chapitre_v_cine_matique_et_dynamique

Chapitre V
Cinématique et
Dynamique Newtoniennes
I – Cinématique
La cinématique est l’étude du mouvement indépendamment
des causes qui le provoquent.
1 - Systèmes et référentiels
Avant de décrire le mouvement d’un objet, il faut définir le
système étudié et préciser le référentiel d’étude.
On appelle système le solide qu’on étudie. Tout ce qui
n’appartient pas au système constitue le milieu extérieur.
Par la suite, on assimilera tous les systèmes à un point matériel
de même masse situé au centre d’inertie.
Les mouvements sont décrits par rapport à un solide de
référence. Tout mouvement est donc relatif au solide de référence
choisi.
Le référentiel est le solide de référence par rapport auquel on
étudie le mouvement d’un point.
A un référentiel sont associés :
- Un repère d’espace qui donne la position du point.
- Un repère de temps qui permet d’associer une date à chaque
position.
- L’origine des dates est fixée arbitrairement et un dispositif
appelé horloge mesure la durée entre deux dates.
2 – Le vecteur position
Dans le repère , la position d’un point mobile M à la date t est repérée
par ses trois coordonnées x(t), y(t) et z(t).
La position d’un point M à la date t est donnée par le vecteur position .
Dans le repère
, où
sont trois vecteurs unitaires :
Les notations x(t), y(t) et z(t) précisent que les coordonnées d’un point
en mouvement sont des fonctions du temps. Pour simplifier les
notations, on pourra écrire :
La trajectoire est l’ensemble des positions occupées successivement
par le point M au cours du temps.
La trajectoire dépend du référentiel.
3 – Le vecteur vitesse
Le vecteur vitesse caractérise la variation du vecteur position
en fonction du temps.
Rappel : vitesse moyenne v = d/t.
Pour calculer la vitesse à un instant donné t, on calcule la
vitesse moyenne sur l’intervalle de temps le plus petit possible
autour de l’instant t.
Considérons deux positions Mn-1 et Mn+1 d’un point M sur sa
trajectoire, atteintes aux instants tn-1 et tn+1.
On a:
M n-1, t n-1
M i-1 M i+1
u (ti ) =
t i+1 - t i-1
Mn+1, tn+1
Mn , t n
On définit le vecteur vitesse par
u (ti ) =
M i-1 M i+1
t i+1 - t i-1
Le vecteur vitesse V d’un point mobile M à la date t est
caractérisé par :
- Son origine : la position du point M à la date t
- Sa direction : celle de la tangente à la trajectoire en M
- Son sens : celui du mouvement à la date t
- Sa valeur (ou norme): vitesse instantanée du point à la date t
Or
Et
Donc
Ou encore:
u (ti ) =
OM i+1 - OM i-1
t i+1 - t i-1
Pour calculer la vitesse en un instant t, il faut que la durée
soit la plus petite possible. Elle tend vers 0.
Cette limite est la dérivée par rapport au temps à l’instant ti du
vecteur position
En mathématiques, la dérivé d’une fonction f par rapport à x
en x0 est définie par :
Dans un référentiel donné, le vecteur vitesse du point M à la
date t est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur
position
dOM
u (t) =
dt
Le vecteur vitesse en un point est tangent à la trajectoire en ce
point et est orienté dans le sens du mouvement.
L’unité de la valeur de la vitesse est m.s-1.
Dans le repère
, le vecteur vitesse a pour expression :
On a:
D’où:
dx
ux =
dt
dy
uy =
dt
uz =
dz
dt
La valeur de la vitesse (norme du vecteur) est égale à
4 – le vecteur accélération
Le vecteur accélération caractérise la variation du vecteur
vitesse en fonction du temps.
Par analogie avec le vecteur vitesse, on peut déterminer le
vecteur accélération à une date ti par :
Le vecteur accélération est la limite du vecteur
quand t0.
Cette limite est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse
Dans un référentiel donné, le vecteur accélération du point M à la
date t est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur
vitesse du point à cet instant :
L’unité de la valeur de l’accélération est m.s-2.
5 – Mouvements particuliers
Voir activité
Cas particulier des mouvements circulaires
Le mouvement est circulaire si la trajectoire est un arc de cercle
de rayon R.
Pour décrire ce mouvement, on utilise le repère de Frenet (les
expression des coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
sont plus simples).
C’est un repère tournant dont l’origine est le point M et
dont les vecteurs unitaires des axes sont
et
est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du
mouvement.
est orthogonal à la trajectoire et orienté vers le centre
0 de la trajectoire.
Son vecteur accélération a pour expression :
Donc :
an =
u2
R
du
at =
dt
II – Les lois de Newton
A la différence de la cinématique, la dynamique étudie le lien
entre le mouvement et les actions mécaniques, causes du
mouvement.
Définition : Le vecteur quantité de mouvement d’un système
est le produit de sa masse par sa vitesse :
avec m en kg, v en m.s-1, p en kg.m.s-1
1 – Première Loi de Newton ou Principe d’Inertie
Le principe d’inertie est postulé par Isaac Newton en 1687 :
« Tout corps persévère dans son état de repos ou de
mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s’exercent sur
lui se compensent. »
Le principe d’inertie n’est pas vérifié dans tous les
référentiels : il n’est valable que dans les référentiels galiléens.
Activité 5p.135
Conclusion :
Un référentiel est galiléen si le principe d’inertie y est vérifié.
Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par
rapport à un référentiel galiléen est un référentiel galiléen.
Le référentiel héliocentrique est galiléen.
Le référentiel terrestre est galiléen pour l’étude de
mouvements de courte durée au voisinage de la Terre.
Enoncé :
Un système est isolé s’il n’est soumis à aucune force. (cas qui
n’existe pas).
Dans un référentiel galiléen, un système isolé ou pseudo-isolé
est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.
Un système est pseudo-isolé si la résultante des forces (ou
somme vectorielle de toutes les forces) qui lui sont
appliquées est nulle.
2 –Deuxième Loi de Newton ou Principe Fondamental de la
Dynamique (PFD)
Enoncé : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des
forces qui s’exercent sur un point matériel est égale à la dérivée,
par rapport au temps, du vecteur quantité de mouvement :
Cette deuxième loi de Newton est très générale et en général, on
se limite aux cas des systèmes fermés dont la masse reste
constante.
Cas d’un point matériel de masse constante :
 Calculons la dérivée du vecteur p par rapport au temps:
, donc il faut ici calculer la dérivée d’un produit:
On rappelle que (uv)’ = u’v + uv’
Donc :
Or
dm
=0
dt
et
donc dans tous les cas (en TS)
3 – Troisième loi de Newton ou Principe des actions réciproques
Nous avons vu en 2nde et 1ère que deux objets A et B en interaction,
exercent l’un sur l’autre des forces.
La force exercée par le Soleil sur la Terre est opposée à celle
exercée par la Terre sur le Soleil (même direction, sens opposé et
même valeur). Ceci est vrai pour tous les objets en interaction.
Quel que soit leur état de mouvement ou de repos, deux objets A
et B en interaction exercent l’un sur l’autre des forces vérifiant
la relation vectorielle :
Ces deux forces ont même direction, même valeur et sont de
sens opposés.
III - Conservation de la quantité
mouvement d’un système isolé
de
Lorsqu’un système assimilé à un point matériel à des forces qui
se compensent, on a :
D’après la deuxième loi de Newton,
. Donc
Dans un référentiel galiléen, le vecteur quantité de mouvement
d’un système isolé ou pseudo isolé se conserve.
Remarque : cette loi contient le principe d’inertie car si la masse
est constante, la relation
entraine