Programmes de Khôlles Semaine 19

B1 - 2016-2017
Programmes de Khôlles
Semaine 19-26 septembre
Logique et ensembles
Quantificateurs, absurde, contraposée
Ensembles, sous-ensembles, P(E), relations ensemblistes.
Nombres
Récurrence : simple, double, forte.
Valeur absolue
Partie entière
Equations, inéquations dans ℝ
Majorant,minorant, plus grand/plus petit élément, borne sup/borne inf.
Les complexes : interprétation géométrique, module/argument.
Semaine 26-30 septembre
Logique et ensembles
Quantificateurs, absurde, contraposée
Ensembles, sous-ensembles, P(E), relations ensemblistes.
Nombres
Récurrence : simple, double, forte.
Valeur absolue
Partie entière
Equations, inéquations dans ℝ
Majorant,minorant, plus grand/plus petit élément, borne sup/borne inf.
Les complexes : interprétation géométrique, module/argument.
Formules d'Euler, linéarisation de lignes trigonométriques.
Equation du second degré à coefficients réels.
Racines carrées de nombres complexes
Equations de degré quelconque.
Exercices à savoir refaire : module et argument de 1−ei θ , eia −eib
Ensembles et applications
Applications, fonctions, ensemble de définition
Fonction indicatrice
Image directe (l'image réciproque n'est pas au programme)
Restriction, prolongement
Composition des applications
Injection, surjection, bijection
Semaine 3-10 Octobre
Nombres
Récurrence : simple, double, forte.
Valeur absolue
Partie entière
Equations, inéquations dans ℝ
Majorant,minorant, plus grand/plus petit élément, borne sup/borne inf.
Les complexes : interprétation géométrique, module/argument.
Formules d'Euler, linéarisation de lignes trigonométriques.
Equation du second degré à coefficients réels.
Racines carrées de nombres complexes
Equations de degré quelconque.
Exercices à savoir refaire : module et argument de 1−ei θ , eia −eib
Ensembles et applications
Applications, fonctions, ensemble de définition
Fonction indicatrice
Image directe (l'image réciproque n'est pas au programme)
Restriction, prolongement
Composition des applications
Injection, surjection, bijection
Méthodes de calcul
Suites arithmétiques, suites géométriques et sommes A CONNAITRE.
Sommes et produits simples, changement d'indice, téléscopage
Coefficients binomiaux, définition et propriétés
Binôme de Newton et applications.
Sommes doubles, sommes partielles, permutation des sommes.
Exercices à savoir faire :
n
1
Simplifier ∑ ln(1− 2 )
k
k=2
n
Calculer
∑ ( nk ) cos (x+ky)
k=0
Semaine 10-14 Octobre
Ensembles et applications
Applications, fonctions, ensemble de définition
Fonction indicatrice
Image directe (l'image réciproque n'est pas au programme)
Restriction, prolongement
Composition des applications
Injection, surjection, bijection
Méthodes de calcul
Suites arithmétiques, suites géométriques et sommes A CONNAITRE.
Sommes et produits simples, changement d'indice, téléscopage
Coefficients binomiaux, définition et propriétés
Binôme de Newton et applications.
Sommes doubles, sommes partielles, permutation des sommes.
Exercices à savoir faire :
n
1
Simplifier ∑ ln(1− 2 )
k
k=2
n
Calculer
∑ ( nk ) cos (x+ky)
k=0
Trigonométrie
Les fonctions sin, cos et tan, et leurs réciproques (ensemble de définition, graphe, dérivée).
Equations et inéquations trigonométriques
Equation du type a cos x + b sin x = c
Semaine 7-11 Novembre
Trigonométrie
Les fonctions sin, cos et tan, et leurs réciproques (ensemble de définition, graphe, dérivée).
Equations et inéquations trigonométriques
Equation du type a cos x + b sin x = c
Dénombrement
p-listes avec et sans répétitions (la notion d'arrangement n'est plus au programme)
permutations
combinaisons
Suites usuelles
Arithmético-géométriques
Récurrentes linéaires d'ordre 2
Fonctions usuelles
ln et exp
Valeur absolue, partie entière
Fonctions trigo et inverses.
Les fonctions x a , a x avec a réel.
Dérivées et primitives
Formules de dérivation
Dérivée d'une fonction composée
Intégration par parties.
Calcul d'intégrale.
Semaine 14-18 Novembre
Dénombrement
p-listes avec et sans répétitions (la notion d'arrangement n'est plus au programme)
permutations
combinaisons
Suites usuelles
Arithmético-géométriques
Récurrentes linéaires d'ordre 2
Fonctions usuelles
ln et exp
Valeur absolue, partie entière
Fonctions trigo et inverses.
Les fonctions x a , a x avec a réel.
Dérivées et primitives
Formules de dérivation
Dérivée d'une fonction composée
Intégration par parties.
Calcul d'intégrale.
Equations différentielles linéaires
y ' + ay = b
y''+ay'+by = c
Systèmes linéaires
Définition, rang
Méthode du Pivot de Gauss
Résolution
Matrices
Premières définitions
Produit de matrices
Semaine 28/11-02/12
Dérivées et primitives
Formules de dérivation
Dérivée d'une fonction composée
Intégration par parties.
Calcul d'intégrale.
Equations différentielles linéaires
y ' + ay = b
y''+ay'+by = c
Systèmes linéaires
Définition, rang
Méthode du Pivot de Gauss
Résolution
Matrices
Premières définitions
Produit de matrices
Transposition
Matrices inversibles
Puissances de matrices
Rang d'une matrice, carrée ou rectangulaire
Inversion d'une matrice par résolution d'un système linéaire
Polynômes
Définitions, degré.
Equations polynomiales
Racines simples et multiples.
Factorisation dans ℝ [ X] et dans ℂ[ X]
Exercices au programme : les exercices corrigés du blog et ceux faits en séance de binôme
jeudi 24/11
Semaine 05/12-09/12
Dérivées et primitives
Formules de dérivation
Dérivée d'une fonction composée
Intégration par parties.
Calcul d'intégrale.
Systèmes linéaires
Définition, rang
Méthode du Pivot de Gauss
Résolution
Matrices
Premières définitions
Produit de matrices
Transposition
Matrices inversibles
Puissances de matrices
Rang d'une matrice, carrée ou rectangulaire
Inversion d'une matrice par résolution d'un système linéaire
Polynômes
Définitions, degré.
Equations polynomiales
Racines simples et multiples.
Factorisation dans ℝ [ X] et dans ℂ[ X]
Suites numériques
Majoration, Minoration, encadrement
Monotonie
Monotonie et encadrement. Th des Gendarmes et Cie.
Suites adjacentes
Suites extraites de rang pair et impair
Equivalents, opérations sur les équivalents, aide au calcul de limite.
Suites définies par une relation du type un+1 = f(un)
Semaine 02/01-07/01
Suites numériques
Majoration, Minoration, encadrement
Monotonie
Monotonie et encadrement. Th des Gendarmes et Cie.
Suites adjacentes
Suites extraites de rang pair et impair
Equivalents, opérations sur les équivalents, aide au calcul de limite.
Suites définies par une relation du type un+1 = f(un)
Géométrie
Equations de droites affines dans le plan, de droites et de plans affines dans l'espace
Droites vectoriels, plans vectoriels, espaces vectoriels. Vecteur directeur, vecteur normal.
Repères.
Equation de cercles.
Barycentres.
Semaine 09/01-16/01
Suites numériques
Majoration, Minoration, encadrement
Monotonie
Monotonie et encadrement. Th des Gendarmes et Cie.
Suites adjacentes
Suites extraites de rang pair et impair
Equivalents, opérations sur les équivalents, aide au calcul de limite.
Suites définies par une relation du type un+1 = f(un)
Géométrie
Equations de droites affines dans le plan, de droites et de plans affines dans l'espace
Droites vectoriels, plans vectoriels, espaces vectoriels. Vecteur directeur, vecteur normal.
Repères.
Equation de cercles.
Barycentres.
Espaces Vectoriels
Définition et caractérisation d'un sous-espace vectoriel.
Exercices à savoir refaire
1)
n2
1
lim (cos ( ))
n
n →+∞
2) Etude complète (définition, monotonie, limite, équivalent) de la suite ( u n ) définie
par f ( u n )=n , avec f(x) = x + ln(x)
3) Exercice 4 du concours blanc Algorithmique et Informatique. (u * v)
Semaine 02/01-07/01
Suites numériques
Majoration, Minoration, encadrement
Monotonie
Monotonie et encadrement. Th des Gendarmes et Cie.
Suites adjacentes
Suites extraites de rang pair et impair
Equivalents, opérations sur les équivalents, aide au calcul de limite.
Suites définies par une relation du type un+1 = f(un)
Géométrie
Equations de droites affines dans le plan, de droites et de plans affines dans l'espace
Droites vectoriels, plans vectoriels, espaces vectoriels. Vecteur directeur, vecteur normal.
Repères.
Equation de cercles.
Barycentres.
Semaine 16/01-20/01
Suites numériques
Majoration, Minoration, encadrement
Monotonie
Monotonie et encadrement. Th des Gendarmes et Cie.
Suites adjacentes
Suites extraites de rang pair et impair
Equivalents, opérations sur les équivalents, aide au calcul de limite.
Suites définies par une relation du type un+1 = f(un)
Espaces Vectoriels
Définition et caractérisation d'un sous-espace vectoriel.
Famille libre, génératrice, base.
Sous-espace vectoriel engendré.
Intersection de sev.
Exercices à savoir refaire
1)
1
n
n2
lim (cos ( ))
n →+∞
2) Etude complète (définition, monotonie, limite, équivalent) de la suite ( u n ) définie
par f ( u n )=n , avec f(x) = x + ln(x)
3) Exercice 4 du concours blanc Algorithmique et Informatique. (u * v)
4) Montrer que l'intersection de 2 sev est un sev.
Semaine 23/01-27/01
Espaces Vectoriels
Définition et caractérisation d'un sous-espace vectoriel.
Famille libre, génératrice, base.
Sous-espace vectoriel engendré.
Intersection de sev.
Base canonique, dimension.
Rang d'une famille de vecteurs.
Applications linéaires et matrices
Application linéaire, noyau image.
Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme
Matrice canoniquement associée à une application linéaire
Noyau, Image et rang d'une matrice.
Théorème du rang.
A savoir démontrer
1) Montrer que l'intersection de 2 sev est un sev.
2) Kerf(f) est un sev
3) Im(f) est un sev
4) Une AL f est injective ssi Ker(f) = {0}
5) Si f est une AL de E → F, l'image d'une base de E par f est une famille génératrice de
Im(f).
−1
6) Si f est un isomorphisme, alors f est linéaire.
Semaine 30/01-03/01
Espaces Vectoriels
Définition et caractérisation d'un sous-espace vectoriel.
Famille libre, génératrice, base.
Sous-espace vectoriel engendré.
Intersection de sev.
Base canonique, dimension.
Rang d'une famille de vecteurs.
Applications linéaires et matrices
Application linéaire, noyau image.
Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme
Matrice canoniquement associée à une application linéaire
Noyau, Image et rang d'une matrice.
Théorème du rang.
A savoir démontrer
7) Montrer que l'intersection de 2 sev est un sev.
8) Kerf(f) est un sev
9) Im(f) est un sev
10) Une AL f est injective ssi Ker(f) = {0}
11) Si f est une AL de E → F, l'image d'une base de E par f est une famille génératrice de
Im(f).
−1
12) Si f est un isomorphisme, alors f est linéaire.
Espaces probabilisés
Vocabulaire de base : univers, issues, événements, système complet d'événements.
Probabilité, équiprobabilité
Probabilité conditionnelle, probabilité totales, Bayes.
Indépendance, indépendante mutuelle.
Semaine 20/02-24/02
Applications linéaires et matrices
Application linéaire, noyau image.
Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme
Matrice canoniquement associée à une application linéaire
Noyau, Image et rang d'une matrice.
Théorème du rang.
A savoir démontrer
13) Montrer que l'intersection de 2 sev est un sev.
14) Kerf(f) est un sev
15) Im(f) est un sev
16) Une AL f est injective ssi Ker(f) = {0}
17) Si f est une AL de E → F, l'image d'une base de E par f est une famille génératrice de
Im(f).
−1
18) Si f est un isomorphisme, alors f est linéaire.
Espaces probabilisés
Vocabulaire de base : univers, issues, événements, système complet d'événements.
Probabilité, équiprobabilité
Probabilité conditionnelle, probabilité totales, Bayes.
Indépendance, indépendance mutuelle.
Variables aléatoires
Définitions
Fonction de répartition
Loi d'une VARD
Fonction d'une VARD
Moments, espérance, variance
Théorème de transfert
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi binomiale
Semaine 27/02-03/04
Espaces probabilisés
Vocabulaire de base : univers, issues, événements, système complet d'événements.
Probabilité, équiprobabilité
Probabilité conditionnelle, probabilité totales, Bayes.
Indépendance, indépendance mutuelle.
Variables aléatoires
Définitions
Fonction de répartition
Loi d'une VARD
Fonction d'une VARD
Moments, espérance, variance
Théorème de transfert
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi binomiale
Loi hypergéométrique
Couple et vecteurs aléatoires
. Lois d'un couple : loi conjointe, lois marginale
. Loi conditionnelle
Indépendance de VAR, indépendance mutuelle
VAR du type Z = f(X,Y), espérance.