Chapitre 5. Intégration

Chapitre 5 : Intégration
QCM Pour bien commencer
(cf p. 166 du manuel)
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Exercice 1
Soit g la fonction définie par g ( x)
x 1
, dérivable sur ]3 ; + [. Soit g’ la fonction dérivée de g sur
x 3
]3 ; + [, alors l’expression de g’ est :
4
x 3
2( x 1)
B g’( x)
( x 3)2
A g’( x)
4
( x 3)2
4
D g’( x)
( x 3)2
C g’( x)
Réponse juste : C.
g est une fonction homographique dérivable sur ]3 ; + [ de la forme :
Sa dérivée g’ est de la forme :
u ' v uv '
v²
u’ (x) = 1
v(x) = x – 3
( x 3) ( x 1)
4
D’où : g '( x)
( x 3)²
( x 3)²
u(x) = x +1
u
.
v
v’(x) =1.
Exercice 2
Soit f la fonction définie par f(x) = 2ln x – x, dérivable sur ]0 ; + [. Soit f ’ la fonction dérivée de f sur
]0 ; + [, alors l’expression de f ’ est :
2 x
x
2
B f ’( x)
x
x
1
C f ’( x)
1
x
2
D f ’( x) 1
x
A f ’( x)
Réponse juste : A.
f, fonction dérivable sur ]0 ; + [ est une somme de fonctions dérivables.
Or (ln x)’=
1
. D’où f '( x)
x
1
2
2 x
.
1
1
x
x
x
2
2
2
x , ne convient pas car
x
x
x
Attention la réponse B, f '( x)
2 x²
.
x
Exercice 3
Soit h la fonction définie par h(x) = (x2 – 1)e–x, dérivable sur . Soit h’ la fonction dérivée de h sur ,
alors l’expression de h’ est :
A h’(x) = (2x – 1)e–x
B h’(x) = e–x(2x + 1)
C h’(x) = 2xe–x – (x – 1)e–x
Réponse juste : C.
h , dérivable sur , est un produit de fonctions dérivables sur
Sa dérivée h’ est de la forme : u’ v + u v’ avec :
u(x)= x² - 1
u’(x)= 2x
v( x) e
x
v '( x)
e
D’où
h '( x)
de la forme : u v .
x
2x e
h '( x) 2 xe
x
x
( x ² 1)( e x )
x²e
x
e
x
h '( x) e x (1 2 x x ²)
Pour les questions de 4 à 7 :
On pose une fonction f définie sur un intervalle I. On suppose que f est la dérivée d’une fonction g
continue sur l’intervalle I.
Exercice 4
Si f(x) = 3x2 + 2x + 1 et I =
A g(x) = 6x + 2
B g(x) = x3 + x2 + 1
C g(x) = x3 + x2 + x
D g(x) = ln(5x)
alors une fonction g est :
Réponse juste : C.
La réponse A correspond à g '( x)
6 ; la réponse B à g '( x) 3x 2 2 x et la réponse D à g '( x)
1
x
.
Exercice 5
1
et I = ]0 ; + [ alors une fonction g est :
x2
Si f ( x)
A g(x) = ln(x)
1
x
x 1
x
B g ( x)
C g ( x)
Réponse juste : B.
La réponse A correspond à g '( x)
1
x
; la réponse C à g '( x)
x ( x 1)
1
x²
x²
.
Exercice 6
Si f ( x)
A g ( x)
B g ( x)
1
et I = ]0 ; + [ alors une fonction g est :
x 1
1
( x 1)2
1
( x 1)2
C g(x) = ln(x + 1)
D g(x) = ln(5x)
Réponse juste : C.
La réponse A correspond à g '( x)
1(2( x 1))
( x 1) 2
g '( x)
2( x 1)
( x 1)4
Exercice 7
Si f(x) = e2x et I =
A g(x) = e2x
B g ( x)
2
2( x 1)
( x 1)
4
2
( x 1)3
; la réponse B à
2
1
et la réponse D à g '( x) (log 5 log x) '
.
3
x
( x 1)
alors une fonction g est :
1 2x
e
2
C g(x) = 2e2x
Réponse juste : B.
La réponse A correspond à g '( x )
2e 2 x ; la réponse C correspond à g '( x)
4e 2 x .
Exercice 8
Soit f la fonction définie sur par la courbe f représentée cicontre.
On suppose que f est la dérivée d’une fonction g continue sur .
Parmi les tableaux de variations suivants, lequel représente une
fonction g ?
A
B
C
Réponse juste : B.
Par lecture graphique du signe de f sur la courbe f on obtient le tableau de signe de f puis on en
déduit le tableau de variations de g car f est la dérivée de g continue sur .
x
Signe de f
-
-2
+
0
2
-
0
+
+
Variations
de g(x)
Exercice 9
L’aire du trapèze rectangle OADB représenté ci-dessous est, en
unités d’aire (une unité d’aire est un carré d’aire 1, représentée par
l’aire hachuré ci-dessous) :
A 9
B 8,25
C
33
4
Réponses justes : B et C.
L’aire du trapèze rectangle OADB est en unités d’aire: A
(1, 5 4) 3
A
2
8, 25
33
4
(OB
AD) OA
2
, soit
.
Exercice 10
L’aire du triangle ABC délimité par les droites d’équations x = 2,
y = x + 1 et l’axe des abscisses représenté ci-dessous est, en unités
d’aire :
A 6
B
9
2
C 4,5
Réponses justes : B et C.
L’aire du triangle ABC est en unités d’aire: A
BC AB
2
, soit : A
3 3
9
2
2
4, 5 .