire est appelé l’univers de l’expérience, et il noté Ω. Si Ω contient n issues, notées respectivement
ω1 , ω2 , . . . , ωn , on a donc :
Ω = ωi ~1 , n
ou plus simplement
Ω = ω1 , ω2 , . . . , ωn
La loi de probabilité associé à une épreuve de Bernoulli est appelée loi de Bernoulli
de paramètre p .
Un événement correspond à un ensemble d’issues possibles d’une expérience aléatoire. Il
s’agit donc d’une partie (un sous-ensemble) de l’univers Ω. Une fois que l’expérience est
menée à terme, on dit que l’issue qui en découle réalise l’événement.
1.c
Exemple : E : « obtenir un numéro pair avec un dé ».
Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6
et
Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli
issue
S
S
probabilité
p
1− p
Schéma de Bernoulli
Définition 3
E = 2; 4; 6
Un événement qui ne contient qu’une seule issue est appelé « événement élémentaire ».
Définir une loi de probabilité sur Ω, c’est associer à chaque événement élémentaire ωi
de Ω un réel positif ou nul pi tels que p1 + p2 + . . . + pn = 1.
Activité 1
Le nombre pi est appelé probabilité de l’événement élémentaire ωi (c’est la probabilité
pour que cet événement élémentaire se réalise) : pi = P(ωi )
Exemple : Quand on lance un dé non truqué, la probabilité d’obtenir un numéro est de
1. En effet on est certain d’obtenir un numéro. Il y a six événements élémentaires
{1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6} ayant toutes 61 comme probabilité : 16 + 16 + 61 + 16 + 16 + 16 = 1
Une expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois de manière indépendante une
même épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de
paramètre n et p.
À un jeu de tir, on a 7 chances sur 10 d’atteindre la cible.
1. Expliquez pourquoi il s’agit d’une épreuve de Bernoulli ?
2. Construire l’arbre des probabilités (ou arbre pondéré) correspondant à trois
épreuves successives, en indiquant tous les événements élémentaires.
3. Quel est l’univers Ω de cette expérience ?
Un loi de probabilité se décrit souvent à l’aide d’un tableau :
issue ωi
ω1
ω2
...
ωn
probabilité pi = P(ωi )
p1
p2
...
pn
4. On considère l’événement E : « l’archer atteint deux fois la cible ». Écrire E.
5. Quel est la probabilité d’avoir trois succès ?
La probabilité d’un événement E, noté P(E), est la somme de toutes les probabilités
associées aux événements élémentaires qui réalisent E.
1. On peut atteindre la cible (succès S ) ou la rater (échec S ). Il n’y a que deux issues
possibles à cette épreuve, cela correspond donc à une épreuve de Bernoulli.
0 ≤ P(E) ≤ 1
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épreuve 1
0,3
0,7
S
(S , S , S )
0,3
S
(S , S , S )
Dans l’activité précédente, on peut associer une valeur numérique à un événement. Il suffit
pour cela de dicter une « règle ».
0,7
S
(S , S , S )
0,3
S
(S , S , S )
exemple : avec le jeu de tir précédent, on remporte la somme de 10 e si on atteint trois fois
la cible, 5 e si on l’atteint deux fois sur trois, 1 e si on l’atteint une fois sur trois, et rien
si on la rate systématiquement. On note G le gain obtenu après une partie.
S
(S , S , S )
2
0,7
S
G est une variable qui peut alors prendre quatre valeurs différentes :
g1 = 0
0,3
S
(S , S , S )
0,7
S
(S , S , S )
0,3
S
(S , S , S )
S
(S , S , S ) , (S , S , S ) , (S , S , S ) , (S , S , S ), (S , S , S ),
4. E =
(S , S , S ) , (S , S , S ) , (S , S , S )
g4 = 10
On appelle variable aléatoire le résultat
mis sous forme numérique d’une expérience
aléatoire dont l’univers est Ω = ωi ~1 , n .
Une variable aléatoire X est une fonction, définie de Ω dans R :
X : ωi ∈ Ω 7−→ X(ωi ) = xk ∈ R
(S , S , S ) , (S , S , S ) , (S , S , S )
g3 = 5
Avec cette « règle », il y a donc par exemple trois façons différentes de remporter 5 e,
en réalisant un des trois événements élémentaires suivants : (S , S , S ), (S , S , S ) ou
(S , S , S ).
Définition 4
3. Ω =
g2 = 1
Comme cette variable G résulte d’une expérience aléatoire, on l’appelle « variable
aléatoire ». Elle est discrète dans la mesure où elle ne prend que des valeurs isolées.
S
S
0,3
Variable aléatoire discrète, loi de probabilité
S
0,7
0,3
la probabilité d’un événement élémentaire est le produit des probabilités associées aux branches qui mènent à cet événement.
événements
élémentaires
S
0,7
La somme des probabilités portées sur les branches issues d’un même nœud est
égal à 1.
épreuve 3
épreuve 2
0,7
2. Il y a trois épreuves de Bernoulli de paramètre p = 0,7. Cela correspond donc
à un schéma de Bernoulli, et l’arbre pondéré est donc :
Propriété 1
Probabilités
L’ensemble des valeurs numériques prises par X est noté X(Ω).
Exemple : avec le jeu de tir précédent, le
dans
gain G estune
variable
aléatoire à valeurs
G(Ω) = 0, 1 , 5 , 10 . On a ainsi G (S , S , S ) = 3 et G (S , S , S ) = 1.
L’événement E contient trois événements élémentaires, qui peuvent réaliser E.
Exercice 1
5. Il n’y a qu’un chemin qui conduit à trois succès, et :
P (S , S , S ) = 0,7 × 0,7 × 0,7 = (0,7)3
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On lance deux pièces de monnaies identiques. On note l’issue P pour pile, et F pour
face.
Déterminez une variable aléatoire qui permet de décrire cette expérience aléatoire.
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Probabilités
Pour définir une variable aléatoire dans ce cas de figure, on peut s’intéresser au
nombre defois où « face » est apparu. La variable aléatoire est alors définie par
X : Ω −→ 0 , 1 , 2 qu’on peut résumer avec le tableau :
2. L’univers de ces deux expérience aléatoire est le même :
, , , , ,
qu’on peut aussi noter plus simplement Ω = 1 ,
Ω=
2, 3, 4, 5, 6
Les tableaux décrivant les deux lois de probabilités sont :
ωi
(P, P)
(P, F)
(F , P)
(F , F)
xk
0
1
1
2
Jeu 1 :
ωi avec i ∈ ~1 , 6
xk avec k ∈ ~1, 6
On a donc X(Ω) = 0, 1 , 2 . On remarque qu’il y a trois issues possibles pour X
alors que Ω en possède quatre.
1
2
3
4
5
6
5
2
5
Xjeu 1 (Ω) = 1, 2, 3 , 4 , 5 , 6
ne pas confondre le nombre d’issues de l’expérience aléatoire et celui de
la variable aléatoire : ils ne sont pas nécessairement égaux !
Jeu 2 :
ωi avec i ∈ ~1 , 6
xk avec k ∈ ~1, 2
On considère deux jeux de dés différents (en lançant un dé à six faces non truqué).
Les deux règles qui définissent les variables aléatoires sont les suivantes :
2
5
2
Xjeu 2 (Ω) = 2 , 5
Jeu 1 : on gagne autant d’argent que le numéro qui est sorti après le lancer ;
Définition 5
Jeu 2 : on gagne 5 e si le numéro sorti est pair, et 2 e s’il est impair.
1. Faire des schémas qui décrivent Ω et X(Ω) dans chacun des jeux ;
2. Construire des tableaux qui décrivent la loi de probabilité de X(Ω) dans les deux
jeux.
Soit X une variable aléatoire définit sur Ω, avec X =
l’ensemble des valeurs prises par X).
x1 , x2 , . . . , xr (il s’agit de
L’ensemble qui contient
les événements élémentaires qui réalisent X = xk se note
simplement X = xk :
X = xk = ωi ∈ Ω : X(ωi ) = xk
1. Les deux schémas sont les suivants :
Ω
1e
2e
3e
X(Ω)
4e
5e
6e
2e
Ω
Jeu 2
Jeu 1
n
o n o
si on considère le jeu 1 : Xjeu 1 = 5 =
n
o n
o
si on considère le jeu 2 : Xjeu 2 = 5 =
, ,
n
o n
o
si on considère le jeu de tir : G = 5 = (S , S , S ) , (S , S , S ) , (S , S , S )
Exemples :
X(Ω)
Définition 6
Activité 2
Attention
5e
On définit une loi de probabilité de la variable aléatoire Xen associant
à chaque valeur
xk de X, la probabilité pk de réalisation de l’événement X = xk .
pk = P
X = xk
et
r
X
k=1
3/4
pk = p1 + . . . + pr = 1
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,
o
3
Loi binomiale, espérance mathématique, variance, écart type
.
Définition 7
n
1. si on considère le jeu 2 : P X = 5 = P
,
Or la probabilité d’un événement est la somme de toutes les probabilités associées aux événements élémentaires qui réalisent cet événement, donc :
o
n
, ,
=P
+P
+P
P
Dans un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, on définit une variable aléatoire
X qui compte le nombre k de succès au cours des n épreuves de Bernoulli.
La loi de probabilité de cette variable aléatoire s’appelle la loi binomiale de paramètre
n et p, et se note B(n ; p).
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p : X ,→ B(n; p).
X=5 =P
+P
+P
La loi binomiale est donc associée à un schéma de Bernoulli.
3
ce qui donne finalement P X = 5 =
6
n
o
2. avec le jeu de tir : P G = 5 = P (S , S , S ) , (S , S , S ) , (S , S , S ) .
Exemple : le jeu de tir correspond à un schéma de Bernoulli. La loi de probabilité correspondante est donc une loi binomiale B (3, 0,7).
Définition 8
n
o
n
o
Or P (S , S , S ) , (S , S , S ), (S , S , S )
= P (S , S , S )
o
n
o
n
+ P (S , S , S ) + P (S , S , S )
o
 n

P (S , S , S )
= 0,7 × 0,7 × 0,3 = 0,3 × (0,7)2




 n
o
avec
= 0,7 × 0,3 × 0,7 = 0,3 × (0,7)2
P (S , S , S )



n
o


 P (S , S , S )
= 0,3 × 0,7 × 0,7 = 0,3 × (0,7)2
donc P
nombre de succès : k
3
2
1
0
probabilité : pk
(0,7)3
3 × 0,3 × (0,7)2
3 × (0,3)2 × 0,7
(0,3)3
Soit X une variable aléatoire qui prend r valeurs xk avec la probabilité pk . L’espérance
mathématique de X est le nombre E(X) définit par :
r
X
E(X) = p1 x1 + . . . + pr xr =
pk xk
k=1
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X peut s’interpréter comme la valeur
moyenne des valeurs prises par X (les nombre xi ), lorsque l’expérience aléatoire est répétée
un très grand nombre de fois. En effet, la fréquence de réalisation d’un évènement se rapproche
alors de sa probabilité (loi des grands nombres) :
r
r
X
X
x = f1 x1 + . . . + fr xr =
fk x k ≈
pk xk = E(X)
G = 5 = 3 × 0,3 × (0,7)2 ≈ 0,441
De la même manière on détermine que :
P G = 0 = (0,3)3 , P G = 1 = 3 × 0,7 × (0,3)2 , P G = 10 =
k=1
(0,7)3
On vérifie facilement que la somme de ces probabilités vaut 1 :
P G = 0 + P G = 1 + P G = 10 + P G = 5
= (0,7)3 + 3 × 0,7 × (0,3)2 + 3 × 0,3 × (0,7)2 + (0,3)3
343 + 441 + 189 + 27
=
=1
1000
k=1
Si X suit une loi binomiale de paramètre n et p :
soit P
Théorème 1
Application 1
Probabilités
son espérance mathématique est E(X) = np ;
sa variance est V(X) = np(1 − p) ;
√
son écart type est σ(X) = np(1 − p).
Exemple : Avec le jeu de tir, E(X) = 3 × 0.7 = 2,1. On peut espérer atteindre la cible en
moyenne 2,1 fois par jeu. σ(X) = 0,8.
4/4