e2 10-11 geo cor - Collège des Saints-Coeurs

Collège des Saints Cœurs
Sioufi
Examen2, juin 2011
Classe : 5ème
Durée : 60 min
Nom :………………………
Mathématiques
Géométrie (correction)
Exercice 1:
a) On a ABˆ C = ACˆ B = ACˆ B = 60° (ABC est un
triangle équilatéral)
ACˆ D = BCˆ D − ACˆ B = 180° − 60° = 120° .
b) Calculons ACˆz :
ACˆ z = ACˆ D ÷ 2 = 120° ÷ 2 = 60° (car [Cz) est la bissectrice de l’angle ACˆ D ).
ACˆ z = BAˆ C = 60° (Déjà démontré). Et comme ils sont des angles alternesinternes formés par les droites (Cz) et (AB) et la sécante (AC). Alors
(AB)//(Cz).
c) Calculons CAˆ D :
CAˆ D = BAˆ D − BAˆ C = 90° − 60° = 30° .
Calculons CDˆ A , dans le triangle CID :
CDˆ A = 180° − (CIˆD + ICˆ D ) = 180° − (90° + 60°) = 180° − 150° = 30° .
Comme CAˆ D = CDˆ A alors ACD est un triangle isocèle en C ayant deux
angles égaux.
d) CD=AC (côtés isométriques du triangle isocèle ACD en C) et AC=AB
(côtés isométriques du triangle équilatéral ABC).
Donc CD=AB.
Exercice 2:
a) On a : MB=MC (M étant le milieu de [BC]) et AE=MC (par donnée)
donc MB=MC=AE. En particulier AE=BM.
b) On a :
• EAˆ C = ACˆ B (angles alternes
alternes-internes
internes formés par les droites parallèles
(AE) et (BC) et la sécante (AC)).
• ACˆ B = ABˆ C (angles égaux du triangle isocèle ABC en A).
Donc EAˆ C = ACˆ B = AB
B̂C .
c) Considérons les deux triangles ABM et ACE, ils ont :
• MB=AE (déjà démontré)
• AB=AC (côtés isométriques du triangle isocèle ABC en A).
• EAˆ C = ABˆ C (déjà démontré)
Ces deux triangles sont superposables ayant un angle égal compris entre
deux côtés respectivement isométriques.
Exercice 3:
a) 1ère méthode :
On a AH=HM (M est le symétrique de A par rapport à H) et
(AH) ⊥ (BC) ([AH] est la hauteur relative à [BC]). Alors (BH) est la
médiatrice de [AM].
B appartient à la médiatrice de [AM] et tout point qui appartient à la
médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Donc
BA=BM.
2ème méthode :
Considérons
sidérons les deux triangles ABH et HBM, ils ont :
• AH=HM (déjà démontré)
• [BH] (côté commun).
• AHˆ B = BHˆ M ([AH] est la hauteur relative à [BC])
Ces deux triangles sont superposables ayant un angle égal compris entre
deux côtés respectivement isométriques.
b) Démontrons tout d’abord que : BI=BJ.
On a BI=IA (I milieu de [AB]) et BJ=JM (J milieu de [BM]). Comme
AB=BM (déjà démontré) alors BI=IA=BJ=JM.
Considérons les deux triangles IBH et HBJ, ils ont :
• BI=BJ (déjà démontré)
• [BH] (côté commun).
• IBˆ H = HBˆ J (angles homologues des triangles superposables ABH et
HBM) Ces deux triangles sont superposables ayant un angle égal compris
entre deux côtés respectivement isométriques.