X - coursplus

Chapitre 3:
Variables aléatoires réelles
continues

3.1 Variable aléatoire continue
(v.a.c)
Définition :
Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs
d’un intervalle de nombres réels.
Exemples :
–Soit la v.a. X représentant la durée de vie, en jours d’une ampoule électrique.
–Soit la v.a. X représentant le pourcentage d’un projet réalisé après 6 mois.
Important:
Pour une v.a.c. X,on ne peut pas parler de la probabilité que X prenne une
valeur xmais plutôt de la probabilité qu’elle se retrouve dans un intervalle
donné

3.1 Variable aléatoire continue
Exemple
f(x): fonction de densité de probabilité où Xest la variable aléatoire
correspondant à la durée de vie en années d’une ampoule
ailleurs 0
21 si 2
10 si
)( xx
xx
xf
Forme analytique

3.1 Variable aléatoire continue:
Loi et fonction de répartition
La probabilité que la v.a.c. X prenne une valeur dans un intervalle entre
aet best donnée par l’aire sous le graphique de la fonction de densité de
probabilité f(x) entre a and b.
F représente la fonction de répartition de X:
La probabilité en un point est nulle:
Puisque alors:
F(a) -F(b) )()(  
b
a
dxxfbXaP
adxxf )(a)P(X F(a)
0)(a)P(X  
a
a
dxxf
IRX)(
  1)()( dxxfIRp
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2
Durée de vie x
Densité f(x)
L’aire sous la courbe
doit être égale à 1.
Une probabilité est toujours positive

3.1 Variable aléatoire continue:
Représentation graphique
Exemple :
Calculer la probabilité que la durée de vie de l’ampoule électrique soit
comprise entre 0 et 1,5 an.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2
Durée de vie x
Densité f(x)
P(0≤X≤1,5)
t
tt
t
t
dxxftXptF
dxxxdxdxxfXP
t
2 si 1
21 si 12t
10 si t
0 si 0
)()()(
1875,0)2()()5,10(
2
2
1
2
2
1
5,1
1
1
0
5,1
0