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La th´eorie des ´equations de Maxwell et le calcul des
op´erateurs matriciels
Bernard Kwal
To cite this version:
Bernard Kwal. La th´eorie des ´equations de Maxwell et le calcul des op´erateurs matriciels.
J. Phys. Radium, 1934, 5 (8), pp.445-448. <10.1051/jphysrad:0193400508044500>.<jpa-
00233258>
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LA
THÉORIE
DES
ÉQUATIONS
DE MAXWELL
ET
LE
CALCUL
DES OPÉRATEURS
MATRICIELS.
Par
BERNARD KWAL.
Sommaire. 2014
Après
avoir
rappelé
brièvement les
applications
du calcul
des
quaternions
à la théorie
de
Maxwell,
l’auteur
montre
que
les
deux
représentations
des
quaternions,
à
l’aide des
matrices
réelles
à
4
lignes
et à 4
colonnes,
fournissent
une méthode
opérationnelle -
analogue
à
celle
employée
dans la
théorie de Dirac
2014
pour
traiter les
équations
de
Maxwell,
la relation entre
le
champ
et le
potentiel,
l’ex-
pression
qui
donne
la
force de
Lorentz,
ainsi
que
celle
qui
donne le
tenseur
d’énergie électromagnétique.
Depuis
l’avènement de la théorie
du
spin
de
Pauli
et
surtout
depuis
le
développement
prodigieux
de la
théorie
de
Dirac,
on
emploie
de
plus
en
plus
dans la
physique théorique
la notation des
opérateurs
ma-
triciels
qui
opèrent
sur l’indice de
la fonction
d’onde.
Ces
opérateurs
s’introduisent dans
la
formation des
équations
aux dérivées
partielles
auxquelles
satisfont
les
composantes
de
la
fonction
ondulatoire If
(équa-
tions
de
Dirac) ;
d’autre
part
ils
interviennent
pour
engendrer
les formes bilinéaires entre les
composantes
des
i~,
formes
ayant
une variance
tensorielle
ordinaire.
La théorie des
équations
de Maxwell
peut
être traitée
d’une
manière
très
analogue,
quoique
cette
analogie
ne
soit
pas
une
identité, principalement
à cause
de la
variance
relativiste
différente
des fonctions
d’onde
électro-magnétique.
L’étude
des
équations
de
Maxwell
du
point
de
vue
des
opérateurs
matriciels a été
ef-
fectuée
par
G. Rumer
(1)
en
1930, déjà.
Nous
nous
proposons
ici de
serrer
le
problème
de
plus
près,
et de
montrer
qu’il
se
rattache
très
intimement à
la
repré-
sentation matricielle des
quaternions.
1.
Equations
de Maxwell et
calcul des
qua-
ternions.
-
Soient :
H
le
champ
magnétique, E
le
champ
électrique
et
i
unité
imaginaire ;
nous
allons
former la
grandeur
complexe
(2) :
(1)
(Nous
nous
plaçons
dans
un
espace
vide ;
dans le
milieu
matériel
il
faut
poser
F =
vli.
H
+ i
B/A-
E.)
P’
peut
être considéré comme
un
biquaternion
dont la
partie
dite
«
scalaire
»,
dans
le
langage
de
Hamilton,
est
identiquement
nulle. Les
équations
de
Maxwell
dans
le vide :
() G.
RuMER. %.
f. l’liysik,1
19a0,
65,
p.
2 i i-2u2.
WEBER.
Die
partiel/en
Differenlialgleichungen
der
’math.
Edition de
190t;
vol.
2,
p.
348;
L.
SlLBERTEIN.
Ann.
der
1-lhysik,
1901,
vol.
22,
p.
579 et vol.
24,
p.
î83.
prennent
alors
la
forme suivante :
Soient
mainteiiant
el,
e2,
e3
et
eo
les unités de base
du
système
des
quaternions.
Tout
quaternion
A,
de
composantes
Ai, A2,
A~
et
Ao,
s’écrit :
et
l’on
définit
en
outre
une
grandeur
&#x3E;4
telle
que
Posons donc
Avec ces
notations
les
équations
de
Maxwell,
dans
le
vide,
s’écrivent :
L’opérateur
D
jouit
de la
propriété
suivante :
il résulte donc
de
la
linéarisation
de
l’opérateur
dniem-
bertien.
Introduisons
maintenant
le
potentiel
quadrivecteur
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193400508044500

446
A
(At,
2, 3,
Ao
=
+
i
V).
I,a
relation
quaternio-
nienne
entre
F el
A
est la
suivante :
et
l’équation
(2")
entraîne :
Les
considérations
précédentes
se
généralisent
sans
peine
aux
équations
de la théorie
des
électrons
de
Lorentz.
On
a,
dans
ce cas :
où
I est le
quadrivecteur
courant :
En admettant
que
la
relation
(8)
est
valable
encore,
on
en déduit :
1
Enfin,
la force
de Lorentz s’obtient en
prenant
la
partie
réelle de
l’expression F J
°?,
La
représentation
matricielle des
qua-
ternions. -
Passons
maintenant àl’étude
de la
repré-
sentation
matricielle.
Le
systèmes
des
quaternions
admet deux
représentations
àl’aide
des
matrices
réelles
à fi
lignes
et
à 4 colonnes
(1), qu’on
obtient de
la
manière suivante. Considérons la
multiplication a
gauche
et éi
droite
cl’un
quaternion q
par
un
qua-
ternion
p.
Ces
formes bilinéaires
définissent deux
systèmes
de
matrices
quaternaires :
Et
les
relations
( i0)
peuvent
s’écrire
alors :
nü p
et q
sont
considérés
comme
matrices à
une
colonne :
-.
Remarquons que
les deux
systèmes
de
matrices
qua-
ternioniennes
du
tableau
(11~
définissent
par
multipli-
cation
un
système
d’ordre
4
de
ifs
matrices,
qui
semblent
jouer
un rôle
important
dans les
diverses
applications
des
quaternions.
(1)
B.
KWAL.
Comptes
Rendus, 1934,198,
p. 1
582-1
584;
Bulletin
des Sc.

447
Parmi ces 16
matrices,
les 6 matrices
quaternioniennes
sont
antisymétriques
par rapport
à
la
diagonale
prin-
cipale,
les
10
autres sont
symétriques.
Les 16
matrices
hermitiques
de la
théorie
de
l’électron
magnétique
de
Dirac
(1),
sont
obtenues
en
adjoignant
aux
10
matrices
du
tableau
(13),
les six
matrices
quaternioniennes
multipliées par
l’unité
imaginaire i.
11 existe
également
un
système
de
matrices
anti-hermitiques
qui
contient
les
6
matrices
quaternioniennes
réelles
et les
10
ma-
trices
symétriques
multipliées par
i.
3.
La
théorie de Maxwell
et
les
opérateurs
matriciels.
-
Nous allons
montrer maintenant
com-
ment les matrices
(lt)
ou
(l3), envisagées
comme
des
opérateurs
matriciels
agissant
sur
l’indice
de la fonc-
tion d’onde
complexe
F,
interviennent
dans
la théorie
des
équations
de Maxwell.
Remarquons
au
préalable
qu’étant
donnée une
fonc-
tion
Q,
susceptible
de
quatre
déterminations
QI’
Q’2’
Q3
et
Qo,
le résultat
de
l’application
de
l’opérateur
différentiel :
est
l’ensemble
de
quatre
formes
différentielles,
que
nous
pouvons
écrire
de la
manière
suivante :
(1)
L.
DE
BROGLIE,
L’électron
niagnétique,
p.
227.
tandis
que
le
résultat
de
l’application
de
est :
On
voit,
que
les formes
(1~’)
et
(15’)
deviennent iden-
tiques,
au
signe
de
la
quatrième
forme
près,
si
l’on
change
le
signe
de
la
composante
Qo
dans
l’un des
ensembles
(4 4’)
ou
(J 5’).
Cela
étant,
nous
pouvons
écrire
les
équations
de
Maxwell
de
la manière
suivante :
On
vérifie
immédiatement
que l’application
de
l’opé-
rateur
conduit
à 0.
Comme
Fo
=
0,
l’équation
(16)
est
équivalente
à
la
suivante :
La
relation
entre la
fonction
électromagnétique
com-

448
plexe
F
et le
potentiel
quadrivecteur
A,
s’écrit
de
même :
ou
diffère
de
A
par
le
signe
de
la
quatrième compo-
sante
(Ao
= i V
= -
A’o).
D’autre
part
la
condition
F
=
0
entraîne
la
relation
de Lorentz
Passons
maintenant
à
1"expression
dont
la
partie
réelle
est
égale
à la force de Lorentz.
Cette
expression
s’écrit :
Enfin
le tenseur
d’énergie électromagnétique
s’ob-
tient
à l’aide
des
matrices
du
tableau
(13)
de
la ma-
nière
suivante :
On a
par exemple :
Ainsi,
les 1G
opérateurs
du
tableau
(13),
qui
dérivent
de
deux
représentations
réelles du
système
des
qua-
ternions,
fournissent
pour
la
théorie de Maxwell une
méthode
opérationelle, analogue
à celle
qui
est em-
ployée
dans
la théorie
de Dirac.
Nous
tenons à
exprimer
à M. Louis de
Broglie
toute
notre
reconnaissance
pour
l’intérêt
qu’il
a
pris
à
ce
travail.
A
Manuscrit
reçu
le
23
juin
1934