Sur la loi de composition entre éléments des groupes d`homotopie

Séminaire Ehresmann.
Topologie et géométrie
différentielle
JACQUES F ELDBAU
Sur la loi de composition entre éléments des groupes d’homotopie
Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle, tome 2 (1958-1960),
exp. no 11, p. 0-17.
<http://www.numdam.org/item?id=SE_1958-1960__2__A11_0>
© Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle
(Secrétariat mathématique, Paris), 1958-1960, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation
(http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de
ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
SEMINAIRE DE TOPOLOGIE
ET DE GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
C. EHRESMANN
1960
SUR LA LOI DE COMPOSITION
ENTRE ELEMENTS DES GROUPES D’HOMOTOPIE
Jacques
FELDBAU
PREFACE
C. EHRESMANN
rédigé par Jacques Feldbau en 1942. L’auteur l’a exposé dans mon
Séminaire hebdomadaire de Topologie à l’Université de Strasbourg, repliée à Clermon t-Ferrand
pendant la guerre 1939-1945. Il pensait l’incorporer dans la Thèse de Doctorat qu’il était
en train de préparer sur la Tbéorie des espaces fibrés et les problèmes d’homotopie.
Il se proposait d’y développer aussi les résultats publiés d’une façon provisoire dans les
articles suivants ; J. Feldbau, Sur la classification des espaces fibrés, Comptes Rendus,
208, p. 1621, 1939. En collaboration avec C. Ehresmann : Sur les propriétés d’homotopie
des espaces fibrés, Comptes Rendus, 212, p. 94’5 - 948, 1941. J. Feldbau ( sous le nom
de J. Laboureur) : Les structures fibrées sur la sphère et le problème du parallèlisme, Bull.
Math. de France, 70, p. 181- 186, 1941. J. Feldbau (sous le nom de J. Laboureur) :
Propriétés Topologiques du groupe des automorphismes de la sphère Sn, Bull. Soc. Math.
Ce mémoire
a
été
de France, 71, p. 206 -
J. Feldbau
où il est mort
a
211, 1943.
laissé son travail inachevé :
en
d’épuisement peu avant la fin de
publié ici a été
Le manuscrit du mémoire
1946 à
C. Whitehead,
I9~3, il a été arrêté
et
déporté
en
Allemagne
la guerre.
retrouvé
en
194_5
et
j’ai
article
eu
l’occasion de le
1941
sur le
publié
sujet,
la
L’idée
de
la
de
loi
publication
pendant guerre.
composiintroduite par J. H. C. Whitehead, a été indiquée sommairement à J. Feldbau par A.
La plupart des résultats du mémoire de Feldbau se trouvent dans d’autres publications
ce mémoire méritait d’être publié, même
parues depuis 1941.
montrer en
qui
inaccessible à Clermont-Ferrand
en
un
1 . LOI DE COMPOSITION
ENTRE GROU P ES D’HOMOTOPIE D’OR DR ES QUELCONQUES.
Heegard d’une sphère
1. Diagramme de
Soient
rapportés aux coordonnées x , ... , x resp.
définis respectivement par :
Soient
si
on
QP-l,
leurs frontières
WP,
suppose
Wq munis d’une
y2,
RP,
R~ deux espaces numériques
Considérons les paves" , - Wq
...,
wq leur
=
et
produit topologique ;
munis de l’orientation
orientation,
les éléments ainsi définis peuvent être considérés
comme
des
chaînes,
et
induite,
l’on aura :
(1)
de Wp+ q
D’autre part, la frontière
sera
donnée par :
(2)
homéomorphe
à la
sphère
Inversement,
sphère topologique peut
somme
wq + t~’ X
l’espace
topologique
X
le même point de
est
toute
façon suivante :
s’obtenir de la
eton
identifie les
on
forme
points représentant
=
2. Définition de la loi de composition.
qu’on a choisi une fois pour toutes
applications f(WP) C E telles que
Soit [y]
la classe
7t (F)
Considérons de même les
d’homotopie [g]
Construisons
une
en
Si f et g
varient de
c
et
f
topologique pointé,
espace
zQ.
Elle définit
module
pieme groupe d’homotopie de
définit
de
c’est’-à-dire
On considère l’ensemble des
fixe
E
un
en
zo.).
telles que
applications
application
=
~o. La classe
un
Ç~ ~’ dans
E de la
façon suivante :
particulier
façon homotope,
Choisissons
de
=
de g module
On aura,
La classe
le
un
point
un
de
d’homotopie
( on désignera toujours par
Soit E
un
d’homotopie
mod.Qp-1
point fixe ( xo ,
de cb module
de d. Cette classe définit
un
xo
reste
resp.
homotope à elle-même
*
est
élément 03BB ~ 03C0, (E),
bien déterminée,
et
et ne
dépend
nous poserons À
=
que
2
J. FELDBAU
On
ainsi défini
a
tivement à
3.
loi de
une
associe
q(E),
Propriétés.
à deux éléments c, d appartenant respec-
composition qui,
élément cod de
un
n . q-1(E).
°
a) LOI DE COMMUTATION.
On a immédiatement
ce
(3)
résulte de la formule ( 1 ).
qui
b) CAS OU E EST UN ESPACE DE HOP F.
Supposons
que E soit définie
cation continue (x,
point
y) -+ p(x, y) possédant un élément unité,
~(x, y) est prolongeable à l’intérieur
Alors
zo.
nous
que
multipliprendrons pour
une
car il suffit
de
de poser
Donc, dans
ce
cas,
la loi de
composition
l’élément 0 de
4. Cas
a)
Supposons p
Pretfons x0=
0 , y0
71 (E)
groupe
haut de ta
et
on
a
Wq
et
façon
[1]]
a
( p >
Soit
c
un
montré que
suivante : supposons
~Q ~-~ ~ =
g(I)
quelconque
=
a
=
de
Si
est
elle
est
0{,
c o d
au
en
segment (0, 1 J.
même groupe
03C01 (E),
=
fondamental est
(E) définit
abélien.
[2]
a l
un
théorie à la loi de
=
p+1 dimensions,
trois parties : Wp X 101, Wp {1}.Op-1
est un
la réunion de
et
pavé
On l’oriente
à
homéomorphe
comme
sur
la «base»
ce
=
zo et
un
X w.
pavé WP
et
qui
qui définit une orientation bien
l’orientation induite par
X
WP). Whitehead définit l’application suivante de WP dans
Elle satisfait à
à
dont lafron-
(surface latérale). La frontière de WP
de
déterminée de ~’~ (ceci revient à définir
définit donc un élément de
E :
que
nous
dési gnerons
~‘’~ ~~~ .
En
[1]
[2]
deux
à droite.
il reste un ensemble
~’~ ~ ~ ~ ~ (base)
1
est
par
c
automorphisme du
composition définie plus
défini parune application g du segment W
(0~ 1 ]
E
g(y) f
pour 0 ~ y ~ 1.
telle
défini
par une application
K P (E),
sa
W
retire le pavé
la réunion de
celle de
couple
tout
zo.
produit topologique
est homéomorphe à SP;
on en
tous
voit que le groupe
élément
Le
tière
réduisent
gauche
on
tout
se
immédiatement
1 ). On peut rattacher
élément
associe à
d, c o d appartiennent
c,
’~l (E) de
dans
dans E telle que
que
E)
la
Vhitehead
b)
WP.
1. Alors
O. Les éléments
=
et
de Whitehead.
multiplication
particulier, pour un espace de
notant
En
q
fondamental de
(groupe
(en
=
triviale
(E).
particuliers. Automorphisme
=
est
particulier, si p
=
1,
on a
immédiatement
Proc. London Math. Soc. (2) 1938, vol. 45, p. 243-327.
Ce raisonnement est à rapprocher de celui de Hurawicz (Proc. Amsterdam 1936, p. 215-224,
note 22)
où on montre que le gr. fond. d’un espace de groupe est abélien, sans utiliser
l’associativité du groupe.
3
LOI DE COMPOSITION ENTRE GROUPES D’HOMOTOPIE
D’autre part la frontière du
Si
et
l’ h émi sphère wP
quant à H~~
sera
oriente
on
sera
Définissons alors le
où,
sphère
cette
W est
comme
partagée en deux. hémisphèresau n° 1 (diagramme de Heegard),
munie de l’orientation contraire à celle qui
elle
X
pavé wP+ 1 = wP X
orientée
comme
composé co03C3
au
nous a
servi à définir
m03C3 (c),
WP.
moyen de l’application Ø suivante de
Sp dans E:
( 4’)
immédiatement :
On
aura
au
second membre, figure le
produit
de Hurewicz.
( 4")
La
évidemment
de
lui-même
un automorphisme
correspondance
ainsi
comme
un
D’autre part l’appligroupe d’automorphismes de
apparait
dans le groupe des automorphismes
cation (y -~ ï!L estunhomomorphismede
c’est-à-dire qu’on a :
dans le
Pour p = 1 cet homomorphisme n’est autre que l’homomorphisme de
groupe des automorphismes intérieurs de
Nous allons entreprendre maintenant l’étude de la distributivité de la loi de composition
0 par rapport à la loi de composition de
notée + dans le
et - dans
le
est
c
p
cas
=
1.
5. Distributivité.
formules
En
sur
Soient
on
a a2 ~ 03C0p(E), 03B2 ~03C0q (E);
a,
pour p>1,
les
de distributivité:.’
vertu
de la loi de commutation
Supposons
que
Partageons
le
On choisira
un
a~
pavé ~’~
point
et f3
en
fixe
deux
(ag,
(3), il suffit d’ailleurs de démontrer la première.
représentés respectivement par les applications
soient
yo)
parties :
de
Q P+ q"’ (frontière
de
WP+ fi
pour définir le groupe
précise
d’homotopie Up+ q,iE> dans lequel ont lieu les égalités (5). et on prendra de
X
ici
E
(C
est
Qq"’.
(%, yo) ........
qu’intervient explicitement l’hypothèse p > 1 )
...
1
J. FELDBAU
4
Construisons d’abord
et
qui définisse a ~ + a 2.
Il existe des applications
D’autre part
~
un e
QP+q-l
de
et
et
sont
On
définis par les
applications
suivantes
dans E :
on
on
éléments a1o
Ff0~" Jt = ~
E telles que :
respectivement
remplace Il et 12 par les
module
respectivement à
Si
~~ dans
de
/[ , ~
W~ dan s E, telle que
F de
application
{3, a2o03B2
Qqel
X
aura
et
applications Ø1,Ø2 homotopes
des
définissant par conséquent les mêmes
soit donc
a :
Suppesons
On
a
Si
on
la déformation définie par
~f~. ~ ~ c’est-à-dire,
en
posant
de même
désigne
invariant par
r
nition de
en
c~~
définie par
le transformé de X par
r
par X
=
r
(ici intervient le choix particulier de
~~
peut s’obtenir
~~ X~ t~ ~
t))
comme
et on
la
(x)
ce
si on remarque
point Xo), on voit
et
suitsur
prolonge
ensuite
cette
sur
que
X~ reste
que la défi-
déformation peut être
..
5
LOI DE COMPOSITION ENTRE GROUPES D’HOMOTOPIE
est
et
de
telle que
plus
Considérons maintenant les
applications suivantes ~’
et
dans e.
t~" de
c’est-à-dire
respectivement les éléments
homotopes par la déformation
Elles définissent
Or elles
donc
sont
on a
bien la relation (5).
= 1
Si q
REMARQUES.
on retrouve
l’automorphisme
de Whitehead. En effet,
d’où
Mais
en
la
1
si p =
propriété de di
stributivi té n’
estplus vraie,
comme on
le voit facilement
utilisant la formule (4").
On déduit de la
désigne
de distributivité,
la classe unité du groupe
La loi de
est
propriété
composition
diviseur de
o
si E
ou
~~~~ ,
est un
espace de
paire
une
au sens
de
ANNULATEUR D’UN ELEMENT de
que co do
=
0, do
Cet ensemble
Pour p
>
étant
est un
on a :
un
7T.
(par exemple,
élément
tout
Hopf.)
est
Pontrjagin.
que si 0
façon purement algébrique,
peut admettre des diviseurs de zéro
o
On peut aussi remarquer que si
forment
de
et
cyclique,
Par contre, ils
dans
7t
?
.
Soit
les groupes
ne sont
a(do)
pas
toujours
l’ensemble des
dualité.
en
c
~03C0p tels
élément fixe
sous-groupe de
appelé
annulateur
de ~
dans
~~.
1 , ceci résulte de la distributivité
x
Pour p = 1, on a:
Donc si
=
o~
cela
laisse invariant l’élément
signifie que l’automorphisme
~, c’est-à-dire
= ~
de Whitehead associé à
-
f
1t1
6
J.FELDBAU
Mais si
on a encore :
ce
qui
En
montre
t~ ~~
que
est
bien
un
groupe.
particulier, si p = q = l,
c’est le centralisateur
est un
de do (ensemble
sous-groupe du groupe fondamental
des éléments
permutables
avec
d~~.
Il. APPLICATIONS DU PRODUIT TOPOLOGIQUE SP x sq DANS E.
> l, q ~ ~ )
Disposition de SP X S~ comme espace quotient de
Désignons par x, x’, y, y’, respectivement les points de sP, WP, sq, Wq.
On peut envisager
comme espace quotient de
par la relation d’équivalence qui identifie tous les points de
en un point
de
Soient
les
donc
:
projections canoniques correspondantes,
"’2
1.
Définissons
une
application p
de
Q X W~ sur
X
Sq par
(6)
p
définit la relation
d’équivalence p produit
desrelations
d’équivalence
~t~l )
et
(~r~~,
J
c’est-à-dire telle que :
où
Ainsi, SP X S q peut être considéré
comme
projection canonique correspondante étant p,
2. Etude des classes d’homotopie des
espace
quotient
de
t~~
x
wq par p, la
définie par (6).
applications
de SP X Sq dans E .
~~ dans E telle que ~*(xQ, YQ) ~ zo.
application de
Nous supposons toujours remplie cette condition et nous étudierons les classes d’homotopie des applications de SP X Sq dans E module le point x0 y0 (« classes liées»).
D’après ce qui précède, on peut considérer ~* comme projection d’une application 4>
de W P + q dans E, c’est-à-dire qu’on aura ~
cI>* 0 p.
Soit
une
=
Il suffit de poser
varie de
De même, si
variera de façon
façon homotope
Il suffira donc dans la suite de considérer des
satisfaisant
de ~’~
ou
aux
conditions suivantes (on
W ~.
(7)
supprime
applications
les
accents
de
pour
homotope
WP X wq dans E
désigner
les
points
7
LOI DE COMPOSITION ENTRE GROUPES D’HOMOTOPIE
On peut remarquer que
ces
conditions
ne
sur
portent que
Ø de 03C6
la restriction
à
d ~03C0(E),
respectivement des éléments c ~ 03C0 (E).
qui
restent invariants quand $ varie de façon homotope module Q ,-1 x Q ~’~~
o ( on dira que ces éléments sont
D’autre part, on a c o d
.orthogonaux.), car en
et
retrouve
dans E et celle-ci est prog, on
composant f
l’application ~~ de
wq.
à
WP
X
longeable
Réciproquement, soient c, d, un couple d’éléments «orthogonaux. de
resp.
les
telles
Représentons-les par
applications f et g
que
f(x)
définissent
g (y)
et
=
A lors c o d
qui
est
admet par
évidemment
définie par
hypothèse
un
conditions
aux
de
l’application cP
prolongement &
(7) (puisque 4>
dans E donnée par :
à WP X W q.
y
satisfait)
Cette
et
application ~ satisfait
définit par conséquent une
sur zo.
application 1>* de SP X sq dans E amenant le point
de cette application n’ est pas déterminée.
Mais la classe d’ homotopie mod.
C E représentant
Supposons d’abord choisie une application particulière
à Wp+ q fixé pour le moment. Soit c~ un
un prolongement
la classe c o d et soit
A l’aide du couple
d’applications de W~~
prolongement quelconque de rPo à
dans E, on peut définir, d’après Eilenberg [2],une application
4» de la sphère
sur
dans E. Pour cela, on représentera topologiquement les deux hémi sphères de
par des applications tL t~ et on posera :
des
sur un
sur
Soit
la classe
a ~03C0p+q(E)
que des classes
1) a (03C6o, 03C6) =
2)
3)
ch)
4) Etant
avee 03C6o
de
0
si
t
03C6o
Qp+q-1
et
et
03C6o
est
cette
homotope à 03C6
les
ne
dépend
propriétés suivantes :
module
une
coincidant
de
application ~S~
a.
et 03C6 étanc choisis, à chaque classe d’homotopie
dans E
r/J). Elle
application
et on a
il existe
a f
telle que
élément
[03C6]
d’une
application 03C6
correspondance
biunivoque.
la
Soit
classe
de
c~l
.
prolongement
c~~
cbo
f ~~ ~ ~~~.
chaque application cb correspond maintenant de façon biunivoque un élément a~ de
correspond
Gardons le même
A
de
cP module
de
seulement si
et
l’autre.
~Q ~
=
donnés 4>0
sur
Donc
d’homotopie
d’homotopie
hémisphères,
représenté
[2]
un
et prenons
par
a
f
et cette
est
un autre
et
la relation 2) donne : a~ - a~
+
a.
Annals of Math. (2) 41. 1940, p. 231-251, cf. § 8 (Eilenberg suppose que E est simple,
inutile ici d’après les conditions de liaison imposées aux applications 03C6).
est
ce
qui
8
J. FELDBAU
Donc,
cho
étant
fixé, la correspondance biunivoque
(se réduisent
lation
sur
près de
Supposons
et
entre
les classes des
les éléments de
applicationsø
n’est définie qu’à
une trans-
7t.
maintenant choisie
C E représentant
application
la
prolongement de correspond un prolongement 03A61 de Ø1, homotope
module
(car ~ et ~1 sont homotopes ).
La correspondance biunivoque entre classes [1>] et éléments a f.
’~~+~E~, définie
même
au
au moyen du couple
la
celle
du
définie
que
couple
moyen
~1, ~3 est alors
~o’
module
les
et
et
applications f~, ~
puisque, rPo
c~~ étant homotopes
f(~ . «1>J
de
sont
dans E
homotopes.
dans E
des
classes d’homotopie des applications de
L’ensemble
autre
une
classe cod. Au
module
satisfaisant
X
d’homotopie
des
applications de Sp
ainsi muni d’une
est
aux
X
conditions (7) (ou encore, l’ensemble des classes
S q dans E module
que l’on peut étudier pour
structure
qui lui est équipotent),
elle-même, à savoir une structure
(non topologique) d’ensemble
3. Ensembles fibrés. - Hypergroupes fibrés. Soit 5
une
relation
de
d’équivalence
==6/p
p. Soit B
un
l’ensemble
lequel est définie
quotien t, p la projection canonique
ensemble dans
B.
sur
(x E B) soient équipotents àun ensemble F.
Supposons que tous les ensembles De façon plus précise, soit G un groupe de permutations de F. A chaque x f. B, faisons
correspondre une famille L d’applications biunivoques de x sur F, telle que
si lx, l’x ~
l-1x~ G. Soit L =
Lx, on ait l’x
{Lx}.
On dira que
G
est
E
est
groupe de
appelé
muni d’une
fibrée de
symbole 0152:( B, F, G, L ).
structure.
a) Soit
CAS PARTICULIERS.
structure
homogène correspondant. @
est
un
groupe, F
fibre par F
sur
un
sous-groupe
B
et
l’espace
=
B. Le groupe de structure est
un
des
groupes de translations de F.
b) Supposons que
B
est un
groupe. On peut alors définir
dans 5
une
loi de
composi-
tion
plurivoque qui en fait un hypergroupe.
Rappelons qu’on appelle hypergroupe un ensemble
de composition plurivoque qui associe à tout couple a, b
de H, noté a b,
De
plus,
bilatères
et
si
tout
?,
et
on
H d’éléments où
d’éléments de H
est
un
définie une loii
sous-ensemble
vérifiant les axiomes
l’hypergroupe est régulier s’il possède des
a l a e
a f ça,
pour tout
qu’on ait
dit que
c’est-à-dire
élément a
a
des inverses
bilatères a-1 tels
éléments unités
que
pour
tout
élément unité.
9
LOI DE COMPOSITION ENTRE GROUPES D’HOMOTOPIE
Soit alors p l’application canonique de @
On vérifie aisément que, muni de
On
aisément que, muni de
biunivoque,
est
p
constate
et
élément unité
son
cette
alors §
et
si F
est un
composition, 6
loi de
cette
B. Posons :
sur
groupe
hypergroupe régulier.
n’est
loi de
composition, §
isomorphe à B, ou encore
groupe ; alors @
est un
est un
est un
groupe
étudié
l’ensemble
groupe que si
si B
se
réduit à
isomorphe
à F [3].
si> x sq
DANS E.
APPLICATION AUX CLASSES D’HOMOTOPIE DES APPLICATIONS DE
On peut maintenant caractériser entièrement
un
au
n°2. C’est
un
ensemble fihté, la base étant le sous-ensemble B du produit direct
03C0p (E) 03C0 (E),
Q). La fibre est le groupe
formé des éléments c, d orthogonaux (cod
=
Le groupe de structure est le
4. Cas
1)
particuliers
et
groupe des translations de
exemples.
groupe
CAS PARTICULIERS.
autrement dit
~4.., ?f~~ = 0,
ce
quels
B coincide avec le groupe 03C0p 03C0q
6
est
dans
ce cas un
éléments c, d
qui
hypergroupe.
sont
A
Soient deux classes
q)
application
classes d’homotopie.
d’invariants c, d
composition plurivoque dans 6
.
toute
des invariants de
associe à
et
~~ ~
d E
que soient C f
[4>’]
C E
correspondent
les
d’invariants c’, d’. La loi de
l’ensemble des classes d’invariants
Il suffit
correspondance biunivoque
d’en construire une application ,/1 particulière et de lui adjoindre ensuite toutes les applidans E coincidantavec 03C8 sur Qp+q-1. Pour construire une application 03C8
cations de
particulière, il suffit de construire les applications f",(g~) de WP(W ~) dans E, représende les composer par la loi o, ce
tant respectivement les classes
7t et
dans E, et on prolongera ensuite ~~ à
d’où ’~.
qui donne une application ~ de
c
+
c’, d
’
+ d’. Cet ensemble
2)
0.
Dans
est en
ce cas
couple (c, d)
la fibre
est
d’éléments
entièrement la classe
3)
de
composition
5
est
GENERALISATION. CAS
03C4r.
c’est-à-dire que
condition
[3]Si
on
est
vérifiée
suppose de
au
entre
le
cas
que le
de ~.
plus important. Dans ce
est univoque.
cas, la loi
définie dans le cas p
Supposons que
quels que soient
autres,
point, c’est-à-dire
groupe isomorpbe à 03C0p 03C0q.
1°~ si E
plus que F est aussi
à celle du produit direct B
n° 5 (groupe de Kerekjarto).
isomorphe
aussi
c o d - 0
un
orthogonaux ( c o d = Q ~ caractérise
d’homotopie
C’est le
n: . ,fE) == ~ ~E~ = 0
réduite à
03C0p(E)
on
soient
orthogonaux,
1
Cette
est un
un F.groupe,
Ceci
et
espace de
Hopf,
peut définir dans E une structure de groupe,
expliqué sur le cas particulier du n° 4 et
sera
10
J.FELDBAU
Dans
cas,
ce
on
peut définir
isomorphe à
une
structure
de groupe dans
qui
(7).
conditions
Il lui
Soit ~
posé, soit 4Y
A
d’abord
correspond
élément de
un
à
à 03A6
et
sens
d’Eilenberg.
de 03C0p+q
,
bien
(7).
les
de 03C0p 03C0q. Désignons par
x
Niais 03C6
x
sont
CE
homotope
peut composer 4Y
03A603B1; donc
dans
(~a,~ ~ (application
au
que
on
d’homotopie de
déterminé et qui ne dépend
La classe
71 ~
E)
que des classes module
est un
X
Qq-1
et 1>.
de
Donc à
toute
x
x
nI’
.
[cI>],
correspondre un élément (a, À ) où ( c, d, ~l ) de
cette correspondance (elle dépend naturellement de ~).
(a, ~ ~ un tel élément. D’après Eilenberg, il existe toujours une
classe
Soit T
Réciproquement, soit
application $ de Wp+q
on
fait
a
dans E telle que
sa
coïncide
restriction à
avec ~
et
Dans la correspondance T,
précisément l’élément À de
cette application $ correspondra précisément l’élément (a, ~).
Enfin la correspondance T est biunivoque. Supposons que 03A6 et $’ correspondent au
que
à
03C603B1
ayant même restriction à
élément À
(c, d)
E satisfaisant à
homotopes module
Il existe donc une application
et
pfolongeable
a
=
x
’~~
dans E satisfaisant
Wp+q dans
de
application quelconque
une
tout a f.
[&-] .
la famille des classes
restrictions de
est
groupe
un
7T ~+ ~
=
Cela
fasse
.
fc, d) des éléments de
Désignons en effet par a
71, ~
faisons correspondre une fois pour toutes une application ~~ de
aux
en
(:~~ ~ ~
définisse
même élément (a , À ). On
donc
a
n~ 2, ~ ~ tl>, ~’) ] = 0,
et, d’après la propriété 1 : cI> et cpt sont homotopes module ~ ~+~’1.
Ainsi on a établi une correspondance biunivoque T de 6 sur
ce qu’il fallait démontrer.
Donc, d’après la propriété 2
du
Nous allons étudier des
E
est un
exemples
où la condition
sera
r
n~
vérifiée,
x
n
x
,
c’est-à-dire où
groupe.
de Sp
Rappelons que 6 désigne toujours l’ensemble des classes d’homotopie liées
sq dans E, c’est-à-dire où les applications cP sont assujetties à vérifier cons-
tamment
la relation
EXEMPLES.
(Le problème
au
point
de
vue
se
de la
pose de savoir
puissance
jusqu’à quel point
de l’ensemble
cette
est
On
est encore
ec
dans le
est
cas
p
et
dans le cas
est une
restriction
6 ).
PREMIER GROUPE D’EXEMPLES : E EST LA SPHERE
On
condition
est
-r
Sn.
un
seul élément.
S~
est un
cyclique
infini.
réduit à
(dt ailleurs
isomorphe à Z, groupe
espace de
groupe)
11
LOI DE COMPOSITION ENTRE GROUPES D’HOMOTOPIE
I ~ ~
isomorphe au produit direct Z X z.
Ainsi, les applications (liées) de S~’ X Sq dans ~~ sont inessentielles (p, q ~ 1 J.
S1 dans S1 forment un groupe cyclique infini Z (p >1).
Les applications liées de Sp
z.
Les applications (liées) du tore S1 X S1 dans la circonférence Si forment un groupe Z
Dans ce qui suit, on suppose r~ > 1.
donc p n, q n. On est dans le cas 03C4 et = 0.
p+q n,
Les applications liéesdeSp Sq dans Sn sont inessentielles si p + q n.
Si
rt
p
+ q
= ~
=
=
q
=
est
donc p
n,
n ,
isomorphe
q
n , p
+
q - 1
On
n.
est
dans le cas 03C4 et
est
à Z.
préciser : dans ce cas, S~ X S~ et S~‘ sont des variétés de même dimension et
toute application de sP X S q dans Sn a un degré topologique & . Montrons [4] que :
il existe des applications de Sp X s q dans
de degré quelconque et le degré caractérise entièrement la classe d’bomotopie.
En effet, soit 4> une application de
dans
constante surla frontière
de
et de degré 03B4. On a donc une homologie :
On peut
tion
la
projection canonique de
dans
correspondante de s’
Soit ~
sur
On
S~ X sq (no 1)
a : ~
~*~ ~ ~ ~ ,
et
p. Mais
=
X
prendre toutes les valeurs.
ont même degré, les applications
Dt autre part, si deux applications
dantes c~, cPl ont aussi même degré, donc sont homotopes, et il en est de même
ce qu’il fallait démontrer.
ce
qui
n
montre
que 5
peut
L’un
2n,
p + q
au
moins des nombres p, q
est
r~ , donc K ~( S’~~ _ ~
Soit q
0152 est isomorpbe au produit direct
Etudions des
S~, donc
cas
correspon..
de
n .
.
On
est
encore
dans le
cas
p.
Sn ).
03C0p (
particuliers.
Voir ci-dessous.
Anticipant
Soient
Donc si
Si
1’1
n
est
est
impair,
lasuite
(chap.III),
d , deux éléments
et
on est
Si n
est
Si n
est
dans le
+
fc, 0)
=
(c, ~
et
admettons les résultats suivants
de 03C0n
impair,
pair, co ùf
on a
cas t
pair, l’ensemble des couples
(par exemple, fo, ~J’
[4]
c
sur
c,
et
=
c o d
o
6 = Z
quels
est équivalent
X
=
Z
o
que soient
à
c
=
en
d, orthogonaux, ne forme plus
o si
c ~ o et d#.o).
o ou
c,
d.
~=o.
particulier
un
groupe
Ce résultat est aussi une conséquence du théorème suivant de HOPF (sous la forme que lui a
donnée Whitney) : il y a une correspondance biunivoque entre les classes d’application d’ un complexe Kn à n dimensions dans une sphère Sn et les élément s du groupe de cohomologie d’ordre n de Kn.
J. FELDBAU
12
Donc si
impair.
est
n
dans le
on est
Z
cas 03C4 et = Z
03C02n(Sn);
en
particulier,
~=q=n=~, ~_~~~ (cf. plus haut).
Si n
est
( Par
On
pair. l’ensemble des couples c, d, orthogonaux,
af) + fc, o ) _ ~ c, d ) et c o d ~ o si c ~= o
dans le
est
Tout
cas .
ce
qu’on peut dire
est
qu’à
toute
ne
et
forme
plus
un
groupe.
d # o).
classe liée
d’applications
correspond
couple (c, o) ou (0, d~, c’est-à-dire en somme un
nombre entier. lnversement, à tout couple (c, o) ou (0, d) correspondent autant de classes
sur
qu’il y
un
(S2k)
d’éléments dans
a
si k
(deux,
1).
=
DEUXIEME GROUPE D’EXEMPLES: E EST UN PRODUIT
Supposons,
pour fixer les
Relativement
au cas
idées, p )
général
où E
m >
q,
est un
les remarques suivantes :
C
TOPOLOGIQUE
Sm x S°
n .
produit topologique
Ei
DE SPHERE
X
E2 satisfaisant
E2 ,
aux
on
peut faire
conditions (7).
Elle définit deux éléments,
c’ est-à-dire
On voit alors que
Supposons
~
+
q ~
(8)
alors :
Donc ~, q ~
n.
Donc les
p +
q
=
n ~
~n .
Etudions des
p
=
m
=
n,
q
=
applications de
Alors ~, q
cas
group e réduit à 0.
S’~
S’~ X S9 dans
n ~ m. On est dans le
cas
sont
p.
inessentielles si p + q m,no
est un
groupe
isomorphe
à
particuliers.
1, n > 2.
derniers,
e s t un
m,
à
Les deux
premiers
Z, donc
troisième à Z, le
quatrième
est
nul :
groupes
sont
isomorphes
à
22, les deux
13
LOI DE COMPOSITION ENTRE GROUPES D’HOMOTOPIE
Etudions enfin le cas p = q
Sn
gique
On
est
Si n
sur
est
produit topolo-
=
les classes
X
Z X Z
n’est
plus
un
Rappelons
E
=
groupe. On peut
lui-même
et
1
R
Si
X
lui-même
sur
=
dire
encore
correspond
qu’à
forment
un
2,
=
correspond
un
obligatoirement
a
nul.
4.
puissance
pour
à k dimensions
projectif complexe
espace
classe lï~e
ensemble de classes
dernier ensemble
ce
toute
ensemble de quatre entiers
un
l’un des deux derniers étant
tels nombres
Ainsi, si n
X t~2n(S’~).
Sl
tore
Z.
X
sn dans
d’applications 03C6 de sn
(a, ~, y, ~), l’un des deux premiers
Inversement, à chaque quadruple de
TROISIEME EXEMPLE.
du
d’applications
X
complexes.
que
Les classes
En
du
amené à
est
n
applications
distinguer deux cas, en tenant compte de la relation (8).
0 et on est dans le cas ~.
impair, on a toujours ( c, ~’~ o ~ d, d’)
~ est un groupe, produit direct de six groupes.
encore
groupe isomorphe à Z
Si
~2 = ~, c~ est-à-dire les
lui-même.
particulier,
En
=
liées d’applications
particulier,
si k = 1 ,
d’applications
libre. On a 03C0n(Pk)
Pi forment
les
applications
degrés topologiques.
on retrouve
leurs caractérisations par les
Les classes liées
d’un tore dans
cyclique
Supposons p > 2, ~ > 2, P’ + ~
=
de
S2
si
2
o
S1 dans
X
du
un
groupe
tore sur
Pk (k
la
cyclique libre.
sph ère S 2
1) forment
>
urt
et
groupe
2k + 1, (k > 1).
n
et
application de Sp X Sq dans Pk telle
inessentielle. ( En particulier si p
q = k > 2)
Soit P 2, q 2, k > I. Alors
/R) o. On
Toute
~+c ~ ~’
"
2 q > 2, p
1
21e + 1
+ q
est
=
=
==
=
QUATRIEME EXEMPLE, Applications d‘un
Pour
un
tel espace
La condition t
dans E
car
ici
on a
co d
donc vérifiée
et
tore
dans
cdc d
l’ensemble
5 ==
isomorphe au groupe
il y a quatre classes d’applications d’un
est
Ainsi
est
(S,
=
est
dans le
cas
’t
et
=
Z
X
Z,
etc.
espace E à groupe fondamental abélien.
quels que soient c,
un
= o
des classes d’ applications liées du
tore
dans le groupe
ortbogonal 03A9n+1
tore
(n > 1)
14
J. FELDBAU
III. APPLICATIONS DE
Mous
nous
bornerons à
DANS Sn.
la théorie
précédente
Hopf, Freudenthal, Eilenberg.
montrer comment
permet de
retrouver et
préciser certains résultats de
L Historique.
dans sn, un invariant d’homotopiey
a) Hopf [5 ] a défini pour les applications de
(coefficient d’enlacement de deux cycles inverses) ; mais on ne sait pas si cet invariant
caractérise entièrement la classe, autrement dit : pour que deux applications soient homotopes, il faut qu’elles aient même invariant y. On sait seulement que cette condition est
suffisante pour n = 2 ( Pontrjagin (~~ }.
Relativement à cet invariant, Hopf a démontré les résultats suivants :
1° Si n est impair, y est toujours nul et l’on ne sait pas s’il existe des applications
de
essentielles de
S~~’1
sur
S’~
correspondant aux valeurs paires de y.
1.
3° Dans les trois cas n
2, 4, 8, il existe des applications d’invariant y
Freudenthal [7] a généralisé ceci en montrant qu’il existe des applications d’invariant
y = 1 pour toutes les valeurs paires de n.
2~
Si
n
est
pair,
il existe
une
infinité de classes
=
=
b) Comme Hopf l’a montré, le problème précédent
est en
relation intime
avec
le suivant :
d’homologie des applications du produit topologique Sr1 Sr2 dans S’
Le type d’homologie d’une telle application est caractérisé par un couple d’entiers
C2)
étudier les types
que
nous
pouvons considérer
comme
des éléments de
dans sE
Hopf a montré (loc. cit. [5]) que s’il existe une application de ,Sr1 Sr2
de type (Cl, C2 ), il existe aussi une application de 52r+I dans Sr+1 d’invariant y = C1 C2 Donc :
1°) Si r est pair, les seuls types possibles sont les types triviaux (C, 0) et (O, C), et
ceux-ci existent effectivement, ce qui est évident.
2°) Si r est impair, Hopf a montré l’existence du type (1, 2), ce qui entraîne immédiatement le résultat a) 20 plus haut.
3°) Dans le cas r = 1, 3, 7, il existe des types quelconques, donc aussi le type (l, 1j
Ce résultat semble indiquer une influence de la parallélisabilité de S’; mais Eilenberg (8)
[5]
[6]
[7]
Fundamenta Mathematicae 25 (1935), p. 427 - 440.
C. R. AC. SC. URSS.,
t. XIX (3), (1938) p. 147-149.
Indigationes machematical 1. (1939), p.23 - 24 ou Proceed. Akad. Wetenschapen
(1939), p. 139 - 140.
te
Amsterdam XIII
15
LOI DE COMPOSITION ENTRE GROUPES D’HOMOTOPIE
a
montré que pour
toutes
les valeurs
impaires
de
d’ailleurs le résultat de Freudenthal mentionné
La théorie
combinatoire
d’Eilenberg
le type (1, 1 ) existait. Ce qui entraine
r,
plus
haut.
semble introduire des notions
d’homologie
et
de
topologie
sujet. Aussi peut-il sembler intéressant de démontrer,
comme application de la théorie générale exposée au Chap. ~I, le résultat suivant, intermédiaire (éventuellement) entre le résultat particulier (3°) de 1-Iopf, et le résultat général
d’ Eilenberg.
THEOREME A. Si Sr est parallélisable, il existe des applications de
de type quelconque. Voir la démonstration plus loin.
En ce qui concerne les applications de
il est naturel de se demander
dans
si on peut toutes les engendrer en composant, par la loi o, deux applications de Sn dans S’~.
Je ne connais pas la réponse à cette question, mais on peut donner quelques résultats se
rapprochant de ceux de Hopf dans cet ordre d’idées. C’est l’objet du paragraphe suivant.
assez
étrangères
au
2.
par l’opération o. Une classe d’homotopie d’une
Composition d’éléments
application de Sn sur S" est caractérisée par son degré c. Nous désignerons par C l’élément
Z. En vertu de la distributivité de la loi de composition,
correspondant de 03C0n (Sn)
=
on
peut écrire
La loi de commutation donne d’ autre part,
donc,
si
Or
n
est
d’après
le
dan s S~‘ de type
Chap. II,
équivaut
au
on
peut dire que pour
(C1J c~~, il faut
1
Dtoù : il existe des
Il semble
(1)
impair,
plus
il
et
applications
suffit
qu’il
existe
que
de type (2, 1) pour
une
application de
S~
X
0.
=
n
impair (cf. Hopf, § 1, b) 2°}
difficile de démontrer directement que 1 o 1 = 0 pour n
résultat
Nous admettrons donc
d’Eilenberg.
ce
impair, ce qui
d’après Eilenberg :
résultat
(2)
Si
est
n
Donc, si
On
t
S~’~’I
n
en
pair, on sait (~1, b, ~° ~ que les seuls types possibles
est pair et si
0.
0, ~’~ ~ ~ , on a
déduit
que 101
0
et
qu’il
dans Sn de la forme ~’~
existe
et
une
infinité de classes
que les relations
ci c~ sont équivalentes.
D’ailleurs, l’ensemble des applications de ~~~’~
ci C2
un
(~, c)
et
~c, ~~.
d’applications
C2 =
de
et
=
groupe
cyclique
3.
03C9x de Sn dans
de Sn dans J~".
je -*
dans ~~ de la forme
forme
infini.
du
application
application
[8]
sont
A.
Soit A
An+1
correspond
le groupe des rotations de ~~, ~
une
projection x ~ 03C9x (xo)
Annals of Math. (2) 41, 1940, p. 662 - 673, cité dans Math. Review 2,
n°
qui
3, Mars 1941.
toute
est une
16
J.FELDBAU
Soit
Z~
obtenues
le groupe des nombres entiers
projections
comme
N
D’autre part, soit
C’est
un
sont
degrés d’applications de Sn
dl applications de ~" dans
An+ 1.
~,
l’annulateur de 1 pour la loi
10 03B4
entiers 8 tels que
qui
=
On
a
dans
5~,
les résultats suivants
c’est-à-dire r ensemble des
0.
groupe. Le théorème A résultera alors de la relation
(3)
qui entraîne
que, pour S~‘
Démontrons donc (3). Il faut
Bi, B~,
Soientdeux boules
21~
parallélisable,
montrer
que d
de frontières
Z, donc 2
=
Z
f
~~
et
o
1 = ~ .
entraîne d o ~ = 0,
~2 ,
etune
sphère S’~ pointée
soit 8.
en
Zp.
le groupe des rotations de ~.
Soit
hypothèse, il existeune application x ~ 03C9x (x ~ Bn1, 03C9x ~ An+1
si x 6 S1 ‘~ ~ telle que l’ application de jB" dans 5’~
soit de degré d.
Par
D’autre part, supposons donnée
Alors d o 8
Mais
ce
quel que
qui
montre
est
y)
application
de
donnée par
~2
03C9x=I (identité)
=
x -~
dans Sn de
degré 8,
définie par F application
est
prolongeable
à
Br x I~~ ;
il suffit de
poser ~ (x, y) = t~~ [g(y)]
C. Q. F, D.
~ o ~ = 0.
que
REMARQUE. Les résultats n°2
permettent de donner
une
et
N
(qui
font intervenir les résultats de
explicitement :
~~
~~ =
=
0
si
rt
est
Z
si n
est
pair,
impair.
Hopf
et
d’Eilenberg)
17
LOI DE COMPOSITION ENTRE GROUPES D’HOMOTOPIE
IV. GROUPES DE KEREKJARTO.
application de ~’~ dans ~", appliquant
et soit Li.. l’élément correspondant
sur
Considérons les sous-ensembles
de !? formés par les classes liées d’applications de
dans ~ dont les
traces sont les couples (c, do) où do est fixe, et où c parcourt l’annulateur
de do
Les applications considérées satisfont donc aux conditions (1) où g(y) doit
dans
7t.
être remplacée par l’application fixe & (y). Grâce à cette restriction, on peut définir le
comme étant l’application rh donnée par
produit de deux applications
Considérons
une
.
Ce
liées,
produit
compatible
est
fait par
et
conséquent
Kerekjarto [9]. Ce groupe
L’application qui à un
de
sa trace
morphisme
(c,
est
do )
un
avec
est
de
la
répartition des applications en classes d’homotopie
k ( do) un groupe, que nous appellerons groupe de
abélien pour p > ~ .
élément de
fait
correspondre
la
première
Le noyau
homomorphisme de k (do)
à
isomorphe 71:ce qui donne l’isomorphisme
est un
groupe
c
composante
de
cet
homo-
Ses éléments peuvent être considérés comme
particulier le
les classes module (xo yQ) des applications de SP X S9 dans E qui appliquent le
« méridien)) fixe
xo X Sq sur le point z de E. On a dans ce cas l’ isomorphi sme
Considérons
en
Dans le cas p > I ,
peut
on
préciser,
en
montrant
est un
que
produit direct :
s’appuie sur l’énoncé général que voici : Soit G un groupe, 11 un sous-groupe
distingué de G, et B G/ H, le groupe quotient. On appelle centralisateur de ~’ dans G,
l’ensemble des éléments de G permutables avec chaque élément de ~l ; c’est un sous-groupe
Ce résultat
=
f
de G.
algébrique
Une section
est une
de G suivant H (ou système de
famille d’éléments
l’homorphisme canonique
Cela
posé,
représentants de B dans G)
de G (a parcourant B) telle que
de G
pour que G soit
B
applique ~~
produit direct de B par H,
sur
~a c~~ ~
et
..
il faut
et
il suffit
1°)
qu’il
2")
que cette section soit contenue dans le centralisateur de H dans G.
En
[9]
existe
une
particulier,
section
si G
est
La définition de ces groupes
( Introduction p. 11-14 ).
algébrique
abélien,
telle que
sur a .
de G suivant H.
la condition 2°)
(pour p= q= 1)
a
est
superflue.
été esquissée par Kerekjarto dans
sa
topologie.
’