Notion de compacité et quasi-topologie

C AHIERS DE
TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
CATÉGORIQUES
P HILIPPE A NTOINE
Notion de compacité et quasi-topologie
Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome
14, no 3 (1973), p. 291-308
<http://www.numdam.org/item?id=CTGDC_1973__14_3_291_0>
© Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1973, tous droits réservés.
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Vol. XIV-3
CAHIERS DE TOPOLOGIE
ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
NOTION DE COMPACITE ET QUASI-TOPOLOGIE
par Philippe ANTOINE
INTRODUCTION
théorie de
Une
quasi-topologie
munie d’un foncteur d’oubli
pleinement
dans C
tel que le foncteur
On
est
ler dans
faut à
une
Top ;
mes
on veut
de C
par
(C)
exemple
structures
structures
initiales.
priori
conditions (F)
canonique
une
et
étant la théorie de
conserver
(e, V )
que
Il existe dans
a
(C-, V )
que
sur
de travail-
faisant dé-
vérifie :
sur tout
ensemble de
structures
morphiscanoniques lorsque
Top .
souhaite
on
aussi des
Il existe
des
quasi-topologie afin
propriétés nouvelles
le foncteur I respecte les
et
Simultanément,
par
théorie de
exemple
structure
une
celles-ci existent dans
exige
une
Vol soit le foncteur d’oubli usuel
catégorie C possédant
Il existe
(F)
catégorie des ensembles et d’un
catégorie Top des espaces topologiques
composé
amené à choisir
catégorie C
la
vers
fidèle I de la
foncteur
Top .
V
la donnée d’une
est
les bonnes
propriétés
de
Top ;
on
vérifie :
(C, V )
finales
des
structures
quelconques )
infinité de théories de
(C); quatre
au
initiales
et
quelconq1tes (donc
le foncteur 7
quasi-topologie
commute aux
vérifiant les
décrites, la plus connue
Fischer (structures aux limites) [1].
moins
ont
été
quasi-topologie de
Un des outils de la Topologie est la notion d’espace compact et un
développement satisfaisant de l’analyse dans le cadre d’une théorie de
quasi-topologie suppose qu’on ait une généralisation de la notion de compacité, celle-ci devant vérifier les propriétés particulières qui font l’intérêt
des espaces compacts. Si l’on aborde ce problème dans une théorie de
quasi-topologie trop différente de la Topologie, c’est-à-dire intuitivement
si la catégorie C est trop grande, on parvient éventuellement à généraliser
291
la notion de
e
de
compacité
telle que
pacts, mais
I-1 fKj
cette
sens
en ce
notion
soit la
que l’on définit
catégorie
une
des espaces
sous-catégorie K
topologiques
vérifie essentiellement pas les
ne
propriétés
com-
sou-
quasi-topologie de Fischer, où l’on
définit de manière naturelle un objet quasi-compact comme étant un objet
sur lequel tout ultrafiltre converge, et un objet compact comme étant un
objet quasi-compact séparé, mais où, par exemple, un morphisme bijectif
d’un objet quasi-compact dans un objet séparé n’est pas nécessairement un
isomorphisme , et où l’image d’un objet quasi-compact n’est pas nécessairement un objet quasi-compact.
Dans un article précédent [2] nous avons montré qu’il existe une
théorie de quasi-topologie (J V ) minimale parmi les théories de quasitopologie vérifiant ( F ) et (C). Le but du présent article est d’expliciter
pour (J, V ) une notion de compacité «aussi bonne» que la notion de comhaitées. Il
pacité
en est
ainsi de la théorie de
pour les espaces
toplogiques.
Cette étude repose
J
introduit
au § 1 , tel que
X, c’est-à-dire des
propriétés d’un foncteur .0 de J° dans
VO (X) s’identifie à l’ensemble des ouverts de
les
sur
ouverts
de
l’espace topologique R(X) sous-jacent
à
d’objet séparé est étudiée au §2 en relation avec le foncteur
.0, puis la notion d’objet quasi-compact est définie au § 3 : un objet X est
quasi-compact si la partie à un élément {X} de O (X) est un ouvert. Les
théorèmes fondamentaux sur les objets quasi-compacts sont établis et l’on
montre qu’un espace topologique A est quasi-compact si et seulement si
I(A) est un objet quasi-compact au sens de la théorie (J, V ). Enfin, la
relation entre la notion de compacité dans (J,V) et la notion de compacité dans la théorie de quasi-topologie (2J, V ) de Fischer est établie au
X . La notion
§4.
Nous
de la théorie
1° Tout
nous
servirons
sans
les re-démontrer des
propriétés
suivantes
(J, V ) :
objet de 5
est
structure
(E,(Oi, J(Ai,Bi))iEI), où Ai
et
initiale pour une donnée initiale:
Bi sont des espaces topologiques
(cela résulte de la construction explicite de J) .
292
objet de 5
2° Tout
est
structure
((Ai, Oi)iEI’ E ) ,
3° Le foncteur «espace
où
finale pour
Ai
est un
donnée
une
espace
topologique sous-jacent»
Top dans 5.
R
topologique.
est adjoint à
gau-
che du foncteur d’inclusion I de
L’ensemble
J(X, Y );
c’est
un
HomJ(X,
Y ) muni de
sa
est
de pas
sur un
avec
est
noté
objet de 5 donnée dans
incorrecte : ainsi que l’a fait remarquer A. Machado elle
la notion usuelle
Une définition
ques !
canonique
objet de 5 .
REMARQUE. La notion de filtre convergent
[2]
structure
quand
correcte est
on
se
proposée
restreint
ici
au
aux
début
ne
comci-
topologidu § 4 . (*)
espaces
1. LE FONCTEUR ri.
Soit g l’espace topologique d’ensemble sous-jacent {0,1}
admettant pour ouverts les parties O, {0}, {0,1}. Etant donné un objet X de Ï nous appellerons espace des ouverts de X , et nous noterons
O (X), l’objet J(X,g) de 3B Si X est un espace topologique, on a
I. 1.
et
D E F IN IT IO N .
il
est
clair que
cie l’ouvert
usant
de
ce
f-1({
que g
R , il vient
teur
VO(X)
ceci entraîne que
Remarquons
enfin
que fl
PROPOSITION. Les
I.2.
sont
s’identifie à l’ensemble des
définit
un
foncteur
de R ( X ).
ouverts
de J dans 5 .
espaces
canoniquement isomorphes.
D E M O N S T R A T I O N .
J(X, J( Y, g)) ou
J(X, O (y)) peut
(*)
l’ appl ication , qui à f élément de Hom,l..op (X, 9) asso0}) de X , est une bij ection ; si X est quelconque, en
est topologique et de la propriété d’adjonction du fonc-
l’ isomorphisme canonique de J(X X Y, 1)
sur 5( Y,J(X, g)), L’isomorphisme de O (X X Y)
C’ est
être décrit par
son
appl ication sous-j acente :
NOTE DE LA REDACTION. Une première version de
à P ari s
en
1971
p ar A. M ach ado.
293
cet
article
a
à w
sur
sur
ou-
été exposée
vert
de X X Y
correspond l’application
de X
dans O(Y) qui
à
x
élément
de X associe la tranche de CJ suivant x , c’est-à-dire l’ouvert de Y :
L’application qui à un morphisme f de X dans Y associe le morphisme O(f) de f2 ( Y) dans O(X) est sous-jacente à un morphisme de J(X, Y) dans 5 ( f2 ( Y), O(X)).
1.3. PROPOSITION,
D E MO NS T R A T I O N .
Le
morphisme
de
composition
c’est-à-dire
induit le
morphisme
L’application qui à un ouvert w de Y et à un élément
x de X associe l’ouvert {f|f(x) E w} de J(X, Y) est sous-jacente à un
morphisme de O(Y) X X dans OJ(X, Y).
1.4. PROPOSITION.
DEMONSTRATION.
d’où le
I. 5.
Le
morphisme
de
composition y induit
un
morphisme
morphisme
TH E O R E M E .
objets de J. Une application f
sous-jacente à un morphisme de X dans Y si
Soient X et Y deux
V(X) dans V(Y)
est
de
et
seulement si :
(i) l’image réciproque par f d’un ouvert de Y est un
(ii) l’app l ication f * de VO(Y) dans VO(X) dont (i)
tence est
sous-jacente
à
Si
f
DEMONSTRATION.
(
i)
et
un
ouvert
de X,-
assure
l’exis-
morphisme de f2( Y) dans O(X).
est
sous-j acente
à
un
morphisme,
( ii ) résultent du caractère fonctoriel de D..
294
les conditions
application de V ( X ) dans V ( Y ) vérifiant
les conditions (i) et (ii). Si Y est topologique, la condition (i) assure
que f est sous-jacente à un morphisme de R(X) dans Y, donc de X dans
Y d’après la propriété d’adjonction du foncteur R . Dans le cas général Y
f
Soit maintenant
structure
est
sont
une
initiale pour
il
topologiques;
est
une
famille
d’objets J(Ai, Bi),
Ai
où
et
Bi
donc suffisant de démontrer le théorème dans le
Y= J(A,B) avec A et B topologiques. La proposition 4 appliquée à J(A,B), oi nte à la condition (ii), assure que l’on a un mor-
cas
où
phisme composé
ce
qui
ou
encore,
est
équivalent
au
la
d’après
morphisme
proposition 2 ,
L’application
donc telle que
l’image réciproque d’un ouvert de B est un ouvert de
A X X et, B étant topologique, cette condition est suffisante pour que f
soit sous-jacente à un morphisme. Par définition de la structure J(A , B )
il en résulte que f est sous-jacente à un
morphisme
est
Soient X
isomorphismes
Si
Y deux
et
ble des
Par la
proposition
2
on
a
les
naturels suivants:
X = Y, à l’identité
OO(X)
objets de 9B
de O(X) correspond
que l’on peut décrire de la manière
ouverts
de X
contenant x .
un
morphisme e
suivante: ç(x)
Le théorème 5
est
alors
1.6. PROPOSITION.
L’objet
X est structure initiale pour
DEMONSTRATION.
On doit
montrer
qu’une application f
295
de X dans
est
l’ensem-
équivalent
à:
ç.
de
V(Z) dans
V(X)
à
sous-jacente
l’application composée
est
un
morphisme
de Z dans X si
seulement si
et
sous-jacente à un morphisme. Par la suite d’isomorphismes ( I ) cela
est équivalent à ce que {(w,z) |f(z)E w} soit un ouvert de O (X)X Z,
ou encore que l’application de V O(X) dans VO(Z) qui à w associe
{z |f(z) E w} soit sous-jacente à un morphisme, c’est-à-dire les conditions
est
(i)
et
( ii ) du théorème 5
L’existence du
morphisme e
premier renseignement
un
1.7.
PROPOSITION.
fixé x
de X est
ouvert
et
la loi de
PROPOSITION.
seulement si
composition
composition
Soit
les liens
la
entre
élément
structure
ouvert
nion de deux
de X
Xg:
ouverts.
w1
internes définies par la réunion
externe
O(X)
de
définie par le
adhère à
de
on a en
Par la
que
est
un
et
produit.
élément
úJ2
si
w2
CO, adhérant à w2 . Quel que
de O(X) contenant 6)1 doit
appartient à w2, c’est-à-dire
Réciproquement, si w1
un
préciser
inclus dans
w1 l’ouvert {w|xEw}
est
un
de O(X).
Un élément
(À)1est
DEMONSTRATION.
x
de X contenant
ouverts
donne
et, d’une part la relation d’ordre définie par l’inclusion des ouverts,
l’intersection
et
isomorphismes (I)
de O(X):
structure
L’ensemble des
d’autre part les lois de
1.8.
la
allons maintenant
Nous
O(X)
un
sur
déduit des
x
élément de
w2,
donc
w = w2X{0}Uw1X{0,1},
réu-
6)1 est
proposition
2
contenir
inclus dans
inclus dans
effet
soit
on
w2,
en
w2
alors
déduit
un
morphisme
O(X) contient 6)1 ’ son image réciproque par ce morphisme
est un ouvert de 1 contenant 1 : c’est donc {0, 1}. Il s’ensuit que
ù) 2
appartient aussi à l’ouvert considéré de D(X)
Si
un ouvert
de
296
Si
COROLLAIRE.
1.9.
un
de D(X)
ouvert
il contient tout ouvert ú)’ de X
conti ent
un
ouvert
de
ú)
X,.
contenant co.
particulier, tout ouvert de D (X) contient X .
Soit In un produit fini d’exemplaires de 1. Le point (0, .... 0) de
gn est ouvert puisque produit d’un nombre fini d’ouverts. On en déduit une
application continue de In dans 9 envoyant ( 0 , ... , 0 ) sur 0 et tous les
autres éléments sur 1 . Quel que soit l’objet X, on a par fonctorialité un
En
morphisme
dont
de
l’application sous-jacente
L’application d’intersection finie
1.10. PROPOSITION.
est
sous-jacente à
un
à
sous-jacente
morphisme.
L’application
I.11. COROLLAIRE.
est
un
de
produit fini
morphisme.
Les
DEMONSTRATION.
l’application d’intersection.
est
morphismes
donnent par le foncteur H des
de
projection
morphismes
On identifie alors le
morphisme de produit fini
n
morphisme d’ intersection et du morphisme FI D.
i = 1
Soit gI
{ 8,
}iEI
une
appl ication
tres
éléments
au
morphisme composé du
(7T,) .
produit quelconque d’ exemplaires de g.
8, l. 1 est fermé puisque produit de fermés.
un
=
avec
continue
sur
0.
Quel
de gI, dans g
que soit
phisme de J(X, gI) =J(X, g) 1
=
envoyant 1
l’objet X ,
on a
sur
1
Le
point 1
On
en
et tous
par fonctorialité
déduit
les
au-
un mor-
[D (X)]I dans J(X, g) = D (X)
297
=
dont
l’application sous-jacente
sous-jacente à
l’application
de réunion:
La’appl ication de réunion
I. 12. P RO P OSITION.
est
est
un
morphisme.
objet X est structure finale pour une donnée ((Xi , Oi)iEI, E),
alors, une application a de E dans 9 est sous-jacente à un morphisme
(i.e, définit un ouvert de X) si et seulement si 0- Oi est sous-jacente à
un morphisme pour tout i . En d’autres termes une partie w de E est un
Si
un
o
de X si
ouvert
Soient
z
les
appl ications
I.13 .
seulement
et
applications
Oi;
on a
donnée
la
VQ(X)
dans
de X pour
VQ(Xi)
tout
i.
induites par les
objet X est structure f inale pour une donnée
E), 1"objet O(X) est structure initiale pour la
un
((Xi,Oi)i E I
»
D E M O N ST R A T I O N.
a
de
est un ouvert
alors :
PROPOSITION, Si
surjective
si Oî 1 (w)
propriété
que
Q(Xi)= J(Xi, g),
9
Si une application O de
o 0
on a
soit
la sui te
V(Z) dans
sous-jacente à
de morphi sme s :
un
VO(X)=VJ(X,g)
morphisme
de Z dans
2.OBJETS SEPARES.
2.1.
DEFINITION.
gonale
de X X X
On étend
Nous dirons
est
qu’un objet
X
de 5
est
séparé
si la dia-
fermée .
sans
difficultés
aux
298
objets séparés de 5
les théorèmes
classiques de la Topologie générale relatifs aux espaces séparés; par exemple, tout sous-objet d’un objet séparé est séparé et tout produit d’objets séparés est séparé. Certains résultats sont propres à la présente théorie, conséquences de l’existence du foncteur Q et de ce que dans 5 les
structures
finales
2.2.
P R O P O S I T I O N .
jet
X soit
soit
sous-jacente
est
un
d’où le
est
XXX-A
interprète
La
points soient
morphisme.
est
séparé, la diagonale
associé le morphisme
est
en termes
réciproque
wn
e ew
fermée
est
sous-jacente
à
est
fermée dans XXX;
Un élément
x
un
d’ouverts :
immédiate 8
est
un
dans X
de D(X)
l’application
ouvert
et
On
le
foncteur n
taire d’un élément
co
X est
séparé, la
au
morphisme
de X dans
appartienne à (0 appartient au complémenW. Réciproquement, si x appartient au complémende W, alors ù) est inclus dans X - l x 1, ce qui en-
tel que X - t x}
taire d’un élément de
et si
morphisme.
applique
proposition 2 :
DEMONSTRATION.
fl ( X ) décrit à la
est
Si ru
COROLLAIRE.
partie
suffisante po ur qu’un obfermés et que l’application
morphisme
que l’on
2.3.
que les
Si X
DEMONSTRATION.
à l’ouvert
Top.
Une condition nécessaire et
séparé
à
fines que dans
plus
sont
299
X - { x} appartient
traîne (Cor. 1.9) que
à
lil.
On
a
donc
qu’un objet quotient X / S soit séparé,
le graphe r de S soit fermé dans X X X .
THEOREME. Pour
2. 4.
su f fit
que
Si X/S
D E M O N S T R A T I O N .
qui composé
avec
les
est
séparé,
on a
morphismes canoniques
le
il
f aut
et
il
morphisme
donne
qui exprime la fermeture du graphe.
Réciproquement, si T est fermé, les
fermées et il suffit de montrer que l’application
ce
sous-jacente
est
à
morphisme.
un
D(X/S)
est
l’étude de
l’application composée
une
structure
c’ est-à-dire la fermeture du
REMARQUE. La
2. 5.
Or X/S
initiale
classes
d’équivalence
est
structure
une
(Prop. 1.13);
on
est
finale
et
donc ramené à
graphe
topologie
de R (X X X) étant
plus
R(X)XR(X), il suffit que R ( X ) soit séparé pour que
cette
sont
fine que celle de
X le
soit, mais
condition n’est pas nécessaire.
3. OBJETS QUASI-COMPACTS, OBJETS COMPACTS.
3. 1.
la
partie
est
objet X de Ï est quasi-compact si
élément { X} de D(X) est un ouvert. Nous dirons que X
DEFINITION.
à
un
compact si X
Nous dirons au’un
est un
3.2.
PROPOSITION.
pour
tout
Un
objet quasi-compact séparé.
objet
X
est
quasi-compact
ensemble d’indices 1 l’ensemble des
X indexés par 1 est
un
ouvert
de
(D( X ) ) I .
300
si et seul ement si
recouvrements ouverts
de
Si X vérifie la
DEMONSTRATION.
ensemble à
un
que {X}
1,
Si X
I
est ouvert
dans
étant le seul
D(X),
voit
on
donc que X
l’ensemble des
est
prenant pour 1
en
est
quasi-compact.
recouvrements
par le
un
de X indexé par
recouvrement
quasi-compact,
l’image réciproque de l’ouvert {X}
est
donc
élément, { X}
propriété,
indexés par
morphisme
de réunion
est un ouvert N
3.3.
REMARQUE. Si
3.4.
COROLLAIRE,
X
topologique localement compact,
alors D(X) est un espace topologique et la proposition 2 entraîne que X
possède la propriété des recouvrements finis, donc que X est quasi-compact au sens topologique. Nous verrons (Cor. 16) que ce résultat reste
vrai si l’on supprime l’hypothèse que X est localement compact.
verts de X
est
un
Si X est
contenant un
fermé
espace
un
objet quasi-compact,
donné de X
es
un
l’ensemble des
ouvert
de
D(X)
et
ou-
l’ap-
plication
est
sous-jacente
à
DEMONSTRATION.
deux
un
morphisme.
L’ensemble des
ouverts est un ouvert
recouvrements ouverts
de D(X)xD(X),
A
de X formés de
cet ouvert est
associé le
morphisme
d’où le
morphisme
que l’on
3. 5 .
interprète
D E F IN IT IO N .
application O
de
en termes
Soient X
d’ ouverts :
et
V ( X ) dans
objets de 3 . Nous dirons qu’une
V ( Y ) est f ermée si l’image directe d’un
Y deux
301
fermé
est un
fermé
si
et
l’application
sous-jacente à un morphisme ( si X et Y sont topologiques, cette condition est a priori plus forte que la condition topologique d’application fermée ). Un morphisme f de X dans Y sera dit fermé si son application
sous-jacente est fermée.
est
3.6.
THEOREME.
Y
jet
séparé
est
d’un
Un
morphisme f
fermé. Si V ( f )
DEMONSTRATION.
L’objet
est
X étant
objet quasi-compact dans un obbijective, f est un isomorphisme.
quasi-compact,
on a
(Cor. 4) le
mor-
phisme
f
étant
enfin,
un
morphisme,
Y étant
séparé,
lui associe par le
on
on a
En remarquant que dans
foncteur QQ
le
morphisme
(Cor. 2.3 ) le morphisme
objet séparé Y l’intersection des ouverts contenant une partie A
égale à A ( les points étant fermés ) le composé
des morphismes (1), (2) et ( 3 ) donne le morphisme
un
est
qui
soit q6
ce
démontre la
son
première partie
application réciproque :
du théorème. Si
le
V(f)
morphisme (4)
bijective,
est
peut alors être dé-
crit de la manière suivante :
l’image réciproque d’un ouvert par O est un ouvert et que
l’application cp * de VD(X) dans VÇ2( Y) qu’on en déduit est sous-jacente à un morphisme. Il résulte du théorème 1.5 que (b est sous-jacente à
un morphisme
qui est le morphisme inverse de f m
ce
qui
montre
que
3.7.
COROLLAIRE.
3.8.
COROLLAIRE.
Tout
sous-objet compact
Toute structure
séparée
302
d’un
objet séparé
moins
est
fine qu’une
fermé.
structure
quasi-compacte
lui
est
En
X
est
si X
est
L’image par
objet quasi-compact.
3.9.
un
particulier,
topologique.
identique.
T H E O R E M E .
DEMONSTRATION.
Soient X
surjectif de X sur
tient le morphisme
un
objet
compact
morphisme
un
un
Y.
et
si
d’un
R(X)
est
séparé,
alors
objet quasi-compact
est
objet quasi-compact et f un morphisme
En appliquant le foncteur D à f on ob-
qui transforme par image inverse l’ouvert {X} de D(X) en un ouvert de
D(Y); f étant surjective, on a {Y}= (D(f))-1 ({X}), donc {Y} est
ouvert dans Q(Y) et Y est quasi-compact a
L’espace topologique sous-jacent
objet quasi-compact.
COROLLAIRE.
3.10.
compact
est
un
Nous
est un
verrons
espace
y
entre
pacts )
et
un
objet quasi-
(Cor. 16) que cela entraîne que l’espace sous-jacent
quasi-compact
au sens
topologique.
à établir le lien
qu’il
d’espaces topologiques quasi-compacts (resp.
d’objets quasi-compacts ( resp. compacts).
com-
Pour que
a
à
cette
théorie soit
cohérente,
il
reste
les notions
Une condition
su f fisante pour qu’un objet X soit
quasi-compact est que, pour tout espace topologique A , l’image directe
d’un fermé par le morphisme de projection de X X A sur A soit un fermé .
3. 11.
PROPOSITION.
D E M O N S T R A T I O N .
3. 12 .
LEMME.
On établit d’abord le lemme suivant:
projection de X X A
la propriété est vraie
que,
un
objet
Soit Z
objet quelconque: il est structure finale
une donnée
((Ai,Oi)iEI, E), où Ai est topologique. On doit montrer
quel que soit l’ouvert w élément de D (XXZ), la partie
DEMONSTRATION.
pour
tel que
l’image directe d’un fermé par la
sur A soit un fermé lorsque A est
topologique; alors
pour A objet quelconque de J.
Soit X
un
303
de E
est un ouvert
de Z : c’est
i
l’image réciproque par
phisme de XXAi dans X
forme par le foncteur H
Par
un
la
hypothèse
équivalent
4;;i
de
X Z
qui à ( x, ai )
morphisme
en
le
cette
de
projection pi
partie
XXAi
à
montrer
que pour
est un ouvert
Ai
Ai’
(x,Oi(ai))
associe
sur
de
tout
transforme
un
indice
Le
mor-
se trans-
fermé
en
fermé, donc
est
un
de
ouvert
Ai ;
c’est
or
de a par
Oi ,
ce
qui
alors immédiate :
on
consi-
l’image réciproque
a-
chève la démonstration.
La démonstration de la
dère la
et
on
la
propriété à l’ouvert
associé au morphisme d’évaluation
applique
dans g);
de
il vient que
est un ouvert
de D(X),
est
un
donc que X
est
quasi-compact N
topologique quasi-compact (au
objet quasi-compact de J.
COROLLAIRE.
pologique )
Tout espace
Pour
D E M O N S T R A T IO N .
tion
est
projection
(c’est l’ouvert
3.13.
proposition
constante sur un
point
un
est
espace
sens
to-
topologique quasi-compact l’applica-
propre a
objets de 3B Nous dirons qu’une
application O de V ( X ) dans V ( Y ) est pro pre si quel que soit l’ objet
Z de Ï l’application
3.14.
est
DEFINITION.
fermée. Si Y
que soit
l’objet
Z
Soient X
est
et
et
Y deux
l’objet ponctuel, cette propriété s’explicite par: quel
quel que soit l’ouvert ú) de XXZ, la partie
304
de
V(Z)
est un ouvert et
sous-jacente
est
à
jet de Ï
soit
morphisme.
un
suffisante pour qu’un obl’application constante sur un point
Une condition nécessaire et
THEOREME.
3.15.
l’application
quasi-compact
est
que
soit propre.
On suppose maintenant que X
positions
1.2
et
On compose les
1.3
on a
les
au
(2)
et
quasi-compact
l’objet
avec,
point {x} de DD(X);
3.16. CO RO L L A IR E. Tout
ce
au sens
Par
quasi-compact.
morphismes
est
morphismes ( 1 )
pact, l’évaluation
proposition 11.
application des pro-
La condition suffisante résulte de la
DEMONSTRATION.
objet quasi-compact
topologique.
X étant
il vient le
et
quasi-com-
morphisme
topologique
est
espa-
un
4. FILTRES CONVERGENTS SUR UN OBJET COMPACT.
D E F IN IT IO N . Si
4.1.
E
est un
l’espace topologique pointé
ouverts
d’une part les
sont
et F
ensemble
d’ensemble
parties
un
sous-jacent
ne contenant
filtre
E
sur
E , soit
||{*},
EF
dont les
point de base * ,
de F. Soit X un ob-
pas le
parties A _ll_ {*} avec A élément
jet de 5 ; on dit qu’une application 0 de E dans V(X) converge vers un
point a suivant le filtre F si l’application cp n de EF dans V( X) telle que
d’autre part les
sous-jacente
est
plus
si
g
un
morphisme.
Il
est
que F, l’application O converge
est un
g(a)
filtre sur
vers
un
fin
à
morphisme
suivant le
de X dans
filtre F.
X convergeant
vers
immédiat que,
encore vers a
est un
suivant
?’
filtre
et
que,
Y, l’application V ( g ) 0 cp converge
Le filtre
a.
si F’
image O(F)
sur
X
est
dit
L’ensemble des filtres convergents
305
un
sur
de 5 définit sur V(X) une structure aux limites et l’application ainsi définie de 5 dans la catégorie 95 des quasi-topologies au
sens de Fischer identifie 5 à une sous-catégorie pleine de S3B
Nous nous proposons de relier la notion de quasi-compacité dans
5 définie au paragraphe 3 à la notion de quasi-compacité dans 2J.
un
X
objet
N O T A T’ ION S.
4.2.
l’intersection des
Si M
est
ouverts
de X appartenant à
8 (M n N)DS (M) U 8(N).
l’ensemble des
Si A
de X
ouverts
partie de Q(X)
une
noterons 8 (M)
nous
M;
on
vérifie la relation
partie de X , nous noterons A
le complémentaire de A ; on a
est une
contenant
clairement
Une condition nécessaire et
PROPOSITION.
4.3.
filtre 5: sur D(X) converge vers w est
tout filtre X sur X convergeant vers x,
un élément A de X tels que 8 (M) D A .
DEMONSTRATION.
Les filtres de
F0 ={{0},{0,1}}
0
suf fisante pour qu’un
que, pour tout point x de ú) et
il existe un él ément M de Y et
l’espace 9
le filtre des
sont
voisinages
au
0
de
nombre de trois:
qui
converge
vers
1,
et
F1 = {{0,1}}
le filtre des
F ={{1}, {0,7}}
Un
point x
de
10 x E
w(x). Deux
C w.
On
1 la condition
vers
filtre
qui
converge
a
cas se
vers
est
un
vers
qui converge
vers
1,
1.
et comme tout
0
est
que F(X)
élément M
4.4.
D E F IN IT IO N .
plus
fin
que F,
Un
de g
filtre
converge
vide.
de F
c’est-à-dire 8(M)DA
existe
1
présentent:
alors oi (x 1
2° xEw. Une condition nécessaire
verge
de
filtre ? sur Q(X)=J(X,g ) converge vers 0) si, pour tout
X et tout filtre X sur X convergeant vers x, on a F(X) qui
vers
converge
un
voisinages
point
convergeant
contienne la
et un
x
et
suffisante pour
partie {0},
élément A
adhère à
vers x.
306
un
de 3C
filtre
que F(X)
con-
c’est-à-dire
qu’il
tel que
M(A)={0},
s’ il existe
un
filtre
X
LEMME.
4.5.
Soit F
f iltre
un
n’admettant pas de point d’adhérence,
ï,
que soit le
il existe
filtre convergent
de X tels que M n A = O.
ment A
de F
élément M
un
et
Quel
un
élé-
Supposons qu’il existe un filtre 3C convergeant vers
x
et tel que M n A =O quels que soient les éléments M de F et A de
X. Alors les filtrez ? et X admettent une borne supérieure qui est un
DEMONSTRATION.
plus fin que X , donc un filtre convergeant vers x , et plus fin que
F, ce qui entraîne que x adhère à F , en contradiction avec l’hypothèse
faite sur F
filtre
Soit X
THEOREME,
4.6.
un
objet séparé de J.
Les
propositions
suivan-
équivalentes :
tes sont
( i ) Tout ultra f iltre sur X est convergent.
( ii ) Tout filtre sur X admet un point d’adhérence.
( iii ) L’objet
DEMONSTRATION.
=>
( ii )
quasi-compact ( au
X est
L’équivalence
( iii ) . On doit
montrer
de
sens
(i)
et
que {x}
de la
définition
de ( ii )
est
est ouvert
3.1 ).
immédiate.
dans D(X),
c’est-
sur D (X) convergeant vers X contient la partie
{X }. S’il existait un filtre F convergeant vers X et ne contenant pas
( X ), quel que soit l’élément M de F on aurait 8(M)tX, c’est-à-dire
C 8 (M)=0. La famille d F={ C8 (M) |M EF} serait alors une famille
à-dire
que
non
vide de
dF
serait
filtre
tout
parties
une
non
vides de X
base de filtre
sur
et comme
X . La
propriété (ii)
entraînerait alors
qu’il existerait un point x et un filtre X convergeant vers x , pl us fin que
dF. Le filtre F convergeant vers X , il existerait ( Prop. 3 ) un élément M
de F et un élément A de X tels que 8 (M)DA; par ailleurs, A appartenant
à
un
filtre
plus
fin que
dF,
on
aurait
A n C 8 ( M) f 0, ce
qui
est
contradictoire.
( iii )
=>
d’adhérence,
ties
filtre
( ii ) . S’il existait
la
un
filtre §
famille G={M|MEG}
sur
serait
X n’admettant pas de
une
famille
non
point
vide de par-
de D (X) et comme M n N=M n N,G serait une base de
sur D(X). Le filtre associé à 9 convergerait vers X : quel que soit
non
vides
307
filtre X convergeant vers x , il existe ( lemme 5 ) un élément M de 9
et un élément A de X tels que M n A =Ô , c’est-à-dire C M D A ; comme
8 (M)D CM, on a trouvé un élément A de 3C et un élément M de G tels
que (M)A. L’objet X étant quasi-compact, il existerait alors un élément N de g tel que NC {X}, c’est-à-dire, les points de X étant fermés,
C N = X ou encore N =.0 ce qui est impossible pour un élément d’un fille
tre 8
4.7. COROLLAIRE.
Tout
produit d’ob jets compacts de Ï
Tout
sous-objet fermé
est
un
objet
com-
pact.
4.8.
COROLLAIRE.
d’un
objet compact de Ï
est un
objet compact.
4.9. REMARQUE.
L’hypothèse
tervient que pour
assurer
de
séparation de
X dans le théorème 6 n’in-
dans la démonstration de (iii)
=>
(ii) que les
points sont fermés; on peut donc affaiblir l’hypothèse faite sur X et par
exemple les corollaires 7 et 8 demeurent vrais pour des objets quasicompacts dont les points sont fermés.
BIBLIOGRAPHIE.
[1]
[2]
Limesraüme,
FISCHER H.R.,
ANTOINE P.,
Etude
élémentaire
turés, Bull. Soc. Math.
Faculté des Sciences
Département
de
et
Math.
Belg.,
Pures
B. P. 36
59650 VILLENEUVE
des
XVIII 2
Techniques
Mathématiques
D’ASCQ
308
Ann.
et
137
catégories
4 (1966).
( 1959 ),
p.269-303.
d’ensembles
struc-