e2 10-11 geo cor - Collège des Saints-Coeurs

Collège des Saints Cœurs Examen2, juin 2011
Sioufi Classe : 5
ème
Durée : 60 min
Nom :………………………
Mathématiques
Géométrie (correction)
Exercice 1:
a) On a °=== 60
ˆ
ˆ
ˆBCABCACBA
(ABC est un
triangle équilatéral)
°=°−°=−= 12060180
ˆ
ˆ
ˆ
BCADCBDCA .
b) Calculons zCA
ˆ
:
°=÷°=÷= 6021202
ˆ
ˆ
DCAzCA (car [Cz) est la bissectrice de l’angle DCA
ˆ
).
°== 60
ˆ
ˆ
CABzCA (Déjà démontré). Et comme ils sont des angles alternes-
internes formés par les droites (Cz) et (AB) et la sécante (AC). Alors
(AB)//(Cz).
c) Calculons DAC
ˆ
:
°=°−°=−= 306090
ˆ
ˆ
ˆ
CABDABDAC .
Calculons ADC ˆ , dans le triangle CID :
(
)
(
)
°=°−°=°+°−°=+−°= 301501806090180
ˆ
ˆ
180
ˆDCIDICADC
.
Comme DAC
ˆ
= ADC ˆ alors ACD est un triangle isocèle en C ayant deux
angles égaux.
d) CD=AC (côtés isométriques du triangle isocèle ACD en C) et AC=AB
(côtés isométriques du triangle équilatéral ABC).
Donc CD=AB.

Exercice 2:
a) On a
: MB=MC (M étant le milieu de [BC]) et AE=MC (par donnée)
donc MB=MC=AE. En particulier AE=BM.
b) On a :
• BCACAE ˆˆ =
(angles alternes
(AE) et (BC) et la sécante
• CBABCA ˆ
ˆ=
(angles égaux du triangle isocèle ABC en A).
Donc
B
ABCACAE ˆˆ ==
c)
Considérons les deux triangles ABM et ACE, ils ont
•
MB=AE (déjà démontré)
•
AB=AC (côtés isométriques du triangle isocèle ABC en A).
• CBACAE ˆ
ˆ=
(déjà démontré)
Ces deux triangles sont superposables ayant un angle égal compris entre
deux côtés respectivement isométriques.
Exercice 3:
: MB=MC (M étant le milieu de [BC]) et AE=MC (par donnée)
donc MB=MC=AE. En particulier AE=BM.
(angles alternes
-
internes formés par les droites parallèles
(AE) et (BC) et la sécante
(AC)).
(angles égaux du triangle isocèle ABC en A).
C
B
ˆ
.
Considérons les deux triangles ABM et ACE, ils ont
:
MB=AE (déjà démontré)
AB=AC (côtés isométriques du triangle isocèle ABC en A).
(déjà démontré)
Ces deux triangles sont superposables ayant un angle égal compris entre
deux côtés respectivement isométriques.
: MB=MC (M étant le milieu de [BC]) et AE=MC (par donnée)
internes formés par les droites parallèles
(angles égaux du triangle isocèle ABC en A).
AB=AC (côtés isométriques du triangle isocèle ABC en A).
Ces deux triangles sont superposables ayant un angle égal compris entre

a) 1ère méthode :
On a AH=HM (M est le symétrique de A par rapport à H) et
(AH)
⊥
(BC)
([AH] est la hauteur relative à [BC]). Alors (BH) est la
médiatrice de [AM].
B appartient à la médiatrice de [AM] et tout point qui appartient à la
médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Donc
BA=BM.
2ème méthode :
Con
sidérons les deux triangles ABH et HBM, ils ont
•
AH=HM (déjà démontré)
•
[BH] (côté commun).
• MHBBHA ˆˆ =
([AH] est la hauteur relative à [BC])
Ces deux triangles sont superposables ayant un angle égal compris entre
deux côtés respectivement isométriques.
b)
Démontrons tout d’abord que
On a AH=HM (M est le symétrique de A par rapport à H) et
([AH] est la hauteur relative à [BC]). Alors (BH) est la
B appartient à la médiatrice de [AM] et tout point qui appartient à la
médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Donc
sidérons les deux triangles ABH et HBM, ils ont
:
AH=HM (déjà démontré)
[BH] (côté commun).
([AH] est la hauteur relative à [BC])
Ces deux triangles sont superposables ayant un angle égal compris entre
deux côtés respectivement isométriques.
Démontrons tout d’abord que
: BI=BJ.
([AH] est la hauteur relative à [BC]). Alors (BH) est la
B appartient à la médiatrice de [AM] et tout point qui appartient à la
médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Donc
Ces deux triangles sont superposables ayant un angle égal compris entre

On a BI=IA (I milieu de [AB]) et BJ=JM (J milieu de [BM]). Comme
AB=BM (déjà démontré) alors BI=IA=BJ=JM.
Considérons les deux triangles IBH et HBJ, ils ont :
• BI=BJ (déjà démontré)
• [BH] (côté commun).
• JBHHBI ˆˆ = (angles homologues des triangles superposables ABH et
HBM) Ces deux triangles sont superposables ayant un angle égal compris
entre deux côtés respectivement isométriques.