Chapitre 5 Connexité

Chapitre 5
Connexité
5.1
Espaces topologiques connexes
Définition 5.1.1. Un espace topologique X est connexe si et seulement si les seules
parties à la fois ouvertes et fermés sont X et ∅.
Une partie d’un espace topologique est connexe si et seulement si elle l’est comme sousespace (avec la topologie induite).
Proposition 5.1.2. Un espace topologique (X, T ) est connexe si et seulement si : il
n’existe pas de partition de X en deux ouverts non triviaux :
(X = V ∪ W , V ∩ W = ∅ , V ∈ T , W ∈ T ) ⇒ (V = ∅ ou W = ∅) .
Remarque 5.1.3. Reformulation pour une partie connexe : A est une partie connexe de
(X, T ) si et seulement si :
(A ⊂ (V ∪ W ) , A ∩ V ∩ W = ∅ , V ∈ T , W ∈ T ) ⇒ (A ∩ V = ∅ ou A ∩ W = ∅) .
Proposition 5.1.4. Un espace topologique (X, T ) est connexe si et seulement si : il
n’existe pas de partition de X en deux fermés non triviaux.
Remarque 5.1.5. Reformulation pour une partie connexe : A est une partie connexe de
(X, T ) si et seulement si :
(A ⊂ (F ∪ G) , A ∩ F ∩ G = ∅ , F et G fermés ) ⇒ (A ⊂ F ou G ⊂ F ) .
Proposition 5.1.6. L’adhérence d’une partie connexe est connexe.
Théorème 5.1.7. L’image d’un espace topologique connexe par une application continue
est connexe.
Théorème 5.1.8. Les parties connexes de R sont les intervalles.
Corollaire 5.1.9. Soit f une application continue d’un intervalle I de R vers R.
a) L’image de I est un intervalle.
b) Si I est un intervalle fermé borné [a, b], alors l’image est un intervalle fermé borné.
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5.2
Connexité par arcs
Définition 5.2.1. On appelle chemin dans un espace topologique X, toute application
continue γ de [0, 1] dans X.
Les points γ(0) et γ(1) sont respectivement l’origine et l’extrémité du chemin. On
dit que le chemin connecte γ(0) et γ(1).
Définition 5.2.2. Un espace topologique X est connexe par arcs si et seulement si deux
points quelconques de X peuvent toujours être connectés par un chemin.
Proposition 5.2.3. Tout espace topologique connexe par arcs est connexe.
Remarque 5.2.4. La réciproque est fausse.
Exercice 5.2.5. Dans R2 , soit :
1
A = {(x, sin ), x > 0}
x
1. Montrer que A est connexe.
2. Déterminer l’adhérence de A.
3. Démontrer qu’il n’existe pas de chemin continu
γ : [0, 1] → R2 ,
tel que pour tout t < 1, γ(t) ∈ A, et γ(1) ∈ (A \ A).
4. Démontrer que A n’est pas connexe par arcs.
5.3
Applications de la connexité
Définition 5.3.1 (Application localement constante). Une application f d’un espace
topologique X vers un ensemble Y est localement constante si et seulement si pour tout
x ∈ X, il existe un voisinage de x sur lequel f prend la même valeur f (x).
Remarque 5.3.2. Si f est continue, et Y discret, alors f est localement constante.
Proposition 5.3.3. Toute application localement constante de source un espace topologique connexe est constante.
Exercice 5.3.4 (Passage des douanes). Soit A une partie d’un espace topologique.
Démontrer que si B est une partie connexe qui rencontre Å et (X \ A), alors B rencontre
la frontière de A.
Exercice 5.3.5. Soit f : X → Y une application continue d’un espace compact dans un
espace séparé connexe. Démontrer que si f est ouverte, alors f est surjective.
Exercice 5.3.6.
1. Montrer que R n’est pas homéomorphe au cercle.
2. Montrer que R n’est pas homéomorphe à R2 .
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5.4
Composantes connexes
Proposition 5.4.1. Soit (Ai )i∈I une famille de parties connexes d’un espace topologique
X. Si toutes les parties Ai contiennent le même point a, alors la réunion ∪i∈I Ai est
connexe.
Corollaire 5.4.2. Pour tout point x dans un espace topologique X, il existe une plus
grande partie connexe contenant x.
Définition 5.4.3. Pour tout point x dans un espace topologique X, la plus grande
partie connexe contenant x s’appelle la composante connexe de x ; notation C(x).
Remarque 5.4.4. La relation définie par C(x) = C(y) est une relation d’équivalence.
Proposition 5.4.5. Les composantes connexes d’un espace topologique sont des parties
fermées de X.
Remarque 5.4.6. Un espace est connexe si et seulement s’il n’a qu’une seule composante
connexe.
Exercice 5.4.7. Soit X un espace topologique. Démontrer que si X est réunion disjointe
d’ouverts connexes : X = ∪i∈I Vi , alors les composantes connexes sont les Vi , i ∈ I.
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