Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Vecteurs
algébriques

La description d’un vecteur par ses composantes dans un repère est
appelé vecteur algébrique et c’est sur cette représentation des vecteurs
que nous porterons maintenant notre attention. Dans cette étude, nous
considérerons des repères particuliers du plan cartésien et de l’espace
cartésien.
Introduction
L’étude des combinaisons linéaires de vecteurs géométriques nous a
permis de voir qu’il est possible, dans un repère donné, de caractériser
un vecteur par ses composantes.
Lorsque le repère est celui d’une droite, il suffit d’une composante
pour caractériser un vecteur de cette droite. Dans un plan de repère
connu, un vecteur du plan peut être caractérisé par un couple de
composantes. Pour caractériser un vecteur de l’espace, il faut trois
composantes.

On utilise un repère orthonormé dans la construction du plan
cartésien ou plan réel que l’on désigne également par R2.En fait, il y a
plusieurs repères orthonormés possibles, nous allons en privilégier
un.
Repère orthonormé
DÉFINITION
Repère orthonormé d’un plan
Un repère orthonormé d’un plan est un ensemble contenant un point
du plan et deux vecteurs de ce plan, unitaires et perpendiculaires
entre eux (orthogonaux).

Plan cartésien
DÉFINITION
Plan cartésien
Le plan cartésien (ou plan réel)est un plan
de repère orthonormé {O, ij,}, où
est vertical et orienté vers le haut.
i
horizontal et orienté vers la droite et
est
j
Tout vecteur du plan peut alors s’écrire
sous la forme :
v i
=v1j +v2ou sous la forme : v= (v1;v2).
En particulier :
i i= 1 j+ 0 = (1; 0) et j i= 0 j+ 1 = (0; 1)

Vecteur algébrique
DÉFINITION
Vecteur algébrique dans R2
Un vecteur algébrique de R2est un couple
(v1;v2). Il est représenté dans le plan
cartésien par un vecteur dont l’origine
coïncide avec l’origine du système d’axes
et dont l’extrémité est le point (v1;v2).
•un sens défini par l’angle qmesuré dans
le sens antihoraire à partir de la direc-
tion positive de l’axe horizontal.
SSS
Le vecteur algébrique de R2possède les
caractéristiques suivantes :
•une longueur appelée module, notée
et définie par
v
v=v12+v22
•une direction définie par l’angle aentre
la droite support du vecteur et la partie
positive de l’axe horizontal, où :
a= arctan v2
v1