Chapitre 5 Connexité

Chapitre5
Connexit´e
5.1Espaces topologiques connexes
D´efinition5.1.1. Un espace topologique Xest connexe si et seulementsi les seules
parties `a la fois ouvertes et ferm´es sontXet ∅.
Une partie d’un espace topologique estconnexe si et seulementsi elle l’est comme sous-
espace (avec la topologie induite).
Proposition 5.1.2.Un espacetopologique (X,T)est connexe si et seulement si :il
n’existe pas de partition de Xen deux ouverts non triviaux :
(X=V∪W,V∩W=∅,V∈T,W∈T)⇒(V=∅ou W=∅).
Remarque 5.1.3.Reformulation pour une partie connexe :Aest une partie connexe de
(X,T)si et seulementsi :
(A⊂(V∪W),A∩V∩W=∅,V∈T,W∈T)⇒(A∩V=∅ou A∩W=∅).
Proposition 5.1.4.Un espacetopologique (X,T)est connexe si et seulement si :il
n’existe pas de partition de Xen deux ferm´es non triviaux.
Remarque 5.1.5.Reformulation pour une partie connexe :Aest une partie connexe de
(X,T)si et seulementsi :
(A⊂(F∪G),A∩F∩G=∅,Fet Gferm´es )⇒(A⊂Fou G⊂F).
Proposition5.1.6. L’adh´erenced’une partie connexe est connexe.
Th´eor`eme5.1.7.L’image d’un espacetopologique connexe par une application continue
est connexe.
Th´eor`eme5.1.8. Les parties connexes de Rsont les intervalles.
Corollaire5.1.9.Soit fune application continue d’un intervalle Ide Rvers R.
a) L’image de Iest un intervalle.
b) Si Iest un intervalle ferm´e born´e[a, b],alors l’image est un intervalle ferm´e born´e.
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5.2Connexit´epar arcs
D´efinition5.2.1.On appelle chemin dans un espace topologiqueX,toute application
continue γde [0,1] dansX.
Les points γ(0)et γ(1)sontrespectivementl’origine et l’extr´emit´edu chemin. On
dit que le chemin connecte γ(0)et γ(1).
D´efinition5.2.2.Un espace topologique Xest connexe pararcs si et seulementsi deux
pointsquelconques de Xpeuventtoujours ˆetre connect´es par un chemin.
Proposition 5.2.3. Tout espacetopologique connexe par arcs est connexe.
Remarque 5.2.4.La r´eciproque est fausse.
Exercice5.2.5.Dans R2,soit :
A={(x, sin 1
x),x>0}
1. Montrer que Aest connexe.
2. D´eterminer l’adh´erence de A.
3. D´emontrer qu’il n’existepasde chemin continu
γ:[0,1] →R2,
tel que pour tout t<1, γ(t)∈A,etγ(1)∈(A\A).
4. D´emontrer que An’est pasconnexepararcs.
5.3Applications de la connexit´e
D´efinition5.3.1 (Application localementconstante).Une application fd’un espace
topologique Xvers un ensemble Yest localementconstante siet seulementsi pour tout
x∈X,il existe un voisinage de xsur lequel fprend la mˆeme valeur f(x).
Remarque 5.3.2.Si fest continue, et Ydiscret, alorsfest localementconstante.
Proposition 5.3.3.Toute application localement constante de source un espacetopo-
logique connexe est constante.
Exercice5.3.4 (Passagedes douanes).Soit Aune partie d’un espace topologique.
D´emontrer que siBest unepartie connexequi rencontre ˚ Aet (X\A), alors Brencontre
la fronti`ere de A.
Exercice5.3.5.Soit f:X→Yune application continue d’un espace compact dans un
espace s´epar´econnexe. D´emontrer que si fest ouverte,alors fest surjective.
Exercice5.3.6.1. Montrer que Rn’est pashom´eomorphe aucercle.
2. Montrer que Rn’est pashom´eomorphe `a R2.
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5.4Composantes connexes
Proposition 5.4.1.Soit (Ai)i∈Iune famille de parties connexes d’un espacetopologique
X.Si toutes les parties Aicontiennent le mˆeme point a,alors la r´eunion ∪i∈IAiest
connexe.
Corollaire5.4.2.Pour tout point xdans un espacetopologique X,il existe une plus
grande partie connexe contenant x.
D´efinition5.4.3. Pour tout pointxdans un espace topologique X,la plus grande
partie connexecontenantxs’appelle la composanteconnexe de x;notation C(x).
Remarque 5.4.4.La relation d´efinie parC(x)=C(y)estune relationd’´equivalence.
Proposition5.4.5. Les composantes connexes d’un espacetopologique sont des parties
ferm´ees de X.
Remarque 5.4.6.Un espace est connexe si et seulements’il n’a qu’une seule composante
connexe.
Exercice5.4.7.Soit Xun espace topologique.D´emontrer que si Xest r´euniondisjointe
d’ouverts connexes :X=∪i∈IVi,alorsles composantes connexes sontlesVi,i∈I.
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