Mathématiques Approfondies, L1 S2, 2009-2010

Mathématiques Approfondies, L1 S2, 2009-2010
Clotilde Fermanian Kammerer
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Ce document est inspiré des polys Suites et Séries de Fonction et Fonctions d’une
variable réelle de L1 Math-Info écrits par Marie-Odile Perrain
Chapitre 1
S’exprimer en mathématiques
Depuis le début du XXe siècle, l’utilisation du vocabulaire de la théorie des ensembles
a permis de clarifier, simplifier, unifier toutes les mathématiques. Depuis de nombreuses
années, ce vocabulaire s’est fixé et est devenu la langue universelle de celles et de ceux
qui font ou utilisent des mathématiques. Cependant, son usage excessif rend les énoncés
mathématiques difficiles à déchiffrer. Nous utiliserons donc ce langage avec modération,
chaque fois qu’il permet de préciser, de clarifier une notion ou de valider une démonstration mais sans jamais perdre de vue le sens des notions mathématiques manipulées.
1.1
Introduction
Pour établir une théorie mathématique, on dispose au départ d’un "domaine intuitif
de base". Ce sont les "termes primitifs" qui sont donnés et les "propositions primitives"
que l’on déclare vraies a priori appelées axiomes.
Dans le cadre d’une théorie mathématique donnée, une assertion est un énoncé (en général une phrase mathématique) susceptible de prendre l’une ou l’autre des deux valeurs
logiques, le vrai (V en abrégé) ou le faux (F en abrégé).
La véracité d’une assertion qui n’est pas un axiome doit résulter d’une démonstration.
Les assertions démontrées sont appelées propositions. Un théorème est une proposition importante. Un lemme est un résultat préalable utile à une démonstration plus
conséquente. Un corollaire est une assertion vraie qui découle rapidement d’un résultat
précédent. Certaines propositions sont appelées propriétés.
Les démonstrations sont effectuées à l’aide des règles de la logique.
Une théorie mathématique se présente sous la forme d’une suite d’énoncés (définitions,
propositions) telle que toute définition soit donnée au moyen de "termes primitifs" ou
déjà définis et que toute proposition soit démontrée à l’aide d’axiomes ou de propositions
déjà établies. Les définitions, les propositions et leurs démonstrations sont énoncées avec
les mots d’une langue (le grec pour Euclide, le français pour nous) en leur laissant leur
acceptation courante si aucune confusion n’est à craindre, en précisant certains termes
dans le cas contraire.
Exemple : Le premier essai de constitution d’une théorie mathématique remonte à
Euclide (IVe - IIIe siècle avant J.C.). On le trouve dans l’ouvrage Axiomes d’Euclide.
Exemple d’axiome : Un point étant donné, on peut mener par ce point une et une seule
parallèle à une droite donnée.
Exemple de proposition : La somme des angles d’un triangle est égale à π. Pour démontrer
3
4
CHAPITRE 1. S’EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES
cette proposition, par c, on mène la parallèle à la droite (ab) (axiome) et on calcule la
somme des angles.
Nous allons dans ces deux premiers chapitres donner à l’aide du langage usuel une
description du vocabulaire, des symboles, des règles élémentaires de logique et de la théorie des ensembles (sans chercher à fonder rigoureusement la théorie).
1.2
Notions de logique
À une assertion, on peut associer sa négation, à deux assertions, la disjonction, la
conjonction, l’implication, l’équivalence. Les valeurs logiques de ces assertions associées
dépendent des valeurs logiques des assertions de départ.
Définition 1.2.1. La négation d’une assertion P se note non P . L’assertion non P est
vraie si P est fausse, fausse si P est vraie.
La négation d’une assertion peut être schématisée par le tableau (1.1) appelé table de
vérité.
P non P
(1.1)
V
F
F
V
Définition 1.2.2. Soient P et Q deux assertions. On appelle disjonction de ces deux
assertions l’assertion notée P ou Q qui est vraie si l’une au moins des deux assertions
est vraie, fausse si P et Q sont simultanément fausses.
On a la table de vérité suivante :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ou Q
V
V
V
F
(1.2)
Définition 1.2.3. Soient P et Q deux assertions. On appelle conjonction et on note
P et Q l’assertion qui est vraie si P et Q sont vraies et fausse sinon.
Sa table de vérité est donnée par
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P et Q
V
F
F
F
(1.3)
Définition 1.2.4. Soient P et Q deux assertions. L’assertion (non P ) ou Q s’appelle
implication, se note P ⇒ Q et s’énonce "P implique Q" ou encore "P entraîne Q".
1.2. NOTIONS DE LOGIQUE
5
On dit également :
– "pour que Q, il suffit que P "
– "pour que P , il faut que Q"
– "si P , alors Q"
– "P est une condition suffisante pour Q"
– "Q est une condition nécessaire de P "
Dans l’implication P ⇒ Q, P s’appelle l’hypothèse, Q la conclusion. L’implication Q ⇒ P
s’appelle la réciproque de l’implication P ⇒ Q.
Etablissons sa table de vérité.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
non P
F
F
V
V
P ⇒Q
V
F
V
V
(1.4)
On remarque que l’assertion P ⇒ Q est fausse quand P est vraie et Q fausse, vraie dans
les autres cas. On remarque aussi que l’on a
((P ⇒ Q)et (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R)
Définition 1.2.5. Soient P et Q deux assertions. L’assertion (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P )
s’appelle équivalence et se note P ⇐⇒ Q. On dit que P et Q sont équivalentes.
On énonce :
– "pour que P , il faut et il suffit que Q"
– "P est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour Q"
– P si et seulement si Q".
Etablissons sa table de vérité.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ⇒Q
V
F
V
V
Q⇒P
V
V
F
V
P ⇔Q
V
F
F
V
(1.5)
L’assertion P ⇔ Q est vraie si P et Q sont simultanément vraies ou simultanément
fausses, fausse dans les autres cas.
Quelques équivalences classiques
Soient P , Q et R trois assertions. On a :
non (P ou Q) ⇔ (non P ) et (non Q)
non (P et Q) ⇔ (non P ) ou (non Q)
P ou (Q et R) ⇔ (P ou Q) et (P ou R)
P et (Q ou R) ⇔ (P et Q) ou (P et R)
Les deux premières équivalences sont connues sous le nom de Règles de Morgan. Les
deux dernières équivalences traduisent la distributivité de la disjonction et la conjonction
l’une par rapport à l’autre. L’équivalence (P ⇒ Q) ⇔ (non Q ⇒ non P ) joue également
un rôle important dans le raisonnement mathématique. L’implication ( non Q ⇒ non P )
est appelée la contraposée de l’implication P ⇒ Q.
6
CHAPITRE 1. S’EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES
1.3
Notion d’ensemble
Les notions d’ensemble, d’élément et d’appartenance sont des notions primitives. Elles
sont issues de la notion usuelle de collection. On ne peut pas considérer n’importe quelle
collection d’objets comme ensemble sous peine d’aboutir à des contradictions.
x ∈ E se lit "x est élément de E" ou "x appartient à E" ou "E contient x". La négation
de x ∈ E s’écrit x ∈
/ E et se lit "x n’est pas élément de E" ou "x n’appartient pas à E"
ou "E ne contient pas x".
On note en général un élément par une lettre minuscule (l’élément x) et un ensemble par
une lettre majuscule (l’ensemble E).
Certains ensembles sont définis de façon axiomatique (par exemple N) d’autres peuvent
être construits à partir de ceux-là à l’aide d’opérations convenables (par exemple Z, Q,
R, C, ...).
Il est commode de considérer comme ensemble un ensemble n’ayant aucun élément on
l’appelle l’ensemble vide et on le note ∅. Ainsi quel que soit x
– x ∈ ∅ est toujours fausse
– x∈
/ ∅ est toujours vraie.
Un ensemble peut être fini ou infini. S’il est fini, il peut être donné en extension i.e. par
la liste (non ordonnée) de ses éléments, a priori supposés distincts. Un ensemble formé
d’un seul élément est appelé singleton. S’il est infini (ou même fini), l’ensemble peut
être donné en compréhension i.e. par une ou des propriétés définissant ses éléments.
Exemples. R+ = {x ∈ R; x ≥ 0} est donné en compréhension. E = {0, 1, 3} est
donné en extension.
Définition 1.3.1. Deux ensembles E et F sont égaux s’ils sont constitués des mêmes
éléments, sinon ils sont dits distincts. On écrit respectivement E = F , E 6= F .
Remarque. On a {∅} =
6 ∅.
1.4
Quantificateurs
Les quantificateurs sont des symboles utilisés pour écrire des énoncés. Un phrase
quantifiée est une assertion mathématique contenant un ou des quantificateurs.
Le quantificateur universel ∀ se lit "pour tout" ou "quel que soit".
Le quantificateur existentiel ∃ se lit "il existe au moins un élément".
La notation ∃! signifie : il existe un et un seul.
La lettre affectée par un quantificateur est muette ; elle peut être remplacée par n’importe
quelle lettre.
La négation d’une phrase quantifiée se définit comme suit :
non(∀x ∈ E, P (x)) ⇔ (∃x ∈ E, non P (x))
non(∃x ∈ E, P (x)) ⇔ (∀x ∈ E, non P (x))
On utilise souvent : non(∀x ∈ E, P (x) ⇒ Q(x)) ⇔ (∃x ∈ E, P (x) et non Q(x))
Quantificateurs et disjonction - conjonction : On a
(∃x ∈ E, P (x) ou Q(x)) ⇔ (∃x ∈ E, P (x)) ou (∃x ∈ E, Q(x)).
Mais attention ! (∀x ∈ E, P (x) ou Q(x)) n’est pas équivalente à
(∀x ∈ E, P (x)) ou (∀x ∈ E, Q(x)).
1.5. LA DÉMONSTRATION EN MATHÉMATIQUES
1.5
1.5.1
7
La démonstration en mathématiques
La démonstration directe
La démonstration directe de H ⇒ C consiste à établir que C est vraie en partant de
H vraie. Pour cela, on dispose non seulement de H mais de tous les axiomes et de toutes
les propositions déjà établies.
Remarque. Une démonstration de "Pour tout x ∈ E, Q" est introduite par l’expression
"Soit x un élément de E" et se termine par "donc Q".
Une démonstration de P ⇒ Q est introduite par l’expression "Supposons P " et se termine
par "donc Q".
1.5.2
Démonstration par contraposée
La démonstration par contraposée s’appuie sur l’équivalence :
(P ⇒ Q) ⇔ (non Q ⇒ non P ).
Exemple. Soit n un entier naturel. Démontrons que si n2 est pair, alors n est pair.
Dans cet exemple, P est l’assertion "n2 est pair" et Q l’assertion "n est pair". non Q est
alors "n est impair". non P est alors "n2 est impair". Supposons non Q vraie, dans ce
cas, n = 2k + 1, k étant un entier et donc n2 = 4k 2 + 4k + 1 est impair.
1.5.3
Démonstration par l’absurde
La démonstration par l’absurde qu’une assertion P est vraie consiste à supposer que
P est fausse et à montrer que (non P ) ⇒ Q est vraie où Q une assertion fausse. Il en
résulte que P est vraie. En effet, comme ((non P ) ⇒ Q) ⇔ ((non Q) ⇒ P ), non Q étant
vraie il en résulte que P est vraie.
√
Exemple. Démontrons
que
2 est irrationnel.
√
√
Ici P est l’assertion " 2 est irrationnel". La négation de P est " 2 est rationnel".
Nous
√
la supposons vraie, il existe deux entiers naturels p et q avec q 6= 0 tels que 2 = pq . On
a p2 = 2q 2 .
En écrivant p = 2k p0 et q = 2` q 0 avec p0 et q 0 entiers impairs, on obtient l’égalité 22k p02 =
22`+1 q 02 . Après simplification, on obtient l’égalité entre un nombre pair et un nombre
impair ce qui est faux.
Ici Q est l’assertion "égalité entre un nombre pair et un nombre impair".
1.5.4
La démonstration à l’aide d’un contre-exemple
Cette démonstration repose sur l’équivalence :
non (∀x ∈ E, P (x)) ⇔ (∃x ∈ E, (non P (x))).
Exemple. L’assertion : "Pour tout entier n, n2 + 1 est multiple de 5" est fausse. En
effet si n = 1, n2 + 1 = 2 n’est pas multiple de 5.
8
1.5.5
CHAPITRE 1. S’EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES
La démonstration par récurrence
L’ensemble des entiers naturels est à la base du dénombrement. Naïvement c’est l’ensemble {0, 1, 2, 3, . . .}. Il est muni d’une relation d’ordre total notée ≤ ; cela signifie que,
si a, b et c sont trois entiers quelconques, on a
a ≤ a,
(a ≤ b et b ≤ a) ⇒ (a = b),
(a ≤ b et b ≤ c) ⇒ (a ≤ c),
et on a toujours a ≤ b ou b ≤ a. (La relation d’ordre sera abordée au chapitre 2).
De façon plus rigoureuse on peut démontrer que, à une bijection respectant l’ordre près,
il existe un unique ensemble noté N vérifiant les 4 axiomes suivants :
Axiome 1. L’ensemble N est totalement ordonné.
Axiome 2. Toute partie non vide de N a un plus petit élément.
Axiome 3. L’ensemble N n’a pas de plus grand élément.
Axiome 4. Tout élément de N distinct du plus petit élément de N possède un prédécesseur.
Rappelons qu’un prédécesseur de x est un entier y < x tel que pour tout z ∈ N tel que
y ≤ z ≤ x, on a z = x ou z = y. On le note x − 1 (On peut montrer en exercice qu’un
prédécesseur est unique).
Théorème 1.5.1 (de récurrence). Soit P (n) une propriété dépendant de n.
S’il existe un entier n0 tel que P (n0 ) est vraie et si pour tout entier n ≥ n0 , P (n) entraîne
P (n + 1) alors pour tout entier n ≥ n0 , P (n) est vraie.
Démonstration : Notons A = {n ∈ N; n ≥ n0 , P (n) fausse}.
Si A est non vide d’après l’axiome 2, A a un plus petit élément que nous noterons n1 .
On a donc n1 ≥ n0 et P (n1 ) faux. Comme par hypothèse P (n0 ) est vraie on a donc
n1 > n0 et n1 − 1 ≥ n0 . Mais n1 − 1 6∈ A signifie que P (n1 − 1) est vraie, ce qui contredit
l’implication P (n1 − 1) ⇒ P (n1 ).
En définitive, A = ∅ ; donc : ∀n ≥ n0 , P (n) est vraie. ♦
Chapitre 2
Ensembles - Relations - Applications
2.1
2.1.1
Ensembles
Inclusion
On définit la relation d’inclusion de la manière suivante :
Définition 2.1.1. Soient E et F deux ensembles. On dit que F est inclus dans E (ou
E contient F ) et on note F ⊂ E (ou E ⊃ F ) si tout élément de F appartient à E i.e.
∀x ∈ F, x ∈ E
On dit également que F est une partie ou un sous-ensemble de E.
Définition 2.1.2. Soit E un ensemble. Toutes les parties de E constituent un nouvel
ensemble noté P(E) que l’on nomme ensemble des parties de E.
Exemples. {1} ⊂ N, P({0, 1}) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}
Remarques. Soient E et P deux ensembles.
1.
A ∈ P(E)
⇔ A⊂E
{x} ∈ P(E) ⇔ x ∈ E
2. On note F 6⊂ E la négation de F ⊂ E i.e. ∃x ∈ F, x ∈
/ E.
3. On a : E = F ⇔ (E ⊂ F
et F ⊂ E)
4. Les propriétés suivantes, pour tous ensembles E, F , G sont immédiates : ∅ ⊂ E,
E ⊂ E, (G ⊂ F et F ⊂ E) ⇒ (G ⊂ E).
5. L’expression "E contient X" est ambiguë et dangereuse. Elle est utilisée lorsque X
est un élément de E et lorsque X est une partie de E.
2.1.2
Opérations dans P(E)
Définition 2.1.3. Soient E un ensemble, A et B deux parties de E. On définit les parties
suivantes de E :
CE A = {x ∈ E; x ∈
/ A}, complémentaire de A dans E
A ∪ B = {x ∈ E; x ∈ A ou x ∈ B}, réunion de A et B
A ∩ B = {x ∈ E; x ∈ A et x ∈ B}, intersection de A et B
A \ B = {x ∈ E; x ∈ A et x ∈
/ B}, différence A moins B
A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A), différence symétrique de A et B.
9
10
CHAPITRE 2. ENSEMBLES - RELATIONS - APPLICATIONS
Notations. S’il n’y a pas risque de confusion, on peut noter Ac au lieu de CE A.
On note N∗ = N \ {0}, Z∗ = Z \ {0}, Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0}, etc...
Définition 2.1.4. Soient E un ensemble, A et B deux parties de E. On dit que A et B
sont disjointes si A ∩ B = ∅.
Exemple. A et CE A sont disjointes.
A titre d’exercice on peut établir les propriétés suivantes pour toutes les parties A, B et
C d’un ensemble E.
– CE ∅ = E
CE E = ∅
CE (CE A) = A
– A∪∅=∅∪A=A
A∪A=A
A∪E =E
A∪B =A⇔B ⊂A
A∪B =B∪A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A∩∅=∅∩A=∅
A∩A=A
A∩E =A
A∩B =A⇔A⊂B
A∩B =B∩A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
– A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributivité de ∩ par rapport à ∪)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributivité de ∪ par rapport à ∩)
– Lois de Morgan
CE (A ∪ B) = CE A ∩ CE B
CE (A ∩ B) = CE A ∪ CE B
– CE A = E \ A
A\∅=A
A\B =∅⇔A⊂B
A \ B = A ∩ CE B = A \ A ∩ B
Définition 2.1.5. Soient E un ensemble, P une partie de P(E). On dit que P est une
partition de E si :
1. ∀A ∈ P, A 6= ∅.
2. ∀A ∈ P, ∀B ∈ P, (A 6= B ⇒ A ∩ B = ∅).
3. ∀x ∈ E, ∃A ∈ P, x ∈ A.
Exemples.
1. Pour tout ensemble non vide E, {E} et {{x}; x ∈ E} sont des partitions de E.
2. Pour tout ensemble E et pour toute partie A de E autre que ∅ et E, {A, CE A}
est une partition de E.
2.2
2.2.1
Relations
Généralités
Définition 2.2.1. Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E
et F l’ensemble noté E × F des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F :
E × F = {(x, y) ; x ∈ E et y ∈ F }
2.2. RELATIONS
11
Pour tout x, x0 ∈ E et y, y 0 ∈ F , on a l’équivalence :
(x, y) = (x0 , y 0 ) ⇔ (x = x0 et y = y 0 ).
Remarques.
1. L’ensemble E × E est également noté E 2 .
En pratique au lieu d’écrire ∀(x, y) ∈ E 2 on peut noter : ∀x, y ∈ E.
2. Par extension, soient n ∈ N∗ , E1 , . . . , En des ensembles. On appelle produit cartésien de E1 , . . . , En l’ensemble de tous les n-uplets (x1 , . . . , xn ) tels
Q que x1 ∈
E1 , . . . , xn ∈ En . Cet ensemble est noté E1 × · · · × En ou encore ni=1 Ei . Si
E1 = · · · = E, le produit cartésien est noté E n .
Définition 2.2.2. Soient E, F deux ensembles. On appelle relation de E vers F tout
triplet (E, F, Γ) où Γ est une partie de E × F . On note "xRy" au lieu de "(x, y) ∈ Γ".
Définition 2.2.3. Soit E un ensemble. Une relation de E vers E est appelée une relation
binaire sur E.
Exemple. La relation d’égalité a = b sur un ensemble E est une relation binaire sur E.
On a Γ = {(x, x); x ∈ E}.
Définition 2.2.4. Une relation binaire R sur un ensemble E est dite :
– Réflexive si : ∀x ∈ E, xRx,
– Symétrique si : ∀(x, y) ∈ E 2 , (xRy ⇒ yRx),
– Antisymétrique si : ∀(x, y) ∈ E 2 , ((xRy et yRx) ⇒ x = y),
– Transitive si : ∀(x, y, z) ∈ E 3 , ((xRy et yRz) ⇒ xRz).
Exemples.
– La relation d’égalité sur un ensemble E quelconque est réflexive, symétrique, antisymétrique et transitive.
– L’inclusion sur P(E) est réflexive, non symétrique, antisymétrique et transitive.
– Sur l’ensemble D des droites du plan affine, la relation "être parallèle" est réflexive,
symétrique, non antisymétrique et transitive.
2.2.2
Relation d’équivalence
Définition 2.2.5. Soit R une relation binaire sur un ensemble E. On dit que R est une
relation d’équivalence si R est réflexive, symétrique et transitive.
Exemple. La relation d’égalité sur un ensemble E quelconque est une relation d’équivalence.
Définition 2.2.6. Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E.
Pour tout x ∈ E, on appelle classe d’équivalence de x modulo R le sous ensemble
de E, noté ẋ, défini par :
ẋ = {y ∈ E; xRy}
Tout élément de ẋ est appelé un représentant de la classe ẋ. On appelle ensemblequotient de E par R et on note E \ R l’ensemble des classes d’équivalence modulo R.
Exemples.
– L’égalité dans un ensemble E quelconque est, comme on l’a déjà vu,
une relation d’équivalence, d’ensemble quotient {{x}; x ∈ E}.
– Sur l’ensemble des droites d’un plan affine, la relation "être parallèle" est une relation d’équivalence. Pour toute droite D, la classe de D modulo "être parallèle" est
appelée la direction de D.
12
CHAPITRE 2. ENSEMBLES - RELATIONS - APPLICATIONS
Propriété 2.2.1. Soient R une relation d’équivalence sur E et (a, b) ∈ E 2 . aRb si et
seulement si ȧ = ḃ.
Démonstration :
– Supposons aRb.
Montrons que ḃ ⊂ ȧ soit c ∈ ḃ, on a bRc. D’après la transitive de R on a aRc et
c ∈ ȧ. On a donc ḃ ⊂ ȧ. Comme R est symétrique on a bRa d’après ce qui précède
on en déduit que ȧ ⊂ ḃ. On a donc ȧ = ḃ.
– Si ȧ = ḃ, comme b ∈ ḃ on a b ∈ ȧ i.e. aRb.
♦
2.2.3
Relation d’ordre
Définition 2.2.7. Soit R une relation binaire sur un ensemble E.
On dit que R est une relation d’ordre si R est réflexive, antisymétrique et transitive.
Une relation d’ordre est souvent notée ≤.
Le couple (E, ≤) où E est un ensemble et ≤ une relation d’ordre est appelé ensemble
ordonné.
Définition 2.2.8. Soit (E, ≤) un ensemble ordonné. La relation ≤ est une relation
d’ordre total si deux éléments quelconques de E sont comparables i.e.
∀(x, y) ∈ E 2 , (x ≤ y ou y ≤ x)
Dans le cas contraire, l’ordre est partiel.
Exemple. Si E est un ensemble ayant au moins deux éléments l’inclusion sur P(E) est
une relation d’ordre partiel. En effet, si (a, b) ∈ E 2 et a 6= b alors {a} 6⊂ {b} et {b} 6⊂ {a}.
Majorants, minorants, bornes supérieure et inférieure : Soient E un ensemble
muni d’une relation d’ordre ≤, A une partie de E et x un élément de E.
Définition 2.2.9.
1. L’élément x est un majorant de A dans E si : ∀a ∈ A a ≤ x.
L’élément x est un minorant de A dans E si : ∀a ∈ A, x ≤ a.
2. L’élément x est le plus grand élément de A si x est un majorant de A dans E et
si x ∈ A. L’élément x est le plus petit élément de A si x est un minorant de A
dans E et si x ∈ A.
3. La partie A est majorée (resp. minorée) dans E s’il existe au moins un majorant
(resp. minorant) de A (dans E). La partie A est bornée (dans E) si A est majorée
et minorée (dans E).
Définition 2.2.10. On appelle borne supérieure de A dans E le plus petit des majorants de A dans E, s’il existe ; cet élément est alors noté sup A. On appelle borne
inférieure de A dans E le plus grand des minorants de A dans E, s’il existe ; cet élément est alors noté inf A.
Exemples. −1 est un minorant de R+ dans R. R+ admet un plus petit élément : 0. R∗+
admet des minorants dans R mais pas de plus petit élément.
2.3
Applications
Nous allons à présent étudier des relations particulières appelées applications.
2.3. APPLICATIONS
2.3.1
13
Définitions
Définition 2.3.1. Soient E et F deux ensembles. On appelle fonction de E vers F toute
relation f de E vers F qui à x ∈ E associe au plus un élément y de F . L’ensemble des
éléments de E auxquels f associe exactement un élément dans F est appelé l’ensemble
de définition de f .
On dit que y est l’image de x par f , on écrit y = f (x), et on dit que x est un antécédent
de y par f .
L’ensemble Γ = {(x, f (x)); x ∈ E} est appelé le graphe de f. On dit que E (resp F ) est
l’ensemble de départ (resp. l’ensemble d’arrivée) de f .
Définition 2.3.2. Une fonction de E et F est une application si son ensemble de
définition est égal à E.
E → F
Une application de E dans F est souvent notée f :
x 7→ f (x)
Remarque. D’après la définition de l’égalité de deux ensembles, deux applications f et g
sont égales si et seulement si elles ont même ensemble de départ noté E, même ensemble
d’arrivée et : ∀x ∈ E, f (x) = g(x).
Exemples d’applications.
– Soit E un ensemble. L’application idE :
E → E
est appelée application idenx 7→ x
tique ou identité de E.
– Soient E un ensemble et A ⊂ E. On appelle fonction caractéristique de A dans
E ou fonction indicatrice de A dans E la fonction notée 1A de E vers {0, 1} telle
que 1A (x) = 1 si x ∈ A et 1A (x) = 0 si x ∈ CE A.
– La fonction qui à x ∈ R associe 0 est appelée la fonction nulle et est notée 0.
– Soient n ∈ N∗ , a0 , a1 , . . . , an des réels la fonction qui à x ∈ R associe a0 + a1 x +
· · · + an xn est appelée fonction polynôme.
– Soient p et q deux fonctions polynômes, D = {x ∈ R; q(x) 6= 0} la fonction qui à
x ∈ D associe p(x)
q(x) est appelée fonction rationnelle.
2.3.2
Surjection - Injection - Bijection
Définition 2.3.3. Une application f : E → F est dite :
1. injective si : ∀(x, x0 ) ∈ E 2 , (f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0 ) i.e. deux éléments distincts
de E ont des images distinctes.
2. surjective si : ∀y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f (x) i.e. tout élément de F admet au moins
un antécédent par f dans E.
3. bijective si f est injective et surjective.
On dit injection (resp. surjection, resp. bijection) au lieu d’application injective
(resp. surjective, resp. bijective).
Propriété 2.3.1. L’application f est bijective si et seulement si tout élément y de F
possède un unique antécédent x par f dans E.
Démonstration : Si f est bijective alors f est surjective. Par conséquent, tout y ∈ F
admet au moins un antécédent x par f dans E. Supposons que y ait deux antécédents x1
et x2 . On a alors y = f (x1 ) = f (x2 ), d’où x1 = x2 puisque f est injective. On en déduit
que y admet un seul antécédent.
14
CHAPITRE 2. ENSEMBLES - RELATIONS - APPLICATIONS
Réciproquement, si tout y ∈ F admet un unique antécédent x par f dans E alors f est
surjective de E dans F . Soient x1 , x2 de E tels que f (x1 ) = f (x2 ). Posons y = f (x1 ) =
f (x2 ) alors x1 et x2 sont deux antécédents de y. Par unicité de l’antécédent on a x1 = x2
ce qui prouve l’injectivité. L’application f est donc bijective de E dans F . ♦
Lorsqu’une application est bijective, il est possible d’introduire la notion d’application
réciproque.
Définition 2.3.4. Soit f : E → F une application bijective de E vers F . On définit alors
une application de F vers E en associant à tout élément y de F son unique antécédent.
Cette application, appelée application réciproque de f et notée f −1 vérifie
∀(x, y) ∈ E × F, (x = f −1 (y) ⇔ y = f (x))
L’application f −1 est également bijective et (f −1 )−1 = f .
Exemple :
– Si E est un ensemble, idE est bijective et id−1
E = idE .
– La fonction qui à x ∈ R associe 2x + 1 est une application bijective de R dans R.
Sa fonction réciproque est y 7→ 12 (y − 1).
2.3.3
Composition des applications
Définition 2.3.5. Soient E, F , G trois ensembles, f : E → F et g : F → G deux
applications. L’application g ◦ f de E vers G définie par g ◦ f (x) = g(f (x)) est appelée
composition de g et de f ou composée de f suivie de g.
Proposition 2.3.1. La composition de deux injections (resp. surjections, resp. bijections)
est une injection (resp. surjection, resp. bijection).
Démonstration : Soit f : E → F et g : F → G deux injections. Si pour x, y ∈ E on a
g ◦f (x) = g ◦f (x) alors f (x) = f (y) car g est une injection ; ce qui implique x = y puisque
f est une injection. On montre de façon similaire que la composée de deux surjections est
une surjection et on a donc que la composée de deux bijections est une bijection.♦
Remarque. Si f : E → F est une application bijective, de réciproque f −1 , on a
f ◦ f −1 = IdF et f −1 ◦ f = IdE .
Chapitre 3
L’ensemble des réels
3.1
3.1.1
Les ensembles N, Z, Q
L’ensemble N = {0, 1, 2, 3, ...} des entiers naturels
L’équation n + x = 0 n’a pas de solution (dans N) que si n = 0 et (alors x = 0).
Z se déduit de N en adjoignant à chaque entier n ∈ N∗ un opposé, noté −n, pour l’addition.
3.1.2
L’ensemble Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} des entiers relatifs
Pour construire Z, on considère sur N2 la relation R par : ∀(n, n0 ), (m, m0 ) ∈ N2 , (n, n0 )R(m, m0 )
si et seulement si n + m0 = n0 + m. R est une relation d’équivalence. Z est l’ensemble
quotient N2 /R. On note Z∗ = Z \{0}.
Définition 3.1.1. ∀(n, n0 ) ∈ Z2 n ≤ n0 si et seulement si il existe k ∈ N tel que n0 = n+k.
La relation ≤ est une relation d’ordre sur Z :
- réflexive : ∀n ∈ Z, n ≤ n
- antisymétrique :
∀(n, n0 )
∈
Z2 ,
- transitive : ∀(n, n0 , n00 ) ∈ Z3 ,
n ≤ n0
⇒ n = n0
n0 ≤ n
n ≤ n0
⇒ n ≤ n00
n0 ≤ n00
L’ordre est total : ∀(n, n0 ) ∈ Z2 n ≤ n0 ou n0 ≤ n.
Cet ordre est compatible avec + et · :
∀(n, n0 , n00 ) ∈ Z3 , (n ≤ n0 ⇒ n + n00 ≤ n0 + n00 ),
n ≤ n0
0 00
3
00
0
00
∀(n, n , n ) ∈ Z ,
n·n ≤n ·n .
0 ≤ n00
Dans la suite, on notera nn0 = n · n0
Propriété fondamentale de Z : Toute partie A de Z non vide et minorée admet un
plus petit élément noté min A et appelé minimum de A.
On rappelle que la partie A est minorée s’il exite n ∈ Z tel que ∀a ∈ A n ≤ a. Si un
minorant de A est aussi un élément de A, c’est un minimum.
15
16
CHAPITRE 3. L’ENSEMBLE DES RÉELS
Remarque. 1- De manière équivalente, toute partie A de Z non vide et majorée admet
un plus grand élément noté max A. L’équivalence entre les deux formulations se déduit de
l’égalité max A = − min(−A) conséquence de la compatibilité de ≤ avec +.
2- L’équation nx = 1 n’a de solution (dans Z) que si n = 1 ou n = −1 (et alors x = 1 ou
x = −1). On va étendre Z à Q pour pallier cette insuffisance.
3.1.3
L’ensemble Q des rationnels
0
Soient (p, p0 ) ∈ Z2 et (q, q 0 ) ∈ (Z∗ )2 . On écrit pq = pq0 si et seulement si pq 0 = qp0 . On
n
o
note Q = pq ; (p, q) ∈ Z × N∗ . Z peut être considéré comme un sous-ensemble de Q, et
par abus on note n = n1 .
On étend l’ordre ≤ de Z sur Q par :
p
p0
∀ (p, q), (p0 , q 0 ) ∈ (Z × N∗ )2 , ≤ 0 ssi (pq 0 − qp0 ) ≤ 0.
q
q
Ainsi pq ≥ 0 si et seulement si pq ≥ 0. On note Q+ l’ensemble des rationnels positifs. On
vérifie que cet ordre est total et compatible avec + et ·.
On remarque que certaines équations n’ont pas de racine dans Q. En effet, c’est le cas
pour l’équation r2 = 2. Supposons qu’il existe r ∈ Q tel que r2 = 2. Posons r = pq avec
(p, q) ∈ Z × Z∗ . Alors r2 = 2 s’écrit p2 = 2q 2 . En écrivant p = 2k p0 et q = 2l q 0 avec p0
et q 0 entiers impairs, on obtient l’égalité 22k p02 = 22l+1 q 02 qui implique l’égalité entre un
nombre pair et un nombre impair, ce qui est faux. Dans un triangle rectangle isocèle de
côté 1, l’hypoténuse r est telle que r2 = 12 + 12 = 2 d’après le théorème de Pythagore. Il
existe donc un segment géométrique de longueur r tel que r2 = 2 mais r ∈
/ Q.
Ce résultat négatif montre que l’ensemble des rationnels a des trous car il ne recouvre
pas la droite géométrique. On va compléter l’ensemble des rationnels pour pallier cette
insuffisance.
3.2
L’ensemble des réels
Théorème 3.2.1 (admis). Il existe un unique corps totalement ordonné (R, +, ·, ≤)
contenant Q tel que les opérations + et · et la relation d’ordre ≤ coïncident sur Q avec
leurs homologues et qui vérifie la propriété de la borne supérieure :
Toute partie non vide et majorée de R possède une borne supérieure.
Remarque. La propriété de la borne supérieure est équivalente à la propriété de la borne
inférieure :
Toute partie non vide et minorée de R possède une borne inférieure.
(La compatibilité de + avec ≤ implique l’égalité inf A = − sup(−A))
Explications : On définit en mathématiques des structures qui permettent de classer les
ensembles suivant leurs propriétés.
(R, +, ·) est un corps commutatif signifie :
+ est associative : ∀(a, b, c) ∈ R3 , (a + b) + c = a + (b + c)
+ est commutative : ∀(a, b) ∈ R2 , a + b = b + a
3.2. L’ENSEMBLE DES RÉELS
17
R admet un élément neutre pour +, noté 0 : ∀a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a
Tout élément a de R admet un opposé, noté −a :
∀a ∈ R, a + (−a) = (−a) + a = 0
· est associative : ∀(a, b, c) ∈ R3 , (ab)c = a(bc)
· est commutative : ∀(a, b) ∈ R2 , ab = ba
R∗ admet un élément neutre pour ·, noté 1 : ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
Tout élément a de R∗ admet un inverse, noté a−1 :
∀a ∈ R∗ , aa−1 = a−1 a = 1
(On note R∗ = R \ {0})
· est distributive par rapport à l’addition :
a(b + c) = ab + ac
3
∀(a, b, c) ∈ R ,
(b + c)a = ba + ca
Exemple. (Q, +, ·, ≤) est un corps commutatif totalement ordonné mais il ne vérifie pas
la propriété de la borne supérieure.
Remarques.
1. Il y a une différence essentielle entre la propriété de la borne supérieure dans R et la propriété fondamentale de Z : la borne supérieure d’une partie
A de R n’est pas en général un élément de A .
2. N et Z sont des sous-ensembles de R qui possèdent la propriété de la borne supérieure
mais ne sont pas des corps.
3. A = {x ∈ Q; x2 < 2} est une partie non vide et majorée de Q. A ne possède pas de
borne supérieure dans Q.
Proposition 3.2.1. Caractérisation de la borne supérieure : Soit A une partie non
vide et majorée de R. Soit M ∈ R, M = sup A si et seulement si
1. ∀a ∈ A, a ≤ M ,
2. ∀ε > 0, ∃a ∈ A, M − ε < A.
Autrement dit la borne supérieure de l’ensemble A est le plus petit des majorants.
Démonstration : (⇒) Soit ε > 0, M − ε < M donc M − ε n’est pas un majorant : il
existe a ∈ A tel que M − ε < a.
(⇐) Soit b < M . Posons ε = M − b, il existe a ∈ A tel que M − ε < a ou b < a. Donc b
n’est pas un majorant de A et M est le plus petit des majorants de A. ♦
3.2.1
Les intervalles de R
On définit dans R neuf types d’intervalles.
Intervalles bornés
[a, b]
]a, b]
[a, b[
]a, b[
= {x ∈ R;
= {x ∈ R;
= {x ∈ R;
= {x ∈ R;
a ≤ x ≤ b},
a < x ≤ b}
a ≤ x < b},
a < x ≤ b},
a = min
a = inf,
a = min
a = inf
[a, b]
]a, b]
[a, b[
]a, b[
et
et
et
et
b = max
b = max
b = sup
b = sup
[a, b];
]a, b];
[a, b[;
]a, b[.
18
CHAPITRE 3. L’ENSEMBLE DES RÉELS
Intervalles non bornés
[a, +∞]
]a, +∞]
] − ∞, a]
] − ∞, a[
] − ∞, +∞[
= {x ∈ R;
= {x ∈ R;
= {x ∈ R;
= {x ∈ R;
= R.
a ≤ x},
a < x},
x ≤ a},
x < a},
a = min
a = inf
a = max
a = sup
[a, +∞];
]a, +∞];
] − ∞, a];
] − ∞, a[;
Les intervalles [a, b], [a, +∞[, ] − ∞, a], ] − ∞, +∞[ sont dits intervalles fermés. Les
intervalles ]a, b[, ]a, +∞[, ]−∞, a[, ]−∞, +∞[ sont dits intervalles ouverts. Les intervalles
[a, b[, ]a, b] sont dits intervalles semi-ouverts ou semi-fermés.
On note R∗ = R \ {0}, R+ = [0, +∞[, R∗− =] − ∞, 0[.
Attention : R∗ n’est pas un intervalle.
3.2.2
Partie entière
Dans ce paragraphe, on étudie les liens entre R et Z.
Théorème 3.2.2. R est archimédien i.e.
∀x ∈ R, ∃n ∈ N,
n > x.
Démonstration : Si x < 0, n = 0 convient.
Si x ≥ 0, on considère la partie A de R définie par A = {k ∈ N; k ≤ x}. Comme
0 ∈ A, A est non vide. La partie A est majorée par x donc A admet une borne supérieure
M = sup A. Considérons ε = 21 , d’après la caractérisation de la borne supérieure, il existe
k ∈ A tel que M − 12 < k. On a k + 1 > M + 12 > M . Comme M est un majorant de A :
k+1∈
/ A et k + 1 > x. ♦
Théorème 3.2.3. Pour chaque réel x, il existe un unique entier relatif appelé la partie
entière de x et noté [x] tel que :
[x] ≤ x < [x] + 1
Exemple. : [2, 5] = 2, [−2, 5] = −3.
Démonstration : Soient x ∈ R et A = {n ∈ Z; n ≤ x}
Comme R est archimédien, il existe n2 ∈ N tel que n2 > x et il existe n1 ∈ N tel que
n1 > −x i.e. −n1 < x. On en déduit que −n1 ∈ A : A est non vide.
A est une partie non vide et majorée de Z et possède d’après la propriété fondamentale
de Z un plus grand élément p ∈ Z. On note p = max A. Comme p ∈ A, on a p ≤ x et
p+1∈
/ A donc x < p + 1. On a montré l’existence de la partie entière.
Montrons l’unicité de la partie entière. Soit p0 ∈ Z tel que p0 ≤ x < p0 + 1. On a donc
p0 ≤ x < p0 + 1 et p ≤ x < p0 + 1.On en déduit que p ≤ p0 et p0 ≤ p. On obtient p = p0 . ♦
Propriété. Soit x ∈ R, pour tout k ∈ Z on a [x + k] = [x] + k.
Démonstration : On a [x] ≤ x < [x] + 1. Soit k ∈ Z, on obtient [x] + k ≤ x + k <
([x] + k) + 1. On en déduit : [x + k] = [x] + k. ♦
3.2. L’ENSEMBLE DES RÉELS
3.2.3
19
Densité de Q
Q est un sous ensemble strict de R mais nous allons voir que Q ne laisse pas pour
autant de grands trous dans R contrairement à Z qui vérifie ]0, 1[∩ Z = ∅.
Définition 3.2.1. Une partie A de R est dense dans R si pour tout (a, b) ∈ R2 avec
a < b on a ]a, b[ ∩ A 6= ∅.
Proposition 3.2.2. Q et R \ Q sont deux parties denses dans R.
Démonstration : Montrons que Q est dense dans R. Soient a < b, on a b − a > 0.
1
, ce qui implique n1 < b − a.
Comme R est archimédien, il existe n ∈ N∗ tel que n > b−a
On a alors
1
1
na + 1
a < a + < a + (b − a) = b et a + =
.
n
n
n
Notons n0 = [na] + 1. Comme [na] ≤ na < [na] + 1, on a n0 − 1 ≤ na < n0 , d’où
n0
1
n0
n0
1
− ≤a<
et a <
≤ a + < a + b − a ≤ b.
n
n
n
n
n
On a donc trouvé nn0 ∈]a, b[∩ Q.
Montrons maintenant que R \ Q est dense dans R. D’après ce que l’on a fait, Il existe
0
r ∈ Q tel que a < r < b et il existe
r < r0 < b. On a alors (r, r0 ) ∈ Q2 avec
√ r1 ∈ Q tel que
1
0
a < r < r < b. Comme 1 < 2, √2 < 1 et √2 (r0 − r) < r0 − r car r0 − r > 0. On en
déduit
1
a < r < r + √ (r0 − r) < r + r0 − r = r0 .
2
√
Or 2 ∈ R \ Q, donc r + √12 (r0 − r) ∈ R \ Q. De plus r + √12 (r0 − r) ∈]a, b[. On a donc
1
r + √ (r0 − r) ∈]a, b[∩ R \ Q.
2
♦
Remarque. Dans tout intervalle non vide, il y a une infinité de rationnels et une infinité
d’irrationnels.
Démonstration : Par récurrence sur n, n ∈ N, construisons une suite strictement croissante de rationnels (resp. d’irrationnels) de ]a, b[ avec a < b
– Vrai pour n = 1, c’est la proposition précédente. Il existe x ∈ Q (resp. R \ Q) tel
que a < x < b. Posons x1 = x
– Soit n ≥ 1. Supposons qu’il existe (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Qn (resp.(R \ Q)n ) tel que
a < x1 < x2 < · · · < xn < b.
D’après la proposition précédente, il existe xn+1 ∈ Q (resp. R \ Q) tel que xn <
xn+1 < b et on a a < x1 < x2 < · · · < xn < xn+1 < b avec (x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 ) ∈
Qn+1 (resp. (R \ Q)n+1 ).
♦
20
CHAPITRE 3. L’ENSEMBLE DES RÉELS
3.2.4
Valeur absolue
Définition 3.2.2. La valeur absolue du réel x est le réel positif noté |x|, défini par :
x
si x ≥ 0
|x| = max{x, −x} =
.
−x si x ≤ 0
Remarque. La valeur absolue




∀a > 0, ∀x ∈ R,



est très utile pour les encadrements car
|x| ≤ a
|x| < a
|x| ≥ a
|x| > a
⇔
⇔
⇔
⇔
x∈
x∈
x∈
x∈
[−a, a]
] − a, a[
.
] − ∞, −a] ∪ [a, +∞[
] − ∞, −a[ ∪ ]a, +∞[
Démonstration : On simplifie |x| selon le signe de x. ♦
Proposition 3.2.3. La valeur absolue vérifie pour tout (x, y) ∈ R2
1. |xy| = |x||y|
2. |x + y| ≤ |x| + |y|
3. ||x| − |y|| ≤ |x + y| et ||x| − |y|| ≤ |x − y|
Démonstration :
– Pour 1 et 2 on simplifie les valeurs absolues selon le signe de x et de y.
– Pour 3, montrer ||x| − |y|| ≤ |x + y| équivaut à montrer −|x + y| ≤ |x| − |y| ≤ |x + y|
i.e. |x| ≤ |y| + |x + y| et |y| ≤ |x| + |x + y|
Comme
x = y + x + (−y) d’après 2 on a :
|x| ≤ |x + y| + | − y| = |x + y| + |y|.
y = x + y + (−x) d’après 2 on a :
|y| ≤ |x + y| + | − x| = |x + y| + |x|.
On obtient la dernière inégalité de 3 en remplaçant y par −y dans la première
inégalité de 3.
♦
Remarque. Soit A ∈ R, si (∀ε > 0, |A| ≤ ε) alors A = 0.
|A|
|A|
En effet, si A 6= 0, posons ε = |A|
2 on a ε > 0 et |A| ≤ 2 soit 2 ≤ 0 ce qui est absurde.
On en déduit que |A| ≤ 0. Comme A 6= 0, on a |A| > 0. D’où une contradiction.
Chapitre 4
Les suites réelles
4.1
Définitions
Définition 4.1.1. Une suite réelle est une application
u:
N → R
n 7→ u(n)
On note un au lieu de u(n), (un )n∈N au lieu de u. Pour chaque n ∈ N, un est appelé le
nème terme ou le terme de rang n de la suite. Si les n0 premiers termes de la suite ne sont
pas définis, on parle de la suite (un )n≥n0 .
Exemple.
– Pour tout n ∈ N∗ , un =
1
– Pour tout n ≥ 2, un = n(n−1)
– u
= sin un .
0 = 1 et ∀n ∈ N un+1
2
un = 0 si n = k
–
un = 1 si n 6= k 2
4.1.1
1
n
Suites majorées, minorées, bornées
Définition 4.1.2. Une suite (un )n∈N est majorée (resp. minorée) s’il existe M ∈ R
(resp. m ∈ R) tel que :
∀n ∈ N, un ≤ M (resp. m ≤ un )
Une suite (un )n∈N est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Proposition 4.1.1. Une suite (un )n∈N est bornée si et seulement si il existe M ∈ R tel
que : ∀n ∈ N, |un | ≤ M .
Démonstration : Si (un )n∈N est bornée, il existe (a, b) ∈ R2 tels que :
∀n ∈ N, a ≤ un ≤ b.
Posons M = max(|a|, |b|). On a alors :−M ≤ −|a| ≤ a ≤ un ≤ b ≤ |b| ≤ M.
Réciproquement, supposons que : ∀n ∈ N |un | ≤ M . Alors, ∀n ∈ N, −M ≤ un ≤ M . La
suite (un )n∈N est bornée par les constantes a = −M et b = M . ♦
21
22
4.1.2
CHAPITRE 4. LES SUITES RÉELLES
Suites convergentes
Définition 4.1.3. Soit (un )n∈N une suite réelle. On dit que la suite (un )n∈N converge
vers `∈ R si
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , |un − `| < ε.
(4.1)
On note limn→+∞ un = ` et ` est appelée une limite de la suite (un )n∈N .
On dit que la suite (un )n∈N diverge si elle ne converge vers aucun réel `.
On a :
|un − `| < ε ⇔ −ε < un − ` < ε
⇔ ` − ε < un < ` + ε
⇔ un ∈]` − ε, ` + ε[
Autrement dit. Pour tout intervalle Jε de centre ` et de rayon ε > 0, il existe un entier
(un indice) n0 tel que pour tout n ≥ n0 , un appartient à Jε .
Nous allons maintenant étudier quelques exemples.
Exemple. Soit (un )n∈N∗ la suite définie par un = n1 . On a limn→+∞ un = 0.
Démonstration : Soit ε > 0, comme R est archimédien, il existe n0 ∈ N tel que n0 > 1ε .
Donc si n ≥ n0 , on a n1 ≤ n10 < ε et |un − 0| = n1 < ε.
Conclusion : Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 alors |un − 0| < ε.♦
Exemple. Si la suite (un )n∈N est stationnaire i.e. constante à partir d’un certain rang :
∃n0 ∈ N,
∀n ≥ n0 ,
un = `,
alors elle converge vers `.
En effet, si n ≥ n0 , on a un − ` = 0.
Conclusion : Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 alors |un − `| < ε.
Exemple. Si limn→+∞ un = ` alors limn→+∞ |un | = |`|.
Démonstration : On a ||un | − |`|| ≤ |un − `|. Soit ε > 0, comme limn→+∞ un = `, il
existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 alors |un − `| < ε. Comme ||un | − |`|| ≤ |un − `|, si n ≥ n0
on a ||un | − |`|| ≤ |un − `| < ε.
Conclusion : Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n alors ||un | − |`|| < ε.♦
Exemple. Soit (un )n∈N la suite définie par un = (−1)n . La suite (un )n∈N ne converge
pas.
Démonstration : Supposons que limn→+∞ un = `. Soit ε = 1, il existe n0 ∈ N tel que
pour tout n ≥ n0 on a : |(−1)n − `| < 1. Pour n pair, on obtient |1 − `| < 1 et pour n
impair, |1 + `| < 1. On a donc
2 = |1 − ` + 1 + `| ≤ |1 − `| + |1 + `| < 1 + 1 = 2,
soit 2 < 2, ce qui est absurde.♦
4.2. PROPRIÉTÉS DES SUITES CONVERGENTES
4.2
23
Propriétés des suites convergentes
Proposition 4.2.1. Si (un )n∈N est une suite convergeante alors (un )n∈N est bornée.
Démonstration : Soit ` sa limite. Considérons ε = 1, comme limn→+∞ un = ` il existe
n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 alors |un − `| < 1 d’où
∀n ≥ n0 , ` − 1 < un < ` + 1.
En notant
b = max {|u0 |, |u1 |, . . . , |un0 − 1|, ` + 1} , a = min {−|u0 |, −|u1 |, . . . , −|un0 − 1|, ` − 1} ,
on conclut : ∀n ∈ N,
4.2.1
a ≤ un ≤ b. ♦
Unicité de la limite
Proposition 4.2.2. Soit (un )n∈N une suite réelle. Si (un )n∈N converge vers `1 et `2 alors
`1 = `2 .
On parle donc de la limite d’une suite convergente.
Démonstration : Soit ε > 0, considérons 2ε .
Comme limn→+∞ un = `1 , il existe n1 ∈ N tel que si n ≥ n1 alors |un − `1 | < 2ε .
Comme limn→+∞ un = `2 , il existe n2 ∈ N tel que si n ≥ n2 alors |un − `2 | < 2ε .
Soit n0 = max(n1 , n2 ). Pour n ≥ n0 , on a
|`1 − `2 | ≤ |un − `1 | + |un − `2 | <
ε ε
+ ≤ ε.
2 2
D’où ∀ε > 0, |`1 − `2 | < ε. On en déduit `1 = `2 . ♦
4.2.2
Compatibilité des limites avec +, · et ≤
On peut faire les opérations suivantes sur les limites :
Proposition 4.2.3. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites convergeant respectivement
vers ` et `0 alors pour tout λ, µ ∈ R la suite de terme général λun + µvn converge vers
λ` + µ`0 et la suite de terme général un vn converge vers ``0 .
Si en outre ` 6= 0, alors la suite inverse de terme général u1n est définie à partir d’un
certain rang et converge vers 1` .
Démonstration :
• Soient λ, µ ∈ R, on a la majoration suivante :
|λun + µvn − (λ` + µ`0 )| ≤ |λ||un − `| + |µ||vn − `0 |
Soit ε > 0. Ccomme limn→+∞ un = ` il existe n1 ∈ N tel que si n ≥ n1 alors |un − `| < ε.
Comme limn→+∞ vn = `0 il existe n2 ∈ N tel que si n ≥ n2 alors |vn − `| < ε. Posons
n0 = max{n1 , n2 } si n ≥ n0 , on a alors
|λun + µvn − (λ` + µ`)| ≤ (|λ| + |µ|)ε
Conclusion : Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 alors |λun +µvn −(λ`+µ`0 )| < ε.
24
CHAPITRE 4. LES SUITES RÉELLES
• De la même manière, la convergence de la suite produit se déduit de la majoration :
|un vn − ``0 | = |un (vn − `0 ) + (un − `)`0 | ≤ M |vn − `0 | + |`0 ||un − `|
où la suite (un )n∈N est bornée par la constante M .
• Supposons ` 6= 0. Soit ε = |`|
2 , comme limn→+∞ un = `, il existe n1 ∈ N tel que si
|`|
n ≥ n1 alors |un − `| < 2 .
Comme ||un | − |`|| ≤ |un − `|, on a pour n ≥ n1 , ||un | − |`0 || < |`|
2 et en particulier
−
|`|
< |un | − |`|
2
d’où
|`|
< |un |
2
La suite inverse est donc définie à partir du rang n1 .
Par ailleurs, si n ≥ n1 ,
1
1 |un − `|
2
un − ` = |un ||`| ≤ `2 |un − `|
On peut alors raisonner comme avant.
Conclusion. Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 alors u1n − 1` < ε. ♦
Proposition 4.2.4. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites convergentes. S’il existe n0 ∈
N tel que pour n ≥ n0 on aie un ≤ vn , alors limn→+∞ un ≤ limn→+∞ vn .
Démonstration : Supposons limn→+∞ un = `, limn→+∞ vn = `0 et un ≤ vn pour n ≥ n0 .
Soit ε > 0 ; comme limn→+∞ un = ` il existe n1 ∈ N tel que si n ≥ n1 alors ` − ε < un ;
comme limn→+∞ vn = `0 il existe n2 ∈ N tel que si n ≥ n2 alors vn < `0 + ε.
Posons n3 = max{n0 , n1 , n2 }. Si n ≥ n3 alors 0 ≤ vn − un < `0 − ` + 2ε.
On a donc montré qe pour tout ε > 0, −2ε < `0 − `. On en déduit `0 − ` ≥ 0. ♦
Remarque. Le passage à la limite "transforme" les inégalités strictes entre termes de
1
suites convergentes en inégalités larges. Par exemple si un = n+1
et vn = n1 avec n ∈ N∗ ,
1
alors pour tout n ≥ 1, n+1
< n1 et limn→+∞ un = limn→+∞ vn = 0.
4.3
4.3.1
Critères de convergence
Convergence par encadrement
Démontrer la convergence de la suite (un )n∈N vers ` revient à encadrer la quantité
un − `. C’est pour cela que le résultat suivant, bien que très simple, est important dans
la pratique.
Théorème 4.3.1 (dit des gendarmes). Soient trois suites réelles (un )n∈N , (vn )n∈N et
(wn )n∈N telles que :
∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 ,
un ≤ wn ≤ vn
et
lim un = lim vn = `
n→+∞
n→+∞
alors la suite (wn )n∈N converge vers `
Démonstration : La convergence de (wn )n∈N se déduit des majorations :
un − ` ≤ wn − ` ≤ vn − `
avec
n ≥ n0
4.3. CRITÈRES DE CONVERGENCE
25
Soit ε > 0. Comme limn→+∞ vn = `, il existe n1 ∈ N tel que si n ≥ n1 , vn − ` < ε.
Comme limn→+∞ un = `, il existe n2 ∈ N tel que si n ≥ n2 ,
−ε < un − `. Posons
n3 = max{n0 , n1 , n2 }, alors on a
∀n ≥ n3 , −ε < un − ` ≤ wn − ` ≤ vn − ` < ε
Conclusion : Soit ε > 0, il existe n3 ∈ N tel que si n ≥ n3 alors −ε < wn − ` < ε. ♦
Exemple important. Si 0 ≤ wn ≤ vn et limn→+∞ vn = 0 alors limn→+∞ wn = 0.
4.3.2
Suites monotones
Définition 4.3.1. Une suite (un )n∈N est croissante (resp. décroissante) si :
∀n ∈ N, un ≤ un+1 (resp. un+1 ≤ un ).
Une suite (un )n∈N est strictement croissante (resp. strictement décroissante si :
∀n ∈ N, un < un+1 (resp. un+1 < un ).
Une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.
Théorème 4.3.2. Toute suite (un )n∈N croissante et majorée (resp. décroissante et minorée) converge vers ` = sup{un ; n ∈ N} (resp. ` = inf{un ; n ∈ N}).
Démonstration : Soit (un )n∈N une suite croissante majorée. On peut considérer ` =
sup{un ; n ∈ N} car l’ensemble {un ; n ∈ N} est une partie non vide et majorée de R par
hypothèse. On a : ∀n ∈ N, un ≤ ` car ` est un majorant de {un ; n ∈ N}. De plus, si ε > 0,
d’après la caractérisation du sup il existe n0 ∈ N tel que ` − ε < un0 . Mais la croissance
de la suite (un )n∈N implique si n ≥ n0 , un0 ≤ un et ` − ε < un0 ≤ un .
Conclusion : Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 , ` − ε < un ≤ ` < ` + ε. On a
donc limn→+∞ un = `. ♦
Exemple. Soit r ∈ [0, 1[, étude de la suite (un )n∈N définie par un = rn .
Démonstration : La suite (un )n∈N est positive et décroissante car comme 0 ≤ r < 1 on
a un r ≤ un ou un+1 ≤ un . Elle est donc convergente, soit ` sa limite. La suite de terme
général vn = un+1 converge aussivers `. Comme vn = run d’après les opérations sur les
limites, on a : ` = r`.Comme r 6= 1 on conclut que ` = 0. ♦
4.3.3
Suites adjacentes
Les suites adjacentes sont un cas particulier important des suites monotones.
Définition 4.3.2. Deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes si elles vérifient les
trois conditions suivantes :
1. (un )n∈N est croissante
2. (vn )n∈N est décroissante
3. limn→+∞ (vn − un ) = 0
26
CHAPITRE 4. LES SUITES RÉELLES
Théorème 4.3.3. Si deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes alors elles convergent
vers la même limite ` et on a :
∀n ∈ N, un ≤ ` ≤ vn
Démonstration : Notons, pour tout n ∈ N : wn = vn − un . La suite (wn )n∈N est
décroissante car
wn+1 − wn = (vn+1 − un+1 ) − (vn − un ) = (vn+1 − vn ) − (un+1 − un ) ≤ 0
Puisque (wn )n∈N est décroissante et de limite 0, on obtient
∀n ∈ N, u0 ≤ un ≤ vn ≤ v0 .
La suite (un )n∈N est donc croissante et majorée donc elle converge vers une limite `.
Comme wn tend vers 0, vn tend aussi vers l. Comme (un )n∈N est croissante et (vn )n∈N
est décroissante de limite `, on a
un ≤ sup uk = ` = inf vk ≤ vn
k∈N
k∈N
♦
Exemple. Les suites (un )n∈N∗ et (vn )n∈N∗ définies par
∀n ∈ N∗ , un =
n
X
1
1
, vn = un +
k!
n.n!
k=0
sont adjacentes et leur limite commune notée e n’appartient pas à Q.
Démonstration : Il est clair que (un )n∈N∗ est strictement croissante. Comme
1
1
1
1
−1
vn+1 − vn =
+
−
=
<0
n! n + 1 (n + 1)2 n
n(n + 1)2 , n!
(vn )n∈N est strictement décroissante. Enfin, on a
0 ≤ vn − un =
1
1
≤ .
n.n!
n
D’après le théorème des gendarmes, limn→+∞ (vn − un ) = 0. Par conséquent les suites
(un )n∈N et (vn )n∈N vérifient les conditions du théorème ci-dessus : elles sont donc adjacentes et convergent vers une limite notée e > 0.
Montrons que e ∈
/ Q. Supposons que e = pq avec p, q ∈ N∗ . la stricte monotonie des suites
(un )n∈N et (vn )n∈N entraîne les inégalités :
1+
1
p
1
1
1
1
+ · · · + = uq < e = < vq = 1 + + · · · + +
.
1!
q!
q
1!
q! qq!
qui multipliées par q.q! donnent :
1
1
1
1
q.q! 1 + + · · · +
< p.q! < 1 + qq! 1 + + · · · +
1!
q!
1!
q!
Donc ,
1
1
< 1,
0 < pq! − qq! 1 + + · · · +
1!
q!
{z
}
|
∈N
ce qui est absurde.♦
4.4. SUITES TENDANT VERS L’INFINI
4.4
4.4.1
27
Suites tendant vers l’infini
Définition
Définition 4.4.1. Soit (un )n∈N une suite réelle. On dit que la suite (un )n∈N a pour
limite +∞ (resp. −∞) et on note limn→+∞ = +∞ (resp. −∞) si :
∀A > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 ,
un > A (resp. < −A).
Exemples. La suite (un )n∈N définie par un = n tend ver +∞ (l’entier n0 > A convient
pour faire la preuve).
Remarque. Une suite qui a pour limite +∞ (resp. −∞) ne converge pas car elle n’est
pas majorée (resp. minorée).
Exemple. La suite (un )n∈N définie par u2n = n et u2n+1 = 0 n’est pas majorée mais n’a
toutefois pas pour limite +∞.
4.4.2
Propriétés
Proposition 4.4.1. Compatibilité avec ≤. Soit (un )n∈N une suite tendant vers +∞.
Pour toute suite (vn )n∈N une suite telle que :
∃n0 ∈ N,
∀n ≥ n0 ,
un ≤ vn ,
on a limn→+∞ vn = +∞.
Démonstration : Soit A > 0, comme limn→+∞ un = +∞, il existe n1 ∈ N tel que si
n ≥ n1 alors un > A. Posons n1 = max{n0 , n1 }. Si n ≥ n2 alors vn ≥ un > A.
Conclusion : Soit A > 0, il existe n2 ∈ N tel que si n ≥ n2 alors vn > A. ♦
Proposition 4.4.2. Opérations sur les limites infinies : Soit(un )n∈N une suite tendant vers +∞, alors limn→+∞ u1n = 0.
Si de plus (vn )n∈N est une suite minorée alors limn→+∞ (un + vn ) = +∞.
Si (vn )n∈N est une suite minorée par une constante c > 0 alors limn→+∞ (un vn ) = +∞.
Démonstration : 1- Soit ε > 0, considérons A = 1ε > 0, comme limn→+∞ un = +∞ il
existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 alors un > 1ε . On a alors pour n ≥ n0 , 0 < u1n < ε.
2- On a : ∀n ∈ N, c ≤ vn , on en déduit c+un ≤ un +vn . Comme limn→+∞ (c+un ) = +∞,
on obtient limn→+∞ (un + vn ) = +∞.
3- Considérons A = 1, comme limn→+∞ un = +∞, il existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 ,
un > 1 > 0. Comme 0 < c ≤ vn pour tout n ∈ N, on obtient que si n ≥ n0 , on a
0 < cun ≤ vn un . Comme limn→+∞ cun = +∞, on obtient limn→+∞ un vn = +∞. ♦
Il faut cependant faire très attention avec les opérations sur les limites infinies
n
on a limn→+∞ un = 0 mais u1n n’a pas pour limite +∞ ou −∞.
Exemple. 1- un = (−1)
n
2- un = n vn = −n on a un + vn = 0. Donc limn→+∞ un = +∞, limn→+∞ vn = −∞ et
limn→+∞ un + vn = 0.
3- un = n vn = n1 on a un vn = 1. Donc limn→+∞ un = +∞, limn→+∞ vn = 0 et
limn→+∞ un vn = 1.
28
4.4.3
CHAPITRE 4. LES SUITES RÉELLES
Suites monotones
Théorème 4.4.1. Toute suite croissante non majorée (resp. décroissante non minorée)
a pour limite +∞ (resp. −∞).
Démonstration : Soit (un )n∈N une suite croissante non majorée. Soit A > 0, comme
(un )n∈N n’est pas majorée il existe n0 ∈ N tel que un0 > A. Par croissance, on a :
∀n ≥ n0 , un ≥ un0 > A.
Conclusion : Soit A > 0, il existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 alors un > A. ♦
4.5
Théorème de Bolzano-Weierstrass
Définition 4.5.1. On appelle suite extraite de la suite (un )n∈N toute suite suite (vn )n∈N
de la forme
∀n ∈ N, vn = uφ(n)
où φ : N → N est strictement croissante.
Théorème 4.5.1. Si la suite (un )n∈N est bornée alors il existe une suite extraite de
(un )n∈N qui est convergente.
Démonstration : Soit (un )n∈N une suite bornée, on lui associe la suite (vn )n∈N définie
par
vn = sup{uk ; k ≥ n}.
Le réel vn est bien défini car la suite (un )n∈N est bornée. ; en particulier vn est un majorant
de l’ensemble {uk ; k ≥ n + 1} dont le sup est vn+1 . On a donc
∀n ∈ N, vn+1 ≤ vn .
La suite (vn )n∈N est décroissante et bornée (car (un )n∈N est bor,née) ; elle est donc convergente ; on note ` sa limite.
Construisons mainteant notre suite extraite. Soit N ∈ N, comme ` = lim vn , il existe
n→+∞
p ∈ N tel que si n ≥ p,
1
1
− ε < vn < ` + .
N
N
D’après la caractérisation du sup, pour n ≥ p, il existe q ≥ n tel que
`−
1
1
< uq ≤ vp < ` + .
N
N
On construit alors la fonction φ comme suit : on prend N = 1, p = p(1) associé et on
trouve φ(1) = q ≥ Max(p, 1) tel que
` − 1 < uφ(1) < ` + 1
et on pose q = φ(1). Supposons alors construits φ(1) · · · φ(k), on prend N =
p(k + 1) associé et on trouve φ(k + 1) = q ≥ Max(p, φ(k) + 1) tel que
`−
1
1
< uφ(k+1) < ` +
.
k+1
k+1
On obtient finalement :
∀k ∈ N, |uφ(k) − `| <
et la suite uφ(n) tend vers `. ♦
1
k
1
k+1 ,
p=
Chapitre 5
Fonctions, limite d’une fonction
5.1
5.1.1
Généralités
Définitions
Définition 5.1.1. On appelle fonction numérique de la variable réelle toute fonction f
de E vers F avec E et F sous-ensembles de R.
L’ensemble des réels ayant une image est appelé ensemble de définition de f et est
noté D ou Df .
→
− →
−
Représentation du graphe Soit un plan muni d’un repère (O, i , j ) (en général
orthonormé). On note C = {M (x, f (x)); x ∈ D}, l’ensemble C est appelé courbe
→
− →
−
représentative de f dans le repère (O, i , j ).
5.1.2
Exemples
1- Fonction identité : La fonction
Id : R → R
x 7→ x
est appelée fonction identité.
2- Fonction caractéristique d’un ensemble A : Soit A ⊂ R. La fonction
1A : R → R
1 si x ∈ A
x 7→
0 si x 6∈ A
est appelée fonction caractéristique de A.
3- Fonction polynôme : Soient n ∈ N et (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ Rn+1 avec an 6= 0. La
fonction
P : R → R
x 7→ a0 + a1 x + · · · + an xn
est appelée fonction polynôme de degré n.
4- Fonction rationnelle Soient P et Q deux polynômes, D = {x ∈ R; Q(x) 6= 0}. La
fonction
f: D → R
P (x)
x 7→ Q(x)
29
30
CHAPITRE 5. FONCTIONS, LIMITE D’UNE FONCTION
est appelée fonction rationnelle.
5- Fonction en escalier : Soient a et b deux réels avec a < b, n ∈ N∗ , (a0 , . . . , an ) ∈
[a, b]n+1 avec a = a0 < a1 < · · · < an = b, la fonction f est dite en escalier s’il existe
(λ0 , . . . , λn−1 ) ∈ Rn tels que :
∀i ∈ {0, . . . , n − 1}, ∀x ∈]ai , ai+1 [, f (x) = λi .
6- Partie entière : E(x) = [x] = max{k ∈ Z, k ≤ x}.
7- Logarithme et exponentielle notées x 7→ ex et x 7→ lnx. Le domaine de définition
du logarithme est R∗+ . La fonction x 7→ ex est une bijection de R dans R∗+ de bijection
réciproque x 7→ lnx.
8- Fonctions trigonométriques : Dans le plan P orienté muni d’un repère orthonormé
→
− →
−
direct (O, i , j ), on note I(1, 0), J(0, 1) et C le cercle de centre O et de rayon 1. Soient
−→ −−→
x ∈ [0, 2π] et M le point de C tel que la mesure (en radians) de l’angle orienté (OI, OM )
soit égale à x, on note OH la projection orthogonale de M sur (OI) et OK la projection
orthogonale de M sur (OJ). Par définition, on pose sin x = OK et cos x = OM . Ces
deux fonctions sont définies sur R et 2π périodiques. On définit la tangente par
tan x =
sin x
cos x
Dtan = R \
nπ
2
o
+ kπ; k ∈ Z .
9- Fonctions hyperboliques : La fonction
sh : R → R
x 7→
ex −e−x
2
est appelée sinus hyperbolique. La fonction
ch : R → R
x 7→
ex +e−x
2
est appelée cosinus hyperbolique. La fonction
th : R → R
x 7→ shx
chx
est appelée tangente hyperbolique. On a :
∀x ∈ R,
5.1.3
ch2 x − sh2 x = 1.
Fonctions périodiques, paires et impaires
Définition 5.1.2. Soit f une fonction définie sur D, f est périodique s’il existe un réel
T > 0 tel que pour tout x ∈ D, x + T ∈ D, x − T ∈ D et f (x + T ) = f (x). On dit que T
est une période de f .
f est paire (resp. impaire) si pour tout x ∈ D, −x ∈ D et f (−x) = f (x) (resp.
f (−x) = −f (x)).
Exemples :- Les fonctions cos, sin et tan sont 2π-périodiques.
- La fonction définie sur R par f (x) = sin 5x est 2π
5 -périodique (elle est aussi 2πpériodique).
- La fonction x 7→ x2 est paire et la fonction x 7→ x3 est impaire.
5.1. GÉNÉRALITÉS
31
Définition 5.1.3. Si f est définie sur R et s’il existe un plus petit réel T > 0 tel que
pour tout x ∈ R on a f (x + T ) = f (x), on dit que T est la période de f .
Exemple. T =
2π
5
est la période de f (x) = sin 5x
D = R.
Proposition 5.1.1. Dans un plan muni d’un repère orthogonal (O,~i, ~j) on note C la
courbe représentative de f : D → R.
1. f est paire si et seulement si C est symétrique par rapport à la droite x = 0.
2. f est impaire si et seulement si C est symétrique par rapport à 0.
3. T est une période de f si et seulement si C est invariante par toute translation de
vecteur kT~i avec k ∈ Z.
Application. Réduction de l’ensemble d’étude d’une fonction.
Démonstration (du point (3) de la proposition).
– Supposons que T soit une période de f alors kT est une période de f avec k ∈ Z.
Soit M (x, y) ∈ C. Comme y = f (x) = f (x + kT ) alors on a M 0 (x + kT, y) ∈ C avec
M 0 = tkT~i (M ).
– Supposons que C soit invariante par toute translation de vecteur kT~i avec k ∈ Z.
En particulier C est invariante par les translations de vecteurs T~i et −T~i.
Comme M (x, f (x)) ∈ C on a M (x + T, f (x)) ∈ C et M (x − T, f (x)) ∈ C d’où
f (x) = f (x + T ) = f (x − T ) avec x + T ∈ D et x − T ∈ D. T est bien une période
de f .
♦
5.1.4
Opérations
On note F(D, R)l’ensemble des fonctions définies sur D à valeurs dans R. Soient
(f, g) ∈ F 2 (D, R), λ ∈ R, on définit :
1. La somme de f et de g par : ∀x ∈ D, (f + g)(x) = f (x) + g(x).
2. Le produit de f et de g par : ∀x ∈ D, (f · g)(x) = f (x) · g(x).
3. Le produit de f par le réel λ par : ∀x ∈ D, (λf )(x) = λf (x).
4. Soit D1 = {x ∈ e; g(x) 6= 0}, sur D1 on définit l’inverse de g par : ∀x ∈
1
D1 , g1 (x) = g(x)
.
5. Soit D2 = {x ∈ D; g(x) ∈ D}, sur D2 la composée de f et de g par :
∀x ∈ D2 , f ◦ g(x) = f [g(x)].
5.1.5
Fonctions bornées
Soit f ∈ F(D, R), on dit que
1. f est majorée s’il existe M ∈ R tel que : ∀x ∈ D, f (x) ≤ M .
2. f est minorée s’il existe m ∈ R tel que : ∀x ∈ D, m ≤ f (x).
3. f est bornée si f est majorée et minorée.
32
CHAPITRE 5. FONCTIONS, LIMITE D’UNE FONCTION
5.1.6
Fonctions monotones
Soit f : D → R avec D1 ⊂ D.
1. f est croissante sur D1 si : ∀(x, x0 ) ∈ D12 , x ≤ x0 ⇒ f (x) ≤ f (x0 ).
2. f est décroissante sur D1 si : ∀(x, x0 ) ∈ D12 , x ≤ x0 ⇒ f (x0 ) ≤ f (x).
3. f est strictement croissante sur D1 si : ∀(x, x0 ) ∈ D12 , x < x0 ⇒ f (x) < f (x0 ).
4. f est strictement décroissante sur D1 si ∀(x, x0 ) ∈ D12 , x < x0 ⇒ f (x0 ) < f (x).
5. f est monotone sur D1 (resp. strictement monotone sur D1 ) si f est croissante ou
décroissante sur D (resp. strictement croissante ou décroissante sur D1 ).
Théorème. Soit f : D → R strictement monotone sur D. On a :
– f est une bijection de D sur f (D) et admet une fonction réciproque notée f −1 .
– f −1 est une bijection strictement monotone de f (D) sur D, f −1 a même monotonie
que f .
– Dans un plan muni d’un repère (O,~i, ~j) orthonormé C et C 0 courbes représentatives
de f et f −1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Démonstration : On suppose f strictement croissante. (Le cas f strictement décroissante se traite de manière analogue.)
1. Soit (x, x0 ) ∈ D2 avec x 6= x0 si x < x0 alors on a f (x) < f (x0 ) et si x0 < x alors on
a f (x0 ) < f (x). Dans chacun des cas, on a f (x) 6= f (x0 ).
2. Soit (y, y 0 ) ∈ (f (D))2 , on a y = f (x) i.e. x = f −1 (y) et y 0 = f (x0 ) i.e. x0 = f −1 (y 0 ).
−1
−1 (y 0 )
x−x0
= f (x)−f
On a y 6= y 0 et f (y)−f
y−y 0
(x0 ) . Comme f est strictement croissante
x−x0
f (x)−f (x0 )
> 0, si y < y 0 on a f −1 (y) < f −1 (y 0 ). f −1 est strictement croissante.
♦
5.2
Limites
Soit I est un intervalle de R et x0 ∈ I (l’ensemble I n’a pas été définie, on veut dire
par là que x0 est un point de I ou un point du bord de I, ex :I =]a, b] et x0 = a).
5.2.1
Définitions
Définition 5.2.1. Soient f : I → R, on dit que f tend vers ` en x0 si
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I, |x − x0 | < α ⇒ |f (x) − `| < ε.
"On peut rendre f (x) aussi proche que l’on veut de ` à condition de prendre x suffisamment proche de x0 ".
Propriété 5.2.1. Si la limite existe, elle est unique.
Démonstration Supposons que f admette deux limites `1 et `2 . Soit ε > 0, d’après la
définition de la limite, il existe α1 > 0 tel que :
∀x ∈ I, |x − x0 | < α1 ⇒ |f (x) − `1 | < ε,
et il existe α2 > 0 tel que :
∀x ∈ I, |x − x0 | < α2 ⇒ |f (x) − `2 | < ε.
5.2. LIMITES
33
Soit α(ε) = min (α1 , α2 ), pour tout x ∈ I tel que |x − x0 | < α on a :
|`1 − `2 | = |`1 − f (x) − `2 + f (x)| ≤ |f (x) − `2 | + |f (x) − `1 | < ε + ε ≤ 2ε.
On a donc : ∀ε > 0 |`1 − `2 | < ε, d’où `1 = `2 . ♦
Notation. lim f (x) = `.
x→x0
Exemples : 1- Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x. Montrons lim f (x) = 2.
x→1
Soit x ∈ D1 , on a :
vérifie
|f (x) − 2| = |2x − 2| = 2|x − 1|. Soit ε > 0 et α = 2ε , α > 0 et α
∀x ∈ R, |x − 1| <
ε
⇒ |f (x) − 2| < ε.
2
On a donc montré que lim f (x) = 2.
x→1
2- Soit f la fonction définie sur R∗ par f (x) = x sin x1 . Montrons lim f (x) = 0.
x→0
Soit x ∈ D, on a :
|f (x) − 0| = x sin
1 ≤ |x|
x
sin
1 ≤ |x|.
x
Soit ε > 0 et α = ε, on a laors tel que :
∀x ∈ R∗ , |x| < ε ⇒ |f (x) − 0| ≤ |x| < ε.
On a donc montré que lim x sin
x→0
5.2.2
1
= 0.
x
Limites à droite et à gauche
Définition 5.2.2. Soit f : I → R, on dit que f admet ` pour limite à droite (resp. à
gauche) en x0 si :
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ D, 0 < x − x0 < α ⇒ |f (x) − `| < ε
(resp. −α < x − x0 < 0 ⇒ |f (x) − `| < ε).
Par une démonstration analogue à celle de la proposition 5.2.1, on montre l’unicité de la
limite à droite et de la limite à gauche.
!
Notation. x→x
lim f (x) = `
0
x>x0
resp. x→x
lim f (x) = `
0
x<x0
Exemple. : Pour la fonction partie entière,
lim E(x) = 1 et lim E = 0.
x→1
x>1
5.2.3
x→1
x<1
Extension de la notion de limites
Limites infinies en un point x0 . Soit f : I → R et x0 ∈ I. On dit que f tend vers
+∞ (resp. −∞) en x0 si
∀A > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I, |x − x0 | < α ⇒ f (x) > A.
(resp. f (x) < −A).
On note : lim f (x) = +∞ et
x→x0
lim = −∞.
x→x0
34
CHAPITRE 5. FONCTIONS, LIMITE D’UNE FONCTION
Limites finies en +∞ (−∞). Soit f une fonction définie sur un intervalle non borné,
I = [b, +∞[ (resp. I =] − ∞, b]). On dit que f tend vers ` en l’infini si :
∀ε > 0, ∃A > 0, ∀x ∈ I, x > A ⇒ |f (x) − `| < ε.
(resp. x < −A ⇒ (f (x) − `) < ε).
On note : lim f (x) = ` (resp. lim f (x) = `).
x→+∞
x→−∞
Limites infinies en +∞ (−∞). Soit f une fonction définie sur un intervalle non borné,
I = [b, +∞[ (resp. I =] − ∞, b]). On dit que f tend vers +∞ en l’infini si
∀A > 0, ∃B > 0, ∀x ∈ I, x > B ⇒ f (x) > A.
(resp. x < −A ⇒ f (x) > A).
On note : lim f (x) = +∞ (resp. lim f (x) = +∞).
x→+∞
x→−∞
On dit que f tend vers +∞ en l’infini si
∀A > 0, ∃B > 0, ∀x ∈ I, x > B ⇒ f (x) < −A.
(resp. x < −A ⇒ f (x) < −A).
On note : lim f (x) = −∞ (resp. lim f (x) = −∞).
x→+∞
x→−∞
Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 . Montrons
lim = +∞ et
x→+∞
Soit A > 0 et B =
√
A, alors pour x >
√
lim = +∞.
x→−∞
√
A et pour x < − A on a x2 > A.
Propriété 5.2.2. Soit f : I → R telle que limx→x0 f (x) = `. Il existe un intervalle ouvert
J centré en x0 tel que f soit bornée sur J ∩ I.
Soit f : [b, +∞[→ R (resp. ] − ∞, b[) telle que limx→+∞ f (x) = ` (resp. limx→−∞ f = `)
avec ` ∈ R. Il existe un intervalle ouvert J =]b0 , +∞[, b0 ≥ b (resp. J =] − ∞, b0 [) tel que
f soit bornée sur J.
Démonstration : - Cas x0 ∈ R. Soit ε = 1, comme lim f (x) = ` il existe α tel que :
x→x0
∀x ∈ I, |x − x0 | < α ⇒ |f (x) − `| < 1
Soit J =]x0 − α, x0 + α[, on a ∀x ∈ J ∩ I, ` − 1 ≤ f (x) ≤ ` + 1. -Cas x0 = +∞. Soit
ε = 1 comme lim f (x) = `, il existe A > 0 tel que :
x→+∞
∀x ∈ I, x >⇒ |f (x) − `| < 1.
Soit b0 = Max(A, b) on a : ∀x ∈ J ∩ I, ` − 1 ≤ f (x) ≤ ` + 1. ♦
5.2.4
Utilisation des suites pour caractériser une limite de fonction
Théorème 5.2.1. Soit f : D → R. Il y a équivalence entre :
1. lim f (x) = `,
x→x0
2. Pour toute suite (un ) de D telle que lim un = x0 on a lim f (un ) = `.
n→+∞
n→+∞
5.2. LIMITES
35
Remarque. x0 , ` éléments de R ∪ {−∞; +∞}.
Démonstration On s’intéresse au cas (x0 , `) ∈ R2 . (Les autres cas se traitent de manière
analogue).
1 ⇒ 2. Considérons une suite (un ) d’éléments de D telle que lim un = x0 . Soit ε > 0,
n→+∞
comme limx0 f = `, il existe α > 0 tel que :
∀x ∈ D, |x − x0 | < α(ε) ⇒ |f (x) − `| < ε
Comme
lim un = x0 , il existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 alors on a |un − x0 | < α).
n→+∞
Comme un ∈ D et si n ≥ n0 , |un − x0 | < α alors on a |f (un ) − `| < ε.
Conclusion : Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que si n ≥ n0 alors on a |f (un ) − `| < ε. On
a donc montré que lim f (un ) = `.
n→+∞
2 ⇒ 1. Pour montrer 2 ⇒ 1 on va raisonner par contraposition en montrant non 1 ⇒
non 2. La proposition non 1 s’écrit
∃ε > 0, ∀α > 0, ∃xα ∈ D, |x − xα | < α et |f (xα ) − `| ≥ ε.
Considérons des α particuliers de la forme n1 pour n ∈ N∗ . On construit ainsi xn ∈ D
tel que |xn − x0 | < n1 et |f (xn ) − `| ≥ ε. D’après le théorème des gendarmes on a
lim xn = x0 . Comme il existe ε > 0 tel que pour tout n ∈ N∗ , on a |f (xn ) − `| ≥ ε,
n→+∞
la suite (f (xn )) ne converge pas vers `. On a donc trouvé une suite (xn ) de D telle que
lim xn = x0 et f (xn ) ne tend pas vers `, soit non 2. ♦
n→+∞
Remarque : 1 ⇒ 2 permet d’étudier certaines suites et permet de montrer qu’une
fonction n’a pas de limite. Par exemple, f (x) = sin x1 D = R∗ f n’a pas de limite en 0.
5.2.5
Opérations sur les limites
Théorème 5.2.2. (Composition). Soient f : D → R et g 0 : D0 → R telles que f (D) ⊂
D0 . Si lim f (x) = ` et lim g(x) = L alors on a
x→x0
x→`
lim g ◦ f (x) = L.
x→x0
Démonstration : On s’intéresse au cas (x0 , `, L) ∈ R3 (les autres cas se traitent de
manière analogue). Soit ε > 0, comme lim g(y) = L, il existe α > 0 tel que :
y→`
∀y ∈ D0 , |y − `| < α ⇒ |g(y) − L| < ε
Considérons α > 0, comme lim f (x) = `, il existe η > 0 tel que :
x→x0
∀x ∈ D, |x − x0 | < η ⇒ |f (x) − `| < α.
Comme f (D) ⊂ D0 on a f (x) ∈ D0 pour tout x ∈ D et on en déduit |g(f (x)) − L| < ε si
x ∈ D et |x − x0 | < η.
Conclusion : ∀ε > 0, ∃η(ε) > 0, ∀x ∈ D, |x − x0 | < η(ε) ⇒ |g ◦ f (x) − L| < ε ♦
Exemple : On a lim
x→4
√
2x + 1 = 3 car lim 2x + 1 = 9 et lim
x→4
x→9
√
x = 3.
36
CHAPITRE 5. FONCTIONS, LIMITE D’UNE FONCTION
Théorème 5.2.3. Soient f , g : D → R telles que lim f = ` et lim g = `0 avec (`, `0 ) ∈ R2
x→x0
x0
alors on a :
1. lim |f (x)| = |`|.
x→x0
2. lim (f + g)(x) = ` + `0
lim (f g)(x) = ``0 .
1
`
1
f
(x) = 0 .
3. De plus si ` 6= 0, lim
= 0 lim
x→x0 g(x)
` x→x0 g
`
x→x0
x→x0
Remarque. x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}.
Démonstration : On s’intéresse au cas x0 ∈ R (les autres cas se traitent de manière
0
analogue). Montrons le 3.. D’après 1. on a lim |g(x)| = |`0 |. Considérons ε = `2 , il existe
x→x0
α > 0 tel que :
∀x ∈ D, |x − x0 | < α ⇒ ||g(x)| − |`0 || < ε.
0
0
0
0
Comme ||g(x)| − |`0 || > |`2 | équivaut à |`0 | − |`2 | < |g(x)| < |`0 | + |`2 | , on a |g(x)| < |`2 | > 0.
Notons D0 = D∩]x0 −α, x0 +α[, pour tout x ∈ D∩]x0 −α, x0 +α[, g(x) 6= 0. On peut donc
considèrer g1 sur D0 . Pour montrer les résultats sur les limites, on applique les théorèmes
analogues sur les suites et le Théorème 5.2.1. ♦
En résumé :
limx0 f
` 6= 0
−∞
+∞
−∞
+∞
0
0
0
5.2.6
limx0 g
+∞
`0 6= 0
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
0
limx0 f + g
+∞
−∞
+∞
−∞
?
+∞
−∞
0
limx0 f g
sgn(`)∞
sgn(−`0 )∞
+∞
+∞
−∞
?
?
0
limx0 fg
0
sgn(−`0 )∞
?
?
?
0
0
?
Limites et inégalités
Théorème 5.2.4. Soient f , g, h : D → R et I un intervalle ouvert contenant x0 .
Si ∀x ∈ D ∩ I, f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) et lim f (x) = lim h = ` alors on a lim g(x) = `.
x→x0
x0
x→x0
Si ∀x ∈ D ∩ I, f (x) ≤ g(x) et lim f (x) = +∞ alors on a lim g(x) = +∞.
x→x0
x→x0
Si ∀x ∈ D ∩ I, f (x) ≤ g(x) et lim g(x) = −∞ alors on a lim f (x) = −∞.
x→x0
x→x0
Remarque. Si x0 ∈ {−∞, +∞}, I est un intervalle du type ] − ∞, a[ avec a ∈ R, du
type ]a, +∞[ avec a ∈ R.
Démonstration On applique les théorèmes analogues sur les suites et le Théorème 5.2.1.
♦
Chapitre 6
Continuité d’une fonction numérique
Soit I un intervalle de R contenant un point {x0 } et non réduit à {x0 }.
6.1
Définitions
Définition 6.1.1. Soit f : I → R, la fonction f est continue en x0 si lim f (x) = f (x0 )
x→x0
i.e.
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I, |x − x0 | < α ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.
Définition 6.1.2. Soit f : I → R, la fonction f est continue sur I si f est continue en
tout point de I.
Notation. On note C0 (I) l’ensemble des fonctions continues sur I.
Exemples :
– Les fonctions constantes sont définies et continues sur R.
– La fonction id est continue sur R.
– La fonction sinus est continue sur R. En effet, soit x0 ∈ R, on a
sin x − sin x0 = 2 sin
0
Comme sin x−x
≤
2
|x − x0 | ; d’où
|x−x0 |
2
x − x0
x + x0
cos
.
2
2
0|
0
et cos x+x
≤
≤ 1 on a | sin x − sin x0 | ≤ 2 |x−x
2
2
∀ε > 0, ∃α > 0 (α = ε), |x − x0 | < ε ⇒ | sin x − sin x0 | < ε.
Définition 6.1.3. Soit f : I → R telle que I contienne un intervalle du type [x0 , x0 + h[
(resp. ]x0 − h, x0 ]) avec h > 0. La fonction f est continue à droite (resp. à gauche) en x0
si lim f (x) = f (x0 ) (resp. lim f = f (x0 )).
x→x0 +
x→x0 −
La fonction f est continue en x0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche
en x0 .
Exemple. Soit E(x) = [x]. La fonction E est continue à droite en 1 car limx→1 E(x) =
x>1
1 = [1]. La fonction E n’est pas continue à gauche en 1 car limx→1 E(x) = 0 et 0 6= [1].
La fonction E n’est donc pas continue en 1.
37
x<1
38
6.2
CHAPITRE 6. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE
Prolongement par continuité
Définition 6.2.1. Si f est définie sur I \ {x0 } et admet une limite ` en x0 , la fonction
f˜ définie sur D par f˜(x) = f (x) si x ∈ D \ {x0 } et f˜(x0 ) = ` est appelée le prolongement
par continuité de f en x0 .
Remarque. La fonction f˜ est bien sûr continue en x0 et f˜(x0 ) = `.
Exemple. Soient f la fonction définie sur R∗ par f (x) = x sin x1 et g la fonction définie
par g(x) = x sin x1 si x ∈ R∗ et g(0) = 0. La fonction g est le prolongement par continuité
de f en 0.
6.3
Caractérisation de la continuité en un point à l’aide des
suites.
Théorème 6.3.1. Soit f : I → R, la fonction f est continue en x0 si et seulement si
pour toute suite (xn ) d’éléments de D vérifiant limn→+∞ xn = x0 on a limn→+∞ f (xn ) =
f (x0 ).
Démonstration : La même que celle du Théorème 5.2.1 dans laquelle on remplace ` par
f (x0 ). ♦
Application. Soit f : R → R continue sur R et (un )n∈N la suite définie par
un+1 = f (un ), n ∈ N
u0 ∈ R
Si la suite (un ) converge vers une limite finie ` alors f (`) = `.
6.4
Opérations sur la continuité des fonctions en un point.
A partir des théorèmes sur les opérations sur les limites en un point, on obtient des
théorèmes analogues pour la continuité en remplaçant dans les démonstrations la limite `
par f (x0 ).
Théorème 6.4.1. Soient f : I → R et g : J → R telles que f (I) ⊂ J. Si f est continue
en x0 et g est continue en f (x0 ) alors g ◦ f est continue en x0 .
Exemple. La fonction cosinus en continue sur R. En effet, on a cos x = sin π2 − x =
sin ◦h(x) avec h(x) = π2 − x.
Théorème 6.4.2. Si f, g : I → R sont continues en x0 alors |f |, f +g, f g sont continues
en x0 . Si de plus, g(x0 ) 6= 0 alors g1 et fg sont continues en x0 .
Exemples :
– Toute fonction polynôme est continue sur R car elle est déduite de x 7→ x et Id par
un nombre fini de multiplications et d’additions.
– Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
– La fonction tangente est continue sur son ensemble de définition.
6.5. CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE (PROPRIÉTÉS GLOBALES)
6.5
39
Continuité sur un intervalle (propriétés globales)
Théorème 6.5.1. (Théorème des valeurs intermédiaires). Soient f : I → R, a et b
deux réels de I. Si f est continue sur I alors pour tout ` compris entre f (a) et f (b) il
existe au moins un x0 de I compris entre a et b tel que ` = f (x0 ).
L’image d’un intervalle par une fonction continue est donc un intervalle mais il n’est pas
forcément de même nature.
1 2
Remarques.
1 -Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x ; considérons I = − 2 , 1 .
Alors f − 2 , 1 = [0, 1] ; les intervalles I et f (I) ne sont pas de même nature. La valeur
1
1 2 1
1 2
=
−
; 16 est atteinte 2 fois. - Considérons E(x) = [x], E n’est pas continue
=
16
4
4
et E ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires.
Démonstration : On peut supposer a < b (sinon b < a).
1- Supposons d’abord f (a) < f (b), soit ` tel que f (a) ≤ ` ≤ f (b). Considérons
A = {x ∈ [a, b]; f (x) ≤ `};
comme f (a) ≤ `, l’ensemble A est une partie non vide et majorée (par b) de R donc A
admet une borne supérieure. Notons x0 = sup A. On a l’inégalité a ≤ x0 ≤ b. Montrons
f (x0 ) = `. On distingue différents cas.
1er cas : x0 = b. Comme x0 = sup A on a : ∀ε > 0, ∃xε ∈ A, b − ε < xε ≤ b.
En particulier on a : ∀n ∈ N∗ , ∃xn ∈ A, b − n1 < xn ≤ b.
Comme limn→+∞ b − n1 = b, d’après le théorème des gendarmes on a limn→+∞ xn = b.
Comme f est continue en b on obtient limn→+∞ f (xn ) = f (b). Puisque xn ∈ A, on a
f (xn ) ≤ ` et limn→+∞ f (xn ) ≤ `. On a montré que f (b) ≤ `. Par hypothèse ` ≤ f (b) on
en déduit f (b) = `.
2ème cas
: x0 = a. Pour n assez grand, a + n1 ∈ [a, b]. Comme a + n1 6∈ A, on
a f a + n1 > `. Puisque limn→+∞ a + n1 = a et f est continue en a, on obtient
limn→+∞ f a + n1 = f (a) et f (a) ≥ `. Par hypothèse f (a) ≤ `, on en déduit f (a) = `.
3ème cas : x0 ∈]a, b[. Comme x0 = sup A on a : ∀n ∈ N∗ , ∃xn ∈ A, x0 − n1 ≤ xn ≤ x0 .
Comme limn→+∞ x0 − n1 = x0 , d’après le théorème des gendarmes on a limn→+∞ xn = x0 .
f étant continue en x0 , on a limn→+∞ f (xn ) = f (x0 ). Comme xn ∈ A f (xn ) ≤ ` et
limn→+∞ f (xn ) ≤ `. On a montré que
x0 + n1 ∈ [a, b].
f (x0 ) ≤ `. Pour n assez grand,
1
1
1
Puisque x0 + n 6∈ A, on a f x0 + n > `. Comme limn→+∞ x0 + n= x0 et f continue
en x0 on obtient limn→+∞ f x0 + n1 = f (x0 ) et limn→+∞ f x0 + n1 ≥ ` soit f (x0 ) ≥ `.
On en déduit f (x0 ) = `.
2- Supposons maintenant f (b) ≤ f (a) Soit ` tel que f (b) ≤ ` ≤ f (a) on a alors −f (a) ≤
−` ≤ −f (b). D’après ce qui précède appliqué à −f et −` il existe x0 ∈ [a, b] tel que
−` = −f (x0 ) ou f (x0 ) = `. ♦
Corollaire. Soient f : I → R et a et b deux réels de I tels que f (a)f (b) < 0. Si f est
continue sur I alors f s’annule au moins une fois entre a et b.
Théorème 6.5.2. (ADMIS) Soit f : [a, b] → R avec a et b deux réels tels que a < b. Si
f est continue sur [a, b] alors f ([a, b]) = [m, M ] avec m et M réels. De plus f atteint ses
bornes.
40
CHAPITRE 6. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE
6.6
Fonctions réciproques
Théorème 6.6.1. Soit f : I → R une fonction continue, strictement monotone
1. f (I) est un intervalle et f est une bijection de I sur f (I).
2. La fonction réciproque de f , notée f −1 est une bijection de f (I) sur I. f −1 est une
bijection de f (I) sur I, continue, strictement monotone et de même monotonie que
f.
Démonstration On suppose f strictement croissante. (Le cas f strictement décroissante
se traite de manière analogue.)
1. Comme I est un intervalle et f est continue, f (I) est un intervalle : c’est le théorème
des valeurs intermédiaires. f est une bijection de I sur f (I) : déjà vu.
2. f −1 est une bijection de f (I) sur I, f −1 est strictement croissante, déjà vu.
Montrons que f −1 est continue en y0 ∈ f (I), on a y0 = f (x0 ) avec x0 ∈ I i.e. x0 =
f −1 (y0 ). Montrons que :
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀y ∈ f (I), |y − y0 | < η ⇒ |f −1 (y) − f −1 (y0 )| < ε.
On suppose que x0 n’est
pas une extrémité de I. Il existe α > 0 tel que ]x0 −α, x0 +α[⊂ I.
Posons ε1 = min α2 , ε . On a x0 −ε1 < x0 < x0 +ε1 . Comme f est strictement croissante,
on a :f (x0 − ε1 ) < y0 < f (x0 + ε1 ). On peut trouver η > 0 tel que f (x0 − ε1 ) < y0 − η et
y0 + η < f (x0 + ε1 ). Si y0 − η < y < y0 + η alors on a :
f −1 [f (x0 − ε1 )] < f −1 (y0 − η) < f −1 (y) < f −1 (y0 + η) < f −1 ◦ f (x0 )
On en déduit x0 − ε1 < f −1 (y) < x0 + ε1 . On obtient |f −1 (y) − f −1 (y0 )| < ε1 ≤ ε. Si
y ∈ f (I) et si |y − y0 | < η alors on a f −1 (y) − f −1 (y0 )| < ε. ♦
Remarque. Pour montrer la continuité de f −1 on n’utilise pas la continuité de f .
Exemples.
– La fonction sin : − π2 , π2 → [−1, 1] est continue, strictement croissante. C’est une
bijection de − π2 , π2 sur [−1, 1]. Elle admet une fonction réciproque appelée arcsinus
qui est une bijection strictement croissante et continue de [−1, 1] sur − π2 , P2 .
y = sin
πx π ⇔ x = arcsin y
x ∈ −2, 2
y ∈ [−1, 1]
– La fonction cos : [0, π] → [−1, 1] est continue, strictement décroissante. C’est une
bijection de [0, π] sur [−1, 1]. Elle admet une fonction réciproque appelée arccosinus
qui est une bijection strictement décroissante et continue de [−1, 1] sur [0, π].
y = cos x
x = arccos y
⇔
x ∈ [0, π]
y ∈ [−1, 1]
π π
– La fonction tan : − 2 , 2 → R est continue, strictement croissante. C’est une bijection de − π2 , π2 sur R.
Elle admet une fonction réciproque appelée
qui est une bijection stric π arctangente
π
tement croissante et continue de R sur − 2 , 2 .
y = tan
x
π π ⇔ x = arctan y
x ∈ −2, 2
y ∈ R
6.6. FONCTIONS RÉCIPROQUES
41
f : R+ → R+
, n ∈ N∗ , est continue, strictement croissante. C’est
x
7→ xn
une bijection de R+ sur R+ .
Elle admet une fonction réciproque appelée racine nème qui est une bijection strictement croissante et continue de R+ sur R+ .
– La fonction
f: R → R
est continue, strictement croissante n = 2p + 1.
x 7→ xn
f est bijective de R sur R.
Elle admet une fonction réciproque appelée racine (2p + 1)ème qui est une bijection
strictement croissante et continue de R sur R.
– Si n est impair
42
CHAPITRE 6. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE
Chapitre 7
Fonctions numériques - Dérivabilité
Dans ce chapitre, I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point et x0 est
un point de I.
7.1
Définitions et premières propriétés
f (x0 + h) − f (x0 )
h
existe dans R. Cette limite est alors notée f 0 (x0 ) et appelée dérivée de f en x0 .
Définition 7.1.1. Soit f : I → R. On dit que f est dérivable en x0 si lim
h→0
(x0 )
Le rapport f (x0 +h)−f
avec h 6= 0 est appelé le taux d’accroissement (ou taux de
h
variation) de f entre x0 et x0 + h.
Définition 7.1.2. Soit f : I → R. On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en
tout point de I. On appelle fonction dérivée de f la fonction, notée f 0 , qui à chaque x
de I associe f 0 (x).
De façon équivalente, la fonction f est dérivable en x0 si lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
existe.
x − x0
Exemples :
1- Les fonctions constantes sont dérivables sur R et leur dérivée est nulle.
En effet, supposons f (x) = λ pour tout x ∈ R, alors, pour x0 ∈ R, h 6= 0, f (x0 + h) −
f (x0 ) = 0. On en déduit
f1 (x0 + h) − f1 (x0 )
lim
= 0.
h→0
h
2- La fonction x 7→ xn , n ∈ N est dérivable de dérivée nxn−1 .
Soit x0 ∈ R, si h 6= 0 on a
f2 (x0 + h) − f2 (x0 )
(x0 + h)n − xn0
=
.
h
h
Comme (x0 +h)n −xn0 = (x0 +h−x0 )((x0 +h)n−1 +(x0 +h)n−2 x0 +· · ·+(x0 +h)xn−2
+x0n−1 ),
0
il s’ensuit
(x0 + h)n − xn0
lim
= lim (x0 +h)n−1 +(x0 +h)n−2 x0 +· · ·+(x0 +h)x0n−2 +x0n−1 = nx0n−1 .
h→0
h→0
h
3- La fonction x 7→ sinx est dérivable sur R de dérivée cosx.
En effet, soit x0 ∈ R, si h 6= 0 on a
sin(x0 + h) − sin x0
2
h
h
= sin cos x0 +
.
h
h
2
2
43
44
CHAPITRE 7. FONCTIONS NUMÉRIQUES - DÉRIVABILITÉ
sin x
2
h
h
= cos x0 , on en
Puisque lim
= 1 on a lim sin = 1, et comme lim cos x0 +
x→0 x
h→0 h
h→0
2
2
déduit
sin(x0 + h) − sin x
lim
= cos x0 .
h→0
h
4- De même on montre que la dérivée de x 7→ cosx est la fonction −sinx.
Définition 7.1.3. Soit f : I → R, f est dérivable à droite (resp. à gauche) en x0
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
si lim
(resp. lim
) existe dans R. Cette limite est
h→0
h→0
h
h
h>0
h<0
alors notée fd0 (x0 ) (resp. fg0 (x0 )) et appelée dérivée à droite (resp. à gauche) en x0 .
Exemple. La fonction f : x 7→ |x| vérifie fd0 (0) = 1 et fg0 (0) = 1.
Une fonction est dérivable en un point x0 si et seulement si elle est dŕivable à gauche et
à droite avec des dérivées à gauche et à droite égales.
Interprétation graphique.
– C est la courbe représentative de f : I → R dans un plan muni d’un repère
orthonormé (O,~i, ~j). Si f est dérivable en x0 , alors C admet une tangente en
M0 (x0 , f (x0 )) qui est la droite passant par M0 et de coefficient directeur f 0 (x0 ).
Son équation est : y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Lorsque x tend vers x0 , M tend vers
M0 en restant sur C et la sécante (M0 M ) tend vers la tangente (M0 T ) qui a pour
coefficient directeur f 0 (x0 ).
(x0 )
(x0 )
– Soit ` ∈ {−∞, +∞}, si limh→0 f (x0 +h)−f
= ` (resp. limh→0 f (x0 +h)−f
=`,
h
h
h>0
limh→0
h<0
f (x0 +h)−f (x0 )
h
= `), on dit alors que C admet en M0 (x0 , f (x0 )) une tangente
(resp. demi-tangente à droite, à gauche) parallèle à l’axe des y.
Exemple. Soit f la fonction définie sur R+ par f (x) =
1
et lim √ = +∞.
h→0
h
√
√
x. Si h > 0, on a
√
h− 0
h
=
√1
h
Propriété 7.1.1. Soit f : I → R. Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0 .
Démonstration. On a
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Il s’ensuit lim f (x) = f (x0 ). ♦
x→x0
La réciproque est fausse : la fonction x 7→ |x| est continue en 0 mais n’est pas dérivable
en 0.
7.2
Opérations
En pratique, on dérive très souvent une fonction en la décomposant en fonctions plus
simples que l’on sait dériver à l’aide des résultats suivants :
Théorème 7.2.1. Si f, g : I → R sont dérivables en x0 et si λ est un réel alors :
1. f + g est dérivable en x0 et on a (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ).
7.2. OPÉRATIONS
45
2. λf est dérivable en x0 et on a (λf )0 (x0 ) = λf 0 (x0 ).
3. f g est dérivable en x0 et on a (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ).
4. Si de plus g(x0 ) 6= 0, il existe D = I∩]x0 − α, x0 + α[ tel que pour tout x ∈ D on a
g(x) 6= 0 et :
0
0
0)
5. g1 est dérivable en x0 et on a g1 (x0 ) = − gg2(x
.
(x0 )
0
0
(x0 )g 0 (x0 )
.
6. fg est dérivable en x0 et on a fg (x0 ) = f (x0 )g(xg02)−f
(x0 )
Démonstration : On applique le théorème sur les limites de fonctions en x0 après avoir
fait les bonnes transformations du taux d’accroissement.
(x0 )+g(x0 ))
(x0 )
1. Si x 6= x0 , on a f (x)+g(x)−(f
= f (x)−f
+
x−x0
x−x0
limite on obtient (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ).
g(x)−g(x0 )
.
x−x0
Par passage à la
(x0 )
(x0 )
2. Si x 6= x0 , on a λf (x)−λf
= λ f (x)−f
. Le passage à la limite donne l’égalité :
x−x0
x−x0
(λf )0 (x0 ) = λf 0 (x0 ).
g(x0 )
(x0 )
0)
3. Si x 6= x0 , comme f g(x)−f
= f (x)−f
g(x) + g(x)−g(x
f (x0 ), on obtient
x−x0
x−x0
x−x0
(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ) par passage à la limite.
g(x0 )−g(x)
g(x)−g(x0 )
1
1
1
1
1
4. Si x 6= x0 , on a (x−x
−
.
× g(x)g(x
x−x0
g(x)
g(x0 ) = (x−x0 ) × g(x)g(x0 ) =
0)
0)
0
0
0)
En passant à la limite, on obtient l’égalité souhaitée : g1 (x0 ) = − gg2(x
.
(x0 )
5. Pour
f
g
on combine 3 et 4.
♦
Exemples.
– Toute fonction polynôme, toute fonction rationnelle est dérivable sur
son ensemble de définition.
– sin0 x = cos x et cos0 x = − sin
x
– Soit D = R \ π2 + kπ; k ∈ Z ∀x ∈ D, tan0 x = 1 + tan2 x = cos12 x
Théorème 7.2.2. (Dérivée de la composée de deux fonctions) Soient f : I → R
et g : J → R avec J intervalle non vide non réduit à un point telles que f (I) ⊂ J. Si f
est dérivable en x0 et g dérivable en f (x0 ) alors g ◦ f est dérivable en x0 et on a :
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) × f 0 (x0 )
Démonstration : On écrit
g(f (x)) − g(f (x0 )
g(f (x)) − g(f (x0 )) f (x) − f (x0 )
=
.
x − x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
g(y) − g(f (x0 ))
= g 0 (f (x0 ) et des théorèmes sur la limite d’une
y − f (x0 )
y→f (x0 )
composée de fonctions, on obtient
Compte tenu de
lim
lim
x→x0
g(f (x)) − g(f (x0 ))
= g 0 (f (x0 )).
f (x) − f (x0 )
Le théorème sur la limite d’un produit de fonctions donne
lim
x→x0
♦
g(f (x)) − g(f (x0 )
= g 0 (f (x0 )) × f 0 (x0 ).
x − x0
46
CHAPITRE 7. FONCTIONS NUMÉRIQUES - DÉRIVABILITÉ
Théorème 7.2.3. Dérivée d’une fonction réciproque Soient f : I → R continue,
strictement monotone et J = f (I). Si f est dérivable en x0 et si f 0 (x0 ) 6= 0 alors f −1 est
dérivable en y0 = f (x0 ) et on a (f −1 )0 (y0 ) = f 0 (f −11 (y0 )) .
Démonstration. Soit y = f (x) et y0 = f (x0 ), lorsque x tend vers x0 , y tend vers y0 .
On a
f −1 (y) − f −1 (y0 )
x − x0
=
,
y − y0
f (x) − f (x0 )
d’où lim → y0
y
1
f −1 (y) − f −1 (y0 )
= 0
.♦
y − y0
f (x0 )
Remarques. Si f 0 (x0 ) = 0 la preuve ci-dessus nous donne que la courbe représentative
de f −1 admet en y0 = f (x0 ) une tangente parallèle à (y 0 y).
Application :
1. ∀x ∈ R, exp0 (x) = exp x.
En effet, on a
(exp)0 (x) = (ln−1 )0 (x) =
1
1
= 0
=
−1
ln (exp x)
ln (ln x)
0
1
1
exp x
= exp x.
2. Soient α ∈ R et fα (x) = xα = xα ln x ,∀x ∈ R∗+ , fα0 (x) = αxα−1 .
En effet fα0 (x) = αeα ln x × x1 = αeα ln x e− ln x = αe(α−1) ln x = αxα−1 .
√
3. De même, on montre que : ∀x ∈ R∗+ , ( x)0 = 2√1 x
4. Dérivées des fonctions Arctg, Arcsin et Arccos.
Arcsin0 (x) = √
7.3
1
1
1
, Arccos0 (x) = − √
, Arctg0 x =
.
2
2
1
+
x2
1−x
1−x
Dérivées successives
On convient de noter f (0) pour f .
Définition 7.3.1. Soit f : I → R une fonction. On définit les dérivées successives de
f par récurrence par : pour tout n ∈ N∗ , f (n) (x0 ) est, si elle existe, la dérivée de f (n−1)
en x0 ; f (n) est la fonction dérivée de f (n−1) .
On appelle dérivée nème de f en x0 le réel f (n) (x0 ). On appelle fonction dérivée nème
de f la fonction, notée f (n) , définie par : x 7→ f (n) (x). On dit que f est n fois dérivable
sur I si f (n) est définie sur I. On dit que f est indéfiniment dérivable sur I si f est n
fois dérivable sur I pour tout n ∈ N.
Exemples.
– ∀k ∈ N, ∀x ∈ R, exp(k) (x) = exp x.
(k)
– Soient n ∈ N et fn (x) = xn . Soit k ∈ N, si k ≤ n on a fn (x) = n(n − 1) × . . . (n −
(k)
n!
(k − 1))xn−k = (n−k)!
xn−k et si k ≥ n + 1 on a fn (x) = 0.
– Soient α ∈ R, fα (x) = xα = eα ln x , et D = R∗+ . On a vu que fα0 (x) = αfα−1 (x).
Par une récurrence immédiate, on montre que :
fα(k) (x) = α(α − 1) × · · · × (α − (k − 1))xα−k
avec k ∈ N.
7.3. DÉRIVÉES SUCCESSIVES
47
– Considérons f (x) = ln x avec D = R∗+ . On a ln0 x =
(k)
ln
1
x
et
(k−1)
k − 1)! 1
(k − 1)!
1
= (−1)k−1
= (−1)k−1
(x) =
k
x
(1 − 1)! x
xk
avec k ∈ N∗ .
– A partir de sin0 x = cos x = sin x + π2 et cos0 x = − sin x = cos x + π2 , on montre
par récurrence que :
π
π
∀k ∈ N, ∀x ∈ R, sin(k) (x) = sin x + k
et cos(k) (x) = cos x + k
.
2
2
Définition 7.3.2. Soit f : I → R une fonction et n ∈ N. On dit que f est de classe
C n sur I si f est n fois dérivable sur I et si f (n) est continue sur I. On dit que f est de
classe C ∞ si f est indéfiniment dérivable sur I.
On peut montrer que l’ensemble C n est stable par l’addition, la multiplication, la multiplication par une constante.
Formule de Leibniz . Soient f, g : I → R deux fonctions n fois dérivables sur I alors
f g est n fois dérivable sur I et
n X
n (k) (n−k)
(n)
(f g) =
f g
.
k
k=0
Démonstration : Cette formule se montre par récurrence. Le cas n = 1 a été vu (théorème 7.2.1). Soit n ≥ 1. Supposons la propriété
au rang n et soient f, g : I → R
P vraie
n + 1 fois dérivables sur I. On a (f g)(n) = nk=0 nk f (k) g (n−k) . (f g)(n) apparaît comme
somme de produits de fonctions dérivables sur I, donc est dérivable sur I et :
!0
n n 0
X
X
n
n
(n)
(k) (n−k)
f (k+1) g (n−k) + f (k) g (n+1−k)
=
(f g)
=
f g
k
k
k=0
k=0
n−1
n X n
X
n (k) (n+1−k)
n (n+1) (0)
(k+1) (n−k)
=
f
g
+
f g
+
f
g
k
k
n
k=0
k=1
n (0) (n+1)
+
f g
0
n n X
X
n
n (k) (n+1−k)
n (n+1) (0)
(`) (n+1−`)
=
f g
+
f g
+
f
g
`−1
k
n
`=1
k=1
n (0) (n+1)
+
f g
.
0
Dans la première somme, on a fait le changement d’indice ` = k + 1. On obtient :
n X
n
n
n (n+1) (0)
n (0) (n+1)
(n+1)
(k) (n+1−k)
(f g)
=
+
f g
+
f
g +
f g
k−1
k
n
0
k=1
n+1
X n + 1
=
f (k) g (n+1−k) .
k
k=0
♦
48
7.4
7.4.1
CHAPITRE 7. FONCTIONS NUMÉRIQUES - DÉRIVABILITÉ
Théorème de Rolle - Théorème des accroissements finis
Extremum local
Définition 7.4.1. Soit f : I → R avec x0 un point intérieur à I. On dit que f admet un
extremum local en x0 : maximum (resp. minimum) local s’il existe α > 0 tel que
∀x ∈]x0 − α, x0 + α[, f (x) ≤ f (x0 )
(resp. f (x0 ) ≤ f (x)).
Théorème 7.4.1. Soit f : I → R dérivable en x0 avec x0 un point intérieur à I. Si f
admet un extremum local en x0 alors f 0 (x0 ) = 0.
Démonstration : Supposons que f admette un maximum local en x0 . Comme f est
(x0 )
= f 0 (x0 ).
dérivable en x0 on a limx→x0 f (x)−f
x−x0
f (x)−f (x0 )
x−x0
(x0 )
Si x ∈]x0 , x0 + α[ f (x)−f
x−x0
0
On en déduit f (x0 ) = 0. ♦
Si x ∈]x0 − α, x0 [
≥ 0 et f 0 (x0 ) ≥ 0.
≤ 0 et f 0 (x0 ) ≤ 0.
Réciproque fausse. f (x) = x3 , I = R, f 0 (0) = 0 et 0 non extremum local.
7.4.2
Théorème de Rolle
Théorème 7.4.2. Soit f : [a, b] → R avec a et b deux réels tels que a < b. Si f est
continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que f (a) = f (b) alors il existe c ∈]a, b[ tel
que f 0 (c) = 0.
Interprétation graphique. Il existe au moins un point où la tangente est parallèle à
la droite (0x).
Démonstration : Comme f est continue sur [a, b], on a f ([a, b]) = [m, M ] avec m et M
réels.
Si m = M , f est constante sur [a, b], d’où pour tout c ∈]a, b[ on a f 0 (c) = 0.
Si m 6= M l’une au moins des bornes est atteinte en c, autre que a et b. D’après le
théorème 7.4.1, on a f 0 (c) = 0. ♦
7.4.3
Théorème des accroissements finis
Théorème 7.4.3. Soit f : [a, b] → R avec a et b deux réels tels que a < b. Si f est
continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ alors il existe c ∈]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c).
Interprétation graphique. Il existe au moins un point où la tangente est parallèle à
la droite (AB) avec A(a, f (a)) et B(b, f (b)).
Démonstration : On pose g(x) = f (x) − A(x − a). On choisit A tel que g(b) = g(a).
(a)
On a g(a) = f (a) = f (b) − A(b − a) et A = f (b)−f
. La fonction g est continue sur [a, b],
b−a
dérivable sur ]a, b[. D’après le théorème de Rolle, il existe c ∈]a, b[ tel que g 0 (c) = 0.Or
(a)
(a)
g 0 (x) = f 0 (x) − f (b)−f
, on a donc f 0 (c) = f (b)−f
.♦
b−a
b−a
7.4. THÉORÈME DE ROLLE - THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
7.4.4
49
Applications
Théorème 7.4.4. Soit f : I → R dérivable sur I.
1. f est croissante sur I si et seulement si f 0 ≥ 0 sur I.
2. f est décroissante sur I si et seulement si f 0 ≤ 0 sur I.
3. f est constante sur I si et seulement si f 0 = 0 sur I.
4. si f 0 > 0 sur I (resp. f 0 < 0 sur I) alors f est strictement croissante (resp.
décroissante) sur I.
Démonstration.
– Supposons f croissante sur I et montrons f 0 (x0 ) ≥ 0 avec x0 ∈ I.
(x0 )
On a f (x)−f
≥ 0 si x ∈]x0 − α, x0 [ ou si x ∈]x0 , x+ α[, et donc f 0 (x0 ) ≥ 0.
x−x0
– Supposons f 0 ≥ 0 sur I.
Soit (x1 , x2 ) ∈ I 2 avec x1 < x2 . f est continue sur [x1 , x2 ] et dérivable sur ]x1 , x2 [,
d’après le théorème des accroissements finis, il existe c ∈]x1 , x2 [ tel que :
f (x2 ) − f (x1 ) = (x2 − x1 )f 0 (c)
Puisque f 0 (c) ≥ 0, on a f (x2 ) − f (x1 ) ≥ 0 ou encore f (x1 ) ≤ f (x2 ).
♦
Remarque. La réciproque de 4 est fausse : f (x) = x3 est strictement croissante sur R
mais f 0 (0) = 0.
50
CHAPITRE 7. FONCTIONS NUMÉRIQUES - DÉRIVABILITÉ
Chapitre 8
Intégration
Historiquement la théorie de l’intégration (de type Riemann) s’est construite à partir
de deux approches apparemment antagonistes :
– Le calcul d’aire (Liebniz XVIIIe siècle),
Rx
d
e
– L’opération "réciproque" de la dérivation i.e. dx
a f = f (x) (Newton XVIII
siècle).
La première théorie (presque) cohérente de l’intégration est due à Cauchy (1820) et
concernait essentiellement les fonctions continues. La théorie réellement "fondatrice" est
due à Riemann (1854-1857). La théorie moderne a été développée par Borel et Lebesgue
au tout début du XXe siècle.
Dans ce chapitre, nous ne procéderons pas à une construction rigoureuse de l’intégrale
mais énoncerons ses principales propriétés.
8.1
Intégrale d’une fonction continue
Soit f une fonction continue positive sur l’intervalle [a, b], a < b. On considère le
domaine délimité par la courbe représentative de f , la droite x = a, la droite x = b et
l’axe des abcisses. L’aire de ce domaine est appelée intégrale de f sur [a, b] et est noté
Z b
f (t)dt. On étend cette définition à des fonctions changeant de signe un nombre fini de
a
fois en décidant que l’intégrale de f est alors l’aire algébrique délimité par la courbe,
les droites x = a et x = b ainsi que l’axe des abcisses en affectant du signe + l’aire située
au-dessus de l’axe et du signe − l’aire située en-dessous de l’axe.
Dessin.
Exemples : 1- Fonctions constantes : si f (x) = k pour tout x ∈ [a, b], on a
Z
b
kdt = (b − a)k.
a
2- Fonctions affines : si f (x) = αx + β pour tout x ∈ [a, b], on vérifie que
Z
b
(αt + β)dt =
a
α
(b − a)2 + k(b − a).
2
Cette définition de l’intégrale d’une fonction continue n’est pas rigoureuse ne seraitce que parce qu’il existe des fonctions continues s’annulant une infinité de fois sur un
51
52
CHAPITRE 8. INTÉGRATION
segment (x 7→ x sin x1 sur [0, 1] par exemple). Ceci dit, il est bon de comprendre le lien
entre l’intégrale et l’aire.
De façon plus rigoureuse, on définit l’intégrale de Riemann d’une fonction sur le
segment [a, b] comme la limite – lorsqu’elle existe – des sommes de Riemann définies par
n
b−a
, n ∈ N.
a+k
n
b−aX
Rn =
f
n
k=0
On dit alors que la fonction f est intégrable au sens de Riemann. On peut montrer que les
fonctions continues sont intégrables au sens de Riemann et on s’en convainc aisément pour
une fonction positive : un rapide dessin montre que Rn est la somme des aires de rectangles
qui approchent le domaine considéré ci-dessus ; en prenant n de plus en plus grand, la
somme de Riemann approche de mieux en mieux l’aire de ce domaine. Cependant il existe
des fonctions intégrables au sens de Riemann qui ne sont pas continues : les fonctions
continues sauf en un nombre fini de points en sont un exemple.
Z a
Z b
Z a
f (t)dt = 0.
f (t)dt. et on a
f (t)dt = −
Par convention, on pose
a
a
b
L’intégrale a les propriétés fondamentales suivantes, propriétés que nous ne démontrerons
pas mais qu’il sera bon de comprendre en termes d’aire.
Proposition 8.1.1. 1- Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur [a, b]
alors pour tout c ∈]a, b[ on a
Z
c
Z
b
f (t)dt +
Z
b
f (t)dt =
a
c
f (t)dt.
a
Z
b
f (t)dt ≥ 0.
2- Positivité : Si f est continue et positive sur [a, b],
a
3- Linéarité : Si f, g sont continues sur [a, b] et si λ, µ ∈ R,
Z
b
b
Z
(λf (t) + µg(t)) dt = λ
Z
f (t)dt + µ
a
a
b
g(t)dt.
a
Ces propriétés ont des conséquences que nous allons démontrer.
Corollaire. 1- Si f et g sont continues sur [a, b] avec f ≤ g alors
Z
b
Z
f (t)dt ≤
a
b
g(t)dt
a
et si f est continue sur [a, b] avec m = Minf , M = Maxf , alors
Z
m(b − a) ≤
b
f (t)dt ≤ M (b − a).
a
2- Formule de la moyenne : Soit f une fonction continue sur [a, b], il existe c ∈ [a, b]
telsque
Z b
f (t)dt = (b − a)f (c).
a
Démonstration : Le 1- vient de la positivité et de la linéarité appliquée à g − f . On
Z b
Z b
remarque ensuite que si m ≤ f alors
mdt ≤
f (t)dt. On utilise alors le calcul de
a
a
8.2. INTÉGRATION ET PRIMITIVES
53
l’intégrale de la fonction constante m fait au début de cette section.
Le 2- vient du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à
Z b
−1
f (t)dt.
k = (b − a)
a
En effet, comme m ≤ k ≤ M et comme f est continue, on en déduit l’existence de
c ∈ [a, b] tel que f (c) = k. ♦
8.2
Intégration et primitives
Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b] et F la fonction définie sur [a, b] par
Z x
f (t)dt.
∀x ∈ [a, b], F (x) =
a
Proposition. La fonction F est de classe C 1 sur [a, b] et f 0 = F .
Démonstration : Remarquons que la formule de la moyenne nous donne
Z x
F (x) − F (x0 ) =
f (t)dt = (x − x0 )f (c(x))
x0
avec c(x) ∈ [x, x0 ]. On a donc lim c(x) = x0 et lim f (c(x)) = f (x0 ) par la continuité
x→x0
x→x0
de f . D’où
lim (F (x) − F (x0 )) = 0,
x→x0
lim
x→x0
F (x) − F (x0 )
= f (x0 ).
x − x0
♦
Définition 8.2.1. Soit I un intervalle de R et f, F deux fonctions définies sur I. On dit
que F est une primitive de f si F est dérivable sur I et F 0 = f sur I.
Corollaire. Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R.
1. f admet au moins une primitive F sur I.
2. f admet une et une seule primitive s’annulant en a ∈ I, alors :
Z x
∀x ∈ I, G(x) =
f (t)dt.
a
Démonstration
1. Soit a ∈ I et F (x) =
Rx
a
f (t)dt, la fonction F est une primitive de f sur I.
2. Soit G une primitive de f sur I alors G0 −F 0 = 0. Comme I est un intervalle d’après
le théorème des accroissements finis on a : ∀x ∈ I, G(x) − RF (x) = C avec C ∈ R.
x
C = G(a) − F (a) = G(a) et on a : ∀x ∈R I, G(x) = G(a) + a f (t)dt.
x
G(a) = 0 équivaut à : ∀x ∈ I, G(x) = a f (t)dt.
♦
La connaissance des primitives d’une fonction f permet de facilement calculer l’intégrale
de f , en effet si F est une primitive de f ,
Z b
f (t)dt = F (b) − F (a).
a
Le calcul d’intégrales se ramène alors au calcul de primitives.
54
CHAPITRE 8. INTÉGRATION
Exemple. Le logarithme népérien est la primitive de f : x 7→
x
Z
ln x =
1
8.3
1
x
qui s’annule en x = 1.
dt
t
Méthodes de calcul d’intégrales
On trouve les primitives usuelles par la lecture inverse du tableau des dérivées usuelles.
À partir de la connaissance de ces primitives, on peut calculer celles de fonctions plus
compliquées grâce à différentes méthodes que nous allons développer.
8.3.1
Intégration par parties
Théorème. Si (f, g) ∈ C 1 ([a, b]) alors
Z
b
0
f (t)g (t)dt =
[f (t)g(t)]ba
Z
−
b
f 0 (t)g(t)dt.
a
a
Démonstration : On a (f g)0 = f 0 g + f g 0 et f 0 g + f g 0 ∈ C[a, b], f g est une primitive de
Rb
Rb
(f g)0 sur [a, b]. On en déduit [f g(t)]ba = a f 0 (t)g(t)dt + a f (t)g 0 (t)dt. ♦
Rx
Exemple. On a 1 ln tdt = x(ln x − 1) + 1.
8.3.2
Changement de variable
Théorème 8.3.1. Soient u ∈ C 1 [α, β] avec u[α, β] ⊂ [a, b]. Si f ∈ C[a, b] alors
u(β)
Z
Z
β
f (x)dx =
u(α)
f (u(t)) × u0 (t)dt.
α
Remarque. α, β, a et b sont des réels tels que α < β et a < b. On a effectué le
changement de variables
x
= u
(t)
↑
↑
.
ancienne variable
nouvelle variable
On écrit dx = u0 (t)dt.
Démonstration Soit F une primitive de f sur [a, b]. Posons H = F ◦ u. La fonction H
est dérivable sur [α, β] comme composée de fonctions dérivables :
∀t ∈ [α, β], H 0 (t) = F 0 (u(t)) × u0 (t) = f (u(t)) × u0 (t).
Comme ces fonctions sont continues
Z
β
0
Z
β
f (u(t)) × u (t)dt =
α
♦
0
H (t)dt =
α
[H(t)]βα
Z
u(β)
= F (u(β)) − F (u(α)) =
f (x)dx.
u(α)
8.3. MÉTHODES DE CALCUL D’INTÉGRALES
Exemple. Calcul de
Si t = 0 alors x = 0.
Si t = π2 alors x = 1.
Z
1p
1−
R1√
0
1 − x2 dx. On pose x = sin t = u(t) on a u0 (t) = cos t
x2 dx
Z
π
2
sin
=
Z
=
π
2
0
Z
=
0
π
0
Z
p
2
1 − x dx =
sin 0
0
8.3.3
55
p
1 − sin2 t cos tdt
0
Z
| cos t| cos tdt =
π
2
cos2 tdt
0
π
2
π
1 + cos 2t
t
sin 2t 2
π
dt =
+
= .
2
2
4
4
0
Intégration de quelques fractions rationnelles
Pour 1 et 2 [α, β] est un intervalle de R ne contenant pas a.
R β dx
1. α x−a
= [ln |x − a|]βα
h
iβ
R β dx
1
2. α (x−a)
avec n ∈ N∗ \ {1}.
n =
n−1
(1−n)(x−a)
α
R β dx
3. α 1+x
2 = Arctgβ − Arctgα.
56
CHAPITRE 8. INTÉGRATION
Chapitre 9
Développements limités
9.1
Formules de Taylor
On généralise le théorème des accroissements finis à une fonction n fois dérivable.
Théorème 9.1.1. (Formule de Taylor-Lagrange). Soit f : [a, b] → R avec (a, b) ∈ R2
et n ∈ N. Si f ∈ C n [a, b] avec f (n) dérivable sur ]a, b[ alors il existe c ∈]a, b[ tel que :
f (b) = f (a) +
(b − a)2 00
(b − a)n (n)
(b − a)n+1 (n+1)
(b − a) 0
f (a) +
f (a) + · · · +
f (a) +
f
(c).
1!
2!
n!
(n + 1)!
Démonstration : Soit A défini par
f (b) = f (a) +
Un tel réel A existe car
(b − a) 0
(b − a)n (n)
(b − a)(n+1)
f (a) + · · · +
f (a) +
A.
1!
n!
(n + 1)!
(b−a)n+1
(n+1)!
g(x) = f (b) − f (x) −
6= 0. On pose
(b − x) 0
(b − x)n (n)
(b − x)n+1
f (x) − · · · −
f (x) −
A.
1!
n!
(n + 1)!
Grâce aux hypothèses, g est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On constate que
g(b) = 0, et g(a) = 0 (par définition de A). D’après le théorème de Rolle, il existe c ∈]a, b[
tel que g 0 (c) = 0. Par ailleurs un calcul montre que :
g 0 (x) = −
(b − x)n (n+1)
(b − x)n
f
(x) + A
n!
n!
On déduit de g 0 (c) = 0 et c 6= b que A = f (n+1) (c), ce qui termine la preuve. ♦
Théorème 9.1.2. (Formule de Taylor-Young). Soit x0 ∈ R, n ∈ N, I =]x0 −α, x0 +α[
avec α > 0, et f : I → R. Si f ∈ C n (I) alors il existe une fonction ε : I → R telle que
lim ε(x) = 0 et :
x→x0
∀x ∈ I, f (x) = f (x0 ) +
(x − x0 ) 0
(x − x0 )n (n)
f (x0 ) + · · · +
f (x0 ) + (x − x0 )n ε(x).
1!
n!
Remarque. Si f est C ∞ sur I alors la formule est valable pour tout n ∈ N.
57
58
CHAPITRE 9. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
Démonstration : Si n = 0, on a : ∀x ∈ I, f (x) = f (x0 )+ε(x) avec ε(x) = f (x)−f (x0 ).
Puisque f est continue en x0 , il en résulte que lim ε(x) = 0.
x→x0
Si n ≥ 1, soit x ∈ I avec x > x0 (le cas x < x0 se traite de manière analogue). Comme
f ∈ C n−1 [x0 , x] avec f (n) dérivable sur ]x0 , x[, on peut appliquer la formule de TaylorLagrange avec a = x0 et b = x : il existe c = c(x), c(x) ∈]x0 , x[ tel que :
f (x) = f (x0 ) +
(x − x0 ) 0
x − x0 )n−1 (n−1)
(x − x0 )n (n)
f (x0 ) + · · · +
f
(x0 ) +
f (c(x)).
1!
(n − 1)!
n!
1
(f (n) (c(x)) − f (n) (x0 )). Soit ε > 0, comme f (n) est continue en x0 , il
Posons ε(x) = n!
existe β > 0 tel que pour tout x ∈ I, si |x − x0 | < β alors |f (n) (x) − f (n) (x0 )| < ε. Puisque
x0 < c(x) < x, on a |c(x) − x0 | < β et |f (n) (c(x) − f (n) (x0 )| < ε. On a montré
lim f (n) (c(x)) − f (n) (x0 ) = 0,
x→x0
on en déduit lim ε(x) = 0. Comme
x→x0
(x−x0 )n (n)
f (c(x))
n!
=
(x−x0 )n (n)
f (x0 ) + (x − x0 )n ε(x),
n!
on obtient la formule recherchée. ♦
9.2
Développements limités
Définition 9.2.1. Soient f :]a, b[→ R avec a et b deux réels tels que a < b, x0 ∈]a, b[
et n ∈ N. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n en x0 s’il existe un
polynôme Pn de degré n et une fonction ε tels que
∀x ∈]a, b[, f (x) = Pn (x − x0 ) + (x − x0 )n ε(x) avec
lim ε(x) = 0.
x→x0
Notation. Si f admet un développement limité à l’ordre n, on note
∀x ∈]a, b[, f (x) = Pn (x − x0 ) + o(x − x0 )n .
Cette notation est à utiliser avec prudence, en cas d’ambiguité, il est bon de revenir à la
notation avec ε(x).
Définition 9.2.2. Soient f :]a, +∞[→ R et n ∈ N. On dit que f admet
une développe
ment asymptotique
à l’ordre n en +∞ si la fonction g définie sur V = x ∈ R∗+ ; x1 > a
par g(x) = f x1 admet un développement limité en 0. On a alors
1
1
∗
+o
.
∀x ∈ R+ ∩]a, +∞[, f (x) = Pn
x
xn
Remarques. Si f (x) = Pn (x−x0 )+0(x−x0 )n en x0 équivaut à g(x) = Pn (x)+0(xn ) en
0 si g(x) = f (x0 + x). Le fait que f admette un développement limité en x0 équivaut à g
admet un développement limité en 0. Autrement dit, il suffit d’étudier les développements
limités en 0.
Attention ! L’ordre d’un développement limité se lit sur le reste (la fonction ε ou le
"o") et non sur le degré du polynôme. Par exemple Si f (x) = 1 + x alors pour tout n ≥ 1,
f admet un développement limité en 0 à tout ordre donné par f (x) = 1 + x + 0(xn ).
Théorème. Soit f :]a, b[→ R avec a et b deux réels tels que a < 0 < b. Si f est de classe
C n sur ]a, b[ alors f admet un développement limité en 0 et on a :
∀x ∈]a, b[, f (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2
f n (0) n
x + ··· +
x + o(xn ) en 0.
2!
n!
9.3. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS EN 0 DE FONCTIONS USUELLES.
59
Développements limités en 0 de fonctions usuelles.
9.3
Le théorème précédent permet d’obtenir les développements limités de plusieurs fonctions usuelles.
2
n
1. ex = 1 + x + x2! + · · · + xn! + o(xn ).
x3
x2
n+1 xn + o(xn ).
2 + 3 + · · · + (−1)
n
x3
x5
n2n+1
n
sin x = x − 3! + 5! + · · · + (−1) (2n+1)! + o(x2n+1 ).
2
4
x2n
cos x = 1 − x2 + x4! + · · · + (−1)n (2n)!
+ o(x2n ).
x2 + · · · + α(α−1)...(α−n+1)
∀α ∈ R, (1 + x)α = 1 + αx + α(α−1)
2!
n!
1
2 + x3 + · · · + xn + o(xn ).
=
1
+
x
+
x
1−x
1
2
3
n n
n
1+x = 1 − x + x − x + · · · + (−1) x + o(x ).
2. ln(1 + x) = x −
3.
4.
5.
6.
7.
+ o(xn ).
Démonstration : 1- On a vu que : ∀x ∈ N, ∀x ∈ R, exp(n) (x) = exp x. On en déduit
que exp(n) 0 = e0 = 1 et on obtient la formule demandée.
2- La fonction f (x) = ln(1 + x) est de classe C ∞ sur ] − 1, +∞[, et une récurrence
immédiate montre :
(n − 1)!
∀n ∈ N∗ , ∀x ∈] − 1, +∞[, f (n) (x) = (−1)n+1
(1 + x)n
En particulier : ∀n ∈ N∗ , f (n) (0) = (−1)n+1 (n − 1)!. On en déduit
x2 x3
xn
+
+ · · · + (−1)n+1
+ o(xn ).
2
x
n
3- On a vu que : ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, sin(n) (x) = sin x + n π2 . On en déduit sin(n) (0) =
sin n π2 , sin(2n) (0) = sin nπ = 0 et sin(2n+1 )(0) = sin nπ + π2 = (−1)n et on obtient
la formule souhaitée.
4- On montre 4 de manière analogue à 3.
5- Soit α ∈ R, la fonction fα (x) = (1 + x)α est de classe C ∞ sur ] − 1, +∞[, et une
récurrence immédiate montre :
ln(1 + x) = x −
∀n ∈ N, ∀x ∈] − 1, +∞[, fα(n) (x) = α(α − 1) . . . (α − n + 1)(1 + x)α−n
(n)
On en déduit fα (0) = α(α − 1) . . . (α − n + 1) et :
α(α − 1) 2
α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
x + ··· +
x + o(xn ) en 0.
2!
n!
6- et 7- sont des conséquences de 5. ♦
(1 + x)α = 1 + αx +
La suite du cours a seulement été vue à l’occasion d’exercices en travaux
dirigés.
9.4
Propriétés des développements limités
9.4.1
Opération sur les développements limités.
Propriété. Soient f, g :]a, b[→ R avec a et b deux réels tels que a < 0 < b et λ ∈ R. Si
f et g admettent des développements limités en 0 (même ordre),
f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + o(xn ) et g(x) = b0 + b1 x + · · · + bn xn + o(xn ),
alors f + g, λf , et f g aussi et on a :
60
CHAPITRE 9. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
1. (f + g)(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (an + bn )xn + o(xn ) en 0.
2. (λf )(x) = λa0 + λa1 x + · · · + λan xn + o(xn ) en 0.
P Pi
i
n
3. (f g)(x) = ni=0
a
b
k=0 k i−k x + o(x ) en 0.
Démonstration : Il existe ε1 , ε2 :]a, b[→ R telles que
lim ε1 (x) = lim ε2 (x) = 0,
x→0
x→0
∀x ∈]a, b[, f (x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn +xn ε1 (x) etg(x) = b0 +b1 x+· · ·+bn xn +xn ε1 (x).
On a donc
f (x) + g(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (an + bn )xn + xn ε(x)
avec ε(x) = ε1 (x) + ε2 (x), d’où limx→0 ε = 0. d’où le 1. On obtient de même le 2. Enfin,
on écrit
!
n
i
X
X
f g(x) =
ak bi−k xi
i=0
=
k=0
n
+an x (b1 x + · · · + bn xn ) + an−1 xn−1 (b2 x2
+xn (ε1 (x)g(x) + ε2 (x)(a0 + · · · + an xn ))
Pn (x) + xn ε(x)
avec Pn (x) =
+ · · · + bn xn ) + · · · + a1 x(bn xn )
i
a
b
k=0 k i−k x et lim ε(x) = 0. La fonction f g admet donc un
Pn Pi
i=0
x→0
développement limité en 0. ♦
Remarque. Soit f :]a, b[→ R continue sur ]a, b[, avec a et b deux réels tels que a < 0 < b.
Si f admet un développement limité à l’ordre n en 0 et
f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + o(xn )
alors on a :
Z
∀x ∈]a, b[,
x
f (t)dt = a0 x + a1
0
9.4.2
x2
xn+1
+ · · · + an
+ o(xn+1 ).
2
n+1
Exemples de développements limités d’une fonction composée.
On peut obtenir le développement limité de fonction composée. Il faut juste travailler
avec méthode. Cherchons le développement limité à l’ordre 3 en 0 de f (x) = esin x .
On va utiliser les développemennts en 0 de sin x et ex
x3
+ x3 ε1 (x),
6
u2 u3
eu = 1 + u +
+
+ u3 ε2 (u),
2
6
sin x = x −
avec
lim ε1 (x) = lim ε2 (x) = 0.
x→0
x→0
9.4. PROPRIÉTÉS DES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
61
On obtient
sin x
e
En effet
3
x3
1
x3
3
3
x−
+ x ε1 (x) +
+ x ε1 (x)
= 1+ x−
6
2
6
3 x3
x3
+ x3 ε1 (x) ε2 x −
+ x3 ε1 (x)
+ x−
6
6
3
x
1
1
= 1+x−
+ (x2 + o(x3 )) + (x3 + o(x3 )) + o(x3 )
6
2
6
3 x3
x3
3
3
x−
+ x ε1 (x) ε2 x −
+ x ε1 (x) = x3 ε(x)
6
6
avec limx→0 ε(x) = 0. On a donc obtenu
esin x = 1 + x +
9.4.3
x2
+ o(x3 ).
2
Exemples de développement limité du quotient de deux fonctions
Pour calculer le développement limité d’un quotient, on peut utiliser
1
= 1 − u + u2 − u3 + · · · + (−1)n un + o(un ).
1+u
Recherchons par exemple le développement limité à l’ordre 3 en 0 de tan x.
Dans tout ce qui suit, les fonctions ε tendent vers 0 lorsque x tend vers 0. On a
1
x3
x2
= 1 − u + uε0 (u), sin x = x −
+ x3 ε1 (x) et cos x = 1 −
+ x3 ε2 (x).
1+u
6
2
On en déduit
1
cosx
=
1
x2
3
2 + x ε2 (x)
2
2
2 2
2 2
x
x
x
x
3
3
3
3
= 1 − − + x ε2 (x) + − + x ε2 (x) + − + x ε2 (x) ε0 − + x ε2 (x)
2
2
2
2
2
x
= 1+
+ x3 ε4 (x)
2
1−
On obtient donc
x2
x3
3
3
tan x =
x−
+ x ε1 (x)
1+
+ x ε4 (x)
6
2
x3 x3
= x+
−
+ x3 ε5 (x)
2
6
On obtient donc
tan x = x +
x3
+ o(x3 ).
3