Mathématiques Approfondies, L1 S2, 2009-2010

Mathématiques Approfondies, L1 S2, 2009-2010
Clotilde Fermanian Kammerer

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Ce document est inspiré des polys Suites et Séries de Fonction et Fonctions d’une
variable réelle de L1 Math-Info écrits par Marie-Odile Perrain

Chapitre 1
S’exprimer en mathématiques
Depuis le début du XXesiècle, l’utilisation du vocabulaire de la théorie des ensembles
a permis de clarifier, simplifier, unifier toutes les mathématiques. Depuis de nombreuses
années, ce vocabulaire s’est fixé et est devenu la langue universelle de celles et de ceux
qui font ou utilisent des mathématiques. Cependant, son usage excessif rend les énoncés
mathématiques difficiles à déchiffrer. Nous utiliserons donc ce langage avec modération,
chaque fois qu’il permet de préciser, de clarifier une notion ou de valider une démonstra-
tion mais sans jamais perdre de vue le sens des notions mathématiques manipulées.
1.1 Introduction
Pour établir une théorie mathématique, on dispose au départ d’un "domaine intuitif
de base". Ce sont les "termes primitifs" qui sont donnés et les "propositions primitives"
que l’on déclare vraies a priori appelées axiomes.
Dans le cadre d’une théorie mathématique donnée, une assertion est un énoncé (en gé-
néral une phrase mathématique) susceptible de prendre l’une ou l’autre des deux valeurs
logiques, le vrai (V en abrégé) ou le faux (F en abrégé).
La véracité d’une assertion qui n’est pas un axiome doit résulter d’une démonstration.
Les assertions démontrées sont appelées propositions. Un théorème est une proposi-
tion importante. Un lemme est un résultat préalable utile à une démonstration plus
conséquente. Un corollaire est une assertion vraie qui découle rapidement d’un résultat
précédent. Certaines propositions sont appelées propriétés.
Les démonstrations sont effectuées à l’aide des règles de la logique.
Une théorie mathématique se présente sous la forme d’une suite d’énoncés (définitions,
propositions) telle que toute définition soit donnée au moyen de "termes primitifs" ou
déjà définis et que toute proposition soit démontrée à l’aide d’axiomes ou de propositions
déjà établies. Les définitions, les propositions et leurs démonstrations sont énoncées avec
les mots d’une langue (le grec pour Euclide, le français pour nous) en leur laissant leur
acceptation courante si aucune confusion n’est à craindre, en précisant certains termes
dans le cas contraire.
Exemple : Le premier essai de constitution d’une théorie mathématique remonte à
Euclide (IVe- IIIesiècle avant J.C.). On le trouve dans l’ouvrage Axiomes d’Euclide.
Exemple d’axiome : Un point étant donné, on peut mener par ce point une et une seule
parallèle à une droite donnée.
Exemple de proposition : La somme des angles d’un triangle est égale à π. Pour démontrer
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4CHAPITRE 1. S’EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES
cette proposition, par c, on mène la parallèle à la droite (ab)(axiome) et on calcule la
somme des angles.
Nous allons dans ces deux premiers chapitres donner à l’aide du langage usuel une
description du vocabulaire, des symboles, des règles élémentaires de logique et de la théo-
rie des ensembles (sans chercher à fonder rigoureusement la théorie).
1.2 Notions de logique
À une assertion, on peut associer sa négation, à deux assertions, la disjonction, la
conjonction, l’implication, l’équivalence. Les valeurs logiques de ces assertions associées
dépendent des valeurs logiques des assertions de départ.
Définition 1.2.1. La négation d’une assertion Pse note non P. L’assertion non Pest
vraie si Pest fausse, fausse si Pest vraie.
La négation d’une assertion peut être schématisée par le tableau (1.1) appelé table de
vérité.Pnon P
V F
F V
(1.1)
Définition 1.2.2. Soient Pet Qdeux assertions. On appelle disjonction de ces deux
assertions l’assertion notée Pou Qqui est vraie si l’une au moins des deux assertions
est vraie, fausse si Pet Qsont simultanément fausses.
On a la table de vérité suivante :
P Q P ou Q
V V V
V F V
F V V
F F F
(1.2)
Définition 1.2.3. Soient Pet Qdeux assertions. On appelle conjonction et on note
Pet Ql’assertion qui est vraie si Pet Qsont vraies et fausse sinon.
Sa table de vérité est donnée par
P Q P et Q
V V V
V F F
F V F
F F F
(1.3)
Définition 1.2.4. Soient Pet Qdeux assertions. L’assertion (non P)ou Qs’appelle
implication, se note P⇒Qet s’énonce "Pimplique Q" ou encore "Pentraîne Q".

1.2. NOTIONS DE LOGIQUE 5
On dit également :
– "pour que Q, il suffit que P"
– "pour que P, il faut que Q"
– "si P, alors Q"
– "Pest une condition suffisante pour Q"
– "Qest une condition nécessaire de P"
Dans l’implication P⇒Q,Ps’appelle l’hypothèse, Qla conclusion. L’implication Q⇒P
s’appelle la réciproque de l’implication P⇒Q.
Etablissons sa table de vérité.
P Q non P P ⇒Q
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
(1.4)
On remarque que l’assertion P⇒Qest fausse quand Pest vraie et Qfausse, vraie dans
les autres cas. On remarque aussi que l’on a
((P⇒Q)et (Q⇒R)) ⇒(P⇒R)
Définition 1.2.5. Soient Pet Qdeux assertions. L’assertion (P⇒Q)et (Q⇒P)
s’appelle équivalence et se note P⇐⇒ Q. On dit que Pet Qsont équivalentes.
On énonce :
– "pour que P, il faut et il suffit que Q"
– "Pest une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour Q"
–Psi et seulement si Q".
Etablissons sa table de vérité.
P Q P ⇒Q Q ⇒P P ⇔Q
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
(1.5)
L’assertion P⇔Qest vraie si Pet Qsont simultanément vraies ou simultanément
fausses, fausse dans les autres cas.
Quelques équivalences classiques
Soient P,Qet Rtrois assertions. On a :
non (Pou Q)⇔(non P)et (non Q)
non (Pet Q)⇔(non P)ou (non Q)
Pou (Qet R)⇔(Pou Q)et (Pou R)
Pet (Qou R)⇔(Pet Q)ou (Pet R)
Les deux premières équivalences sont connues sous le nom de Règles de Morgan. Les
deux dernières équivalences traduisent la distributivité de la disjonction et la conjonction
l’une par rapport à l’autre. L’équivalence (P⇒Q)⇔(non Q⇒non P)joue également
un rôle important dans le raisonnement mathématique. L’implication (non Q⇒non P)
est appelée la contraposée de l’implication P⇒Q.