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La théorie des équations de Maxwell et le calcul des
opérateurs matriciels
Bernard Kwal
To cite this version:
Bernard Kwal. La théorie des équations de Maxwell et le calcul des opérateurs matriciels.
J. Phys. Radium, 1934, 5 (8), pp.445-448. <10.1051/jphysrad:0193400508044500>. <jpa00233258>
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Submitted on 1 Jan 1934
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LA THÉORIE DES
ÉQUATIONS
DE MAXWELL
ET LE CALCUL DES
OPÉRATEURS MATRICIELS.
Par BERNARD KWAL.
Sommaire. 2014 Après avoir rappelé brièvement les applications du calcul des quaternions à la théorie
de Maxwell, l’auteur montre que les deux représentations des quaternions, à l’aide des matrices réelles à
4 lignes et à 4 colonnes, fournissent une méthode opérationnelle - analogue à celle employée dans la
théorie de Dirac
pour traiter les équations de Maxwell, la relation entre le champ et le potentiel, l’expression qui donne la force de Lorentz, ainsi que celle qui donne le tenseur d’énergie électromagnétique.
2014
l’avènement de la théorie du spin de Pauli
depuis le développement prodigieux de la
Dirac, on emploie de plus en plus dans la
physique théorique la notation des opérateurs matriciels qui opèrent sur l’indice de la fonction d’onde.
Ces opérateurs s’introduisent dans la formation des
équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont
les composantes de la fonction ondulatoire If (équations de Dirac) ; d’autre part ils interviennent pour
engendrer les formes bilinéaires entre les composantes
des i~, formes ayant une variance tensorielle ordinaire.
La théorie des équations de Maxwell peut être traitée
d’une manière très analogue, quoique cette analogie
ne soit pas une identité, principalement à cause de la
variance relativiste différente des fonctions d’onde
électro-magnétique. L’étude des équations de Maxwell
du point de vue des opérateurs matriciels a été effectuée par G. Rumer (1) en 1930, déjà. Nous nous
proposons ici de serrer le problème de plus près, et de
montrer qu’il se rattache très intimement à la représentation matricielle des quaternions.
Depuis
et surtout
théorie de
la forme suivante :
prennent alors
Soient mainteiiant el, e2, e3 et eo les unités de base
du système des quaternions. Tout quaternion A, de
composantes Ai, A2, A~ et Ao, s’écrit :
et l’on définit
en
outre
une
grandeur >4
telle que
Posons donc
1. Equations de Maxwell et calcul des quaSoient : H le champ magnétique, E le
ternions.
champ électrique et i unité imaginaire ; nous allons
former la grandeur complexe (2) :
-
(1)
espace vide ; dans le
H + i B/A- E.)
milieu matériel il faut poser F =
P’ peut être considéré comme un biquaternion dont la
partie dite « scalaire », dans le langage de Hamilton,
est identiquement nulle. Les équations de Maxwell dans
le vide :
(Nous
nous
plaçons
dans
un
Avec
ces
notations les
équations
de
Maxwell,
dans le
vide, s’écrivent :
vli.
() G.
1-lhysik,
RuMER. %. f. l’liysik,119a0, 65, p. 2 i i-2u2.
WEBER. Die partiel/en Differenlialgleichungen der ’math.
Edition de 190t; vol. 2, p. 348; L. SlLBERTEIN. Ann. der
1901, vol. 22, p. 579 et vol. 24, p. î83.
L’opérateur
D
jouit de
la
propriété suivante :
il résulte donc de la linéarisation de l’opérateur dniembertien.
Introduisons maintenant le potentiel quadrivecteur
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193400508044500
446
A (At, 2, 3, Ao = +i V). I,a relation
nienne entre F el A est la suivante :
et
l’équation (2")
quaternio-
En admettant que la relation
déduit :
1
Les considérations
aux
équations
Lorentz. On a, dans
où I est le
précédentes
se
généralisent sans
de la théorie des électrons de
ce cas :
quadrivecteur
courant :
partie
réelle de
Et les relations
colonne :-.
( i0) peuvent
sont considérés
s’obtient
en
prenant la
l’expression F J
°?, La représentation matricielle des quaternions. - Passons maintenant àl’étude de la représentation matricielle. Le systèmes des quaternions
admet deux représentations àl’aide des matrices réelles
à fi lignes et à 4 colonnes (1), qu’on obtient de la
manière suivante. Considérons la multiplication a
gauche et éi droite cl’un quaternion q par un quaternion p.
Ces formes bilinéaires définissent deux systèmes de matrices
nü p et q
est valable encore,
entraîne :
Enfin, la force de Lorentz
peine
(8)
on en
quaternaires :
s’écrire alors :
comme
matrices à
une
Remarquons que les deux systèmes de matrices quaternioniennes du tableau (11~ définissent par multiplication un système d’ordre 4 de ifs matrices, qui
semblent jouer un rôle important dans les diverses
applications
(1)
B. KWAL.
des Sc.
des
quaternions.
Comptes Rendus, 1934,198, p. 1
582-1 584; Bulletin
447
Parmi ces 16 matrices, les 6 matrices quaternioniennes
antisymétriques par rapport à la diagonale principale, les 10 autres sont symétriques. Les 16 matrices
hermitiques de la théorie de l’électron magnétique de
Dirac (1), sont obtenues en adjoignant aux 10 matrices
du tableau (13), les six matrices quaternioniennes
multipliées par l’unité imaginaire i. 11 existe également
un système de matrices anti-hermitiques qui contient
les 6 matrices quaternioniennes réelles et les 10 matrices symétriques multipliées par i.
tandis que le résultat de
l’application
de
sont
3. La théorie de Maxwell et les opérateurs
Nous allons montrer maintenant commatriciels.
ment les matrices (lt) ou (l3), envisagées comme des
opérateurs matriciels agissant sur l’indice de la fonction d’onde complexe F, interviennent dans la théorie
des équations de Maxwell.
Remarquons au préalable qu’étant donnée une fonction Q, susceptible de quatre déterminations QI’ Q’2’
Q3 et Qo, le résultat de l’application de l’opérateur
-
est :
On voit, que les formes (1~’) et (15’) deviennent identiques, au signe de la quatrième forme près, si l’on
change le signe de la composante Qo dans l’un des
ensembles (4 4’) ou (J 5’).
Cela étant, nous pouvons écrire les équations de
Maxwell de la manière suivante :
différentiel :
On vérifie immédiatement que l’application de l’opérateur
quatre formes différentielles, que
pouvons écrire de la manière suivante :
est l’ensemble de
nous
conduit à
Comme
suivante :
(1)
L.
DE
BROGLIE, L’électron
niagnétique,
p. 227.
0.
Fo
=
0, l’équation (16) est équivalente à la
La relation entre la fonction
électromagnétique
com-
448
F et le
même :
plexe
potentiel quadrivecteur A,
s’écrit de
On
a
par
exemple :
ou
diffère de A par le signe de la quatrième composante (Ao = i V
A’o). D’autre part la condition
F
0 entraîne la relation de Lorentz
=
-
=
Passons maintenant à 1"expression dont la partie
réelle est égale à la force de Lorentz. Cette expression
s’écrit :
Enfin le tenseur d’énergie électromagnétique s’obtient à l’aide des matrices du tableau (13) de la manière suivante :
les 1G opérateurs du tableau (13), qui dérivent
de deux représentations réelles du système des quaternions, fournissent pour la théorie de Maxwell une
méthode opérationelle, analogue à celle qui est employée dans la théorie de Dirac.
Ainsi,
Nous tenons à exprimer à M. Louis de Broglie toute
notre reconnaissance pour l’intérêt qu’il a pris à ce
travail.
A
Manuscrit reçu le 23
juin
1934