Probabilités

Probabilités 1re STI2D, lycée Jean Moulin, Béziers
Probabilit´ es
1Schéma de Bernoulli
1.a Pré-requis
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon
certaine. On appelle ce résultat (mesurable) une « issue », et il peut y en avoir plus d’une.
Exemple : avec une pièce, il y a deux issues possibles, pile ou face.
L’ensemble regroupant toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire est ap-
pelé l’univers de l’expérience, et il noté Ω. Si Ωcontient nissues, notées respectivement
ω1, ω2, . . . , ωn, on a donc :
Ω = ω1, ω2, . . . , ωnou plus simplement Ω = ωi~1,n
Un événement correspond à un ensemble d’issues possibles d’une expérience aléatoire. Il
s’agit donc d’une partie (un sous-ensemble) de l’univers Ω. Une fois que l’expérience est
menée à terme, on dit que l’issue qui en découle réalise l’événement.
Exemple : E: « obtenir un numéro pair avec un dé ».
Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6et E=2; 4; 6
Un événement qui ne contient qu’une seule issue est appelé « événement élémentaire ».
Définir une loi de probabilité sur Ω, c’est associer à chaque événement élémentaire ωi
de Ωun réel positif ou nul pitels que p1+p2+. . . +pn=1.
Le nombre piest appelé probabilité de l’événement élémentaire ωi(c’est la probabilité
pour que cet événement élémentaire se réalise) : pi=P(ωi)
Exemple : Quand on lance un dé non truqué, la probabilité d’obtenir un numéro est de
1. En effet on est certain d’obtenir un numéro. Il y a six événements élémentaires
{1,2,3,4,5,6}ayant toutes 1
6comme probabilité : 1 6+1 6+1 6+1 6+1 6+1 6=1
Un loi de probabilité se décrit souvent à l’aide d’un tableau :
issue ωiω1ω2... ωn
probabilité pi=P(ωi)p1p2... pn
La probabilité d’un événement E, noté P(E), est la somme de toutes les probabilités
associées aux événements élémentaires qui réalisent E.
0≤P(E)≤1
1.b Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli
Définition 1
une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne présente que deux issues
possibles : un succès ou un échec.
Le succès à une épreuve de Bernoulli est noté Set a pour probabilité P(S)=p. L’échec
sera donc noté Eou de préférence Set aura pour probabilité P(S)=1−p.
Définition 2
La loi de probabilité associé à une épreuve de Bernoulli est appelée loi de Bernoulli
de paramètre p .
issue S S
probabilité p1−p
1.c Schéma de Bernoulli
Définition 3
Une expérience aléatoire qui consiste à répéter nfois de manière indépendante une
même épreuve de Bernoulli de paramètre ps’appelle un schéma de Bernoulli de
paramètre n et p.
Activité 1
À un jeu de tir, on a 7 chances sur 10 d’atteindre la cible.
1. Expliquez pourquoi il s’agit d’une épreuve de Bernoulli ?
2. Construire l’arbre des probabilités (ou arbre pondéré) correspondant à trois
épreuves successives, en indiquant tous les événements élémentaires.
3. Quel est l’univers Ωde cette expérience ?
4. On considère l’événement E : « l’archer atteint deux fois la cible ». Écrire E.
5. Quel est la probabilité d’avoir trois succès ?
1. On peut atteindre la cible (succès S) ou la rater (échec S). Il n’y a que deux issues
possibles à cette épreuve, cela correspond donc à une épreuve de Bernoulli.
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2. Il y a trois épreuves de Bernoulli de paramètre p=0,7. Cela correspond donc
à un schéma de Bernoulli, et l’arbre pondéré est donc :
3. Ω = (S,S,S),(S,S,S),(S,S,S),(S,S,S),(S,S,S),
(S,S,S),(S,S,S),(S,S,S)
4. E=(S,S,S),(S,S,S),(S,S,S)
L’événement Econtient trois événements élémentaires, qui peuvent réaliser E.
5. Il n’y a qu’un chemin qui conduit à trois succès, et :
P(S,S,S)=0,7×0,7×0,7=(0,7)3
Propriété 1
La somme des probabilités portées sur les branches issues d’un même nœud est
égal à 1.
la probabilité d’un événement élémentaire est le produit des probabilités asso-
ciées aux branches qui mènent à cet événement.
2Variable aléatoire discrète, loi de probabilité
Dans l’activité précédente, on peut associer une valeur numérique à un événement. Il suffit
pour cela de dicter une « règle ».
exemple : avec le jeu de tir précédent, on remporte la somme de 10 esi on atteint trois fois
la cible, 5 esi on l’atteint deux fois sur trois, 1 esi on l’atteint une fois sur trois, et rien
si on la rate systématiquement. On note Gle gain obtenu après une partie.
Gest une variable qui peut alors prendre quatre valeurs différentes :
g1=0g2=1g3=5g4=10
Comme cette variable Grésulte d’une expérience aléatoire, on l’appelle « variable
aléatoire ». Elle est discrète dans la mesure où elle ne prend que des valeurs isolées.
Avec cette « règle », il y a donc par exemple trois façons différentes de remporter 5 e,
en réalisant un des trois événements élémentaires suivants : (S,S,S), (S,S,S) ou
(S,S,S).
Définition 4
On appelle variable aléatoire le résultat mis sous forme numérique d’une expérience
aléatoire dont l’univers est Ω = ωi~1,n.
Une variable aléatoire Xest une fonction, définie de Ωdans R:
X:ωi∈Ω7−→ X(ωi)=xk∈R
L’ensemble des valeurs numériques prises par Xest noté X(Ω).
Exemple : avec le jeu de tir précédent, le gain Gest une variable aléatoire à valeurs dans
G(Ω)=0,1,5,10. On a ainsi G(S,S,S)=3 et G(S,S,S)=1.
Exercice 1
On lance deux pièces de monnaies identiques. On note l’issue Ppour pile, et Fpour
face.
Déterminez une variable aléatoire qui permet de décrire cette expérience aléatoire.
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épreuve 1 épreuve 2 épreuve 3 événements
élémentaires
S
S
S(S,S,S)
0,7
S(S,S,S)
0,3
0,7
S
S(S,S,S)
0,7
S(S,S,S)
0,3
0,3
0,7
S
S
S(S,S,S)
0,7
S(S,S,S)
0,3
0,7
S
S(S,S,S)
0,7
S(S,S,S)
0,3
0,3
0,3

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Pour définir une variable aléatoire dans ce cas de figure, on peut s’intéresser au
nombre de fois où « face » est apparu. La variable aléatoire est alors définie par
X:Ω−→ 0,1,2qu’on peut résumer avec le tableau :
ωi(P,P) (P,F) (F,P) (F,F)
xk0 1 1 2
On a donc X(Ω)=0,1,2. On remarque qu’il y a trois issues possibles pour X
alors que Ωen possède quatre.
Attention ne pas confondre le nombre d’issues de l’expérience aléatoire et celui de
la variable aléatoire : ils ne sont pas nécessairement égaux !
Activité 2
On considère deux jeux de dés différents (en lançant un dé à six faces non truqué).
Les deux règles qui définissent les variables aléatoires sont les suivantes :
Jeu 1 : on gagne autant d’argent que le numéro qui est sorti après le lancer ;
Jeu 2 : on gagne 5 esi le numéro sorti est pair, et 2 es’il est impair.
1. Faire des schémas qui décrivent Ωet X(Ω) dans chacun des jeux ;
2. Construire des tableaux qui décrivent la loi de probabilité de X(Ω) dans les deux
jeux.
1. Les deux schémas sont les suivants :
2. L’univers de ces deux expérience aléatoire est le même :
Ω = ,,,,,qu’on peut aussi noter plus simplement Ω = 1,2,3,4,5,6
Les tableaux décrivant les deux lois de probabilités sont :
Jeu 1 : ωiavec i∈~1,6
xkavec k∈~1,6123456
Xjeu 1(Ω)=1,2,3,4,5,6
Jeu 2 : ωiavec i∈~1,6
xkavec k∈~1,2252525
Xjeu 2(Ω)=2,5
Définition 5
Soit Xune variable aléatoire définit sur Ω, avec X=x1,x2, . . . , xr(il s’agit de
l’ensemble des valeurs prises par X).
L’ensemble qui contient les événements élémentaires qui réalisent X=xkse note
simplement X=xk:
X=xk=ωi∈Ω:X(ωi)=xk
Exemples : si on considère le jeu 1 : nXjeu 1 =5o=n o
si on considère le jeu 2 : nXjeu 2 =5o=n, , o
si on considère le jeu de tir : nG=5o=n(S,S,S),(S,S,S),(S,S,S)o
Définition 6
On définit une loi de probabilité de la variable aléatoire Xen associant à chaque valeur
xkde X, la probabilité pkde réalisation de l’événement X=xk.
pk=PX=xket
r
X
k=1
pk=p1+. . . +pr=1
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Jeu 1
ΩX(Ω)
1e
2e
3e
4e
5e
6e
Jeu 2
ΩX(Ω)
5e
2e

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Application 1
1. si on considère le jeu 2 : PX=5=Pn , , o.
Or la probabilité d’un événement est la somme de toutes les probabilités asso-
ciées aux événements élémentaires qui réalisent cet événement, donc :
Pn , , o=P +P +P 
soit PX=5=P +P +P 
ce qui donne finalement PX=5=3
6
2. avec le jeu de tir : PG=5=Pn(S,S,S),(S,S,S),(S,S,S)o.
Or Pn(S,S,S),(S,S,S),(S,S,S)o=Pn(S,S,S)o
+Pn(S,S,S)o+Pn(S,S,S)o
avec
Pn(S,S,S)o=0,7×0,7×0,3=0,3×(0,7)2
Pn(S,S,S)o=0,7×0,3×0,7=0,3×(0,7)2
Pn(S,S,S)o=0,3×0,7×0,7=0,3×(0,7)2
donc PG=5=3×0,3×(0,7)2≈0,441
De la même manière on détermine que :
PG=0=(0,3)3,PG=1=3×0,7×(0,3)2,PG=10=
(0,7)3
On vérifie facilement que la somme de ces probabilités vaut 1 :
PG=0+PG=1+PG=10+PG=5
=(0,7)3+3×0,7×(0,3)2+3×0,3×(0,7)2+(0,3)3
=343 +441 +189 +27
1000 =1
3Loi binomiale, espérance mathématique, variance, écart type
Définition 7
Dans un schéma de Bernoulli de paramètre net p, on définit une variable aléatoire
Xqui compte le nombre k de succès au cours des n épreuves de Bernoulli.
La loi de probabilité de cette variable aléatoire s’appelle la loi binomiale de paramètre
net p, et se note B(n;p).
On dit que Xsuit la loi binomiale de paramètres net p:X→ B(n;p).
La loi binomiale est donc associée à un schéma de Bernoulli.
Exemple : le jeu de tir correspond à un schéma de Bernoulli. La loi de probabilité corres-
pondante est donc une loi binomiale B(3,0,7).
nombre de succès : k3 2 1 0
probabilité : pk(0,7)33×0,3×(0,7)23×(0,3)2×0,7 (0,3)3
Définition 8
Soit Xune variable aléatoire qui prend rvaleurs xkavec la probabilité pk. L’espérance
mathématique de Xest le nombre E(X) définit par :
E(X)=p1x1+. . . +prxr=
r
X
k=1
pkxk
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire Xpeut s’interpréter comme la valeur
moyenne des valeurs prises par X(les nombre xi), lorsque l’expérience aléatoire est répétée
un très grand nombre de fois. En effet, la fréquence de réalisation d’un évènement se rapproche
alors de sa probabilité (loi des grands nombres) :
x=f1x1+. . . +frxr=
r
X
k=1
fkxk≈
r
X
k=1
pkxk=E(X)
Théorème 1
Si Xsuit une loi binomiale de paramètre net p:
son espérance mathématique est E(X)=np ;
sa variance est V(X)=np(1 −p) ;
son écart type est σ(X)=√np(1 −p).
Exemple : Avec le jeu de tir, E(X)=3×0.7=2,1. On peut espérer atteindre la cible en
moyenne 2,1 fois par jeu. σ(X)=0,8.
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