2015/16 - Master 1 - M414 —— TD6

2015/16 - Master 1 - M414
——
TD6 - Vari´ et´ es
Exercice 1. (Connexité des variétés)
Montrer qu’une variété est connexe par arcs si et seulement si elle est connexe.
Exercice 2. (Variétés de dimension 1)
Montrer que toute variété compacte connexe de dimension 1 est homéomorphe au cercle S1.
Exercice 3. (Espaces unitaires tangents)
a. L’espace unitaire tangent àSnest le sous-espace topologique de Sn×Rn+1défini par
T(Sn)=(x,y)∈Sn×Rn+1|yde norme 1 et orthogonal à x.
Montrer que T(Sn) est une variété de dimension 2n−1.
b. Montrer que T(S2)RP3.
Exercice 4. (Variétés et actions de groupes)
a. Montrer que le quotient Tn=Rn/Znest une variété de dimension n, où Znagit sur Rnpar translations.
b. Montrer que le quotient Hn=Rn/Zest une variété de dimension n, où Zagit sur Rnpar
z·(x1,...,xn)=(2zx1,...,2zxn).
c. Montrer que Tn(S1)net HnSn−1×S1.
Exercice 5. (Somme connexe de variétés)
a. Montrer que la somme connexe de deux variétés connexes de dimension nest une variété connexe
de dimension nqui ne dépend pas, à homéomorphisme près, des choix faits pour sa construction.
b. Montrer que si M,N,Psont des variétés connexes de dimension n, alors
(M#N)#PM#(N#P),M#NN#M,M#SnM.
Exercice 6. (Somme connexe de surfaces)
Soient T=S1×S1le tore, RP2le plan projectif réel et Kla bouteille de Klein.
Montrer que
K ≃ RP2#RP2et T#RP2RP2#RP2#RP2.