équation implicite

Dérivation implicite
et
Taux de variation instantané
Jacques Paradis
Professeur

Département de mathématiques 2
Plan de la rencontre
Taux de variation instantané (exemple)
Définition : équation implicite
Exemples d’équations implicites
Dérivées de base
Technique de dérivation implicite
Exemples de dérivation implicite

Département de mathématiques 3
Taux de variation instantané (exemple)
Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le
haut. La position de la pierre au-dessus du fleuve, en fonction
du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t –4,9t2, où t est
en secondes et x(t), en mètres.
a) Déterminer la fonction donnant la vitesse de la
pierre en fonction du temps.
b) Déterminer la vitesse initiale de la pierre.
c) Déterminer le temps nécessaire pour que la pierre
cesse de monter.
d) Calculer la vitesse de la pierre après 4 secondes.
e) Déterminer la hauteur maximale qu’atteindra la
pierre.

Département de mathématiques 4
Exemple (suite)
Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le
haut. La position de la pierre au-dessus de la rivière , en
fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t –4,9t2,
où t est en secondes et x(t), en mètres.
f) Déterminer la hauteur du pont.
g) Déterminer la distance totale parcourue
par la balle.
h) Déterminer à quelle vitesse la balle
touche à l’eau.
i) Déterminer la fonction donnant
l’accélération de la pierre en fonction du
temps.
k) Représenter la fonction x(t) sur [0 , 6].

Département de mathématiques 5
Définition
Une équation implicite est une relation entre
différentes variables où une variable n’est pas
explicitée en fonction des autres.
Équations explicites (habituelles):
y = x2 - 2x + 3
x = 3y2–y + 2
Équations implicites:
x2–2xy + 2y3 = 5x2y
(y2 +x)/(y2–2xy) =0
Remarque :Il faut noter qu’une équation implicite n’est
pas nécessairement une fonction.