X - coursplus

Chapitre 3:
Variables aléatoires réelles
continues
3.1 Variable aléatoire continue
(v.a.c)
Définition
:
Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs
d’un intervalle de nombres réels.
Exemples
:
– Soit la v.a. X représentant la durée de vie, en jours d’une ampoule électrique.
– Soit la v.a. X représentant le pourcentage d’un projet réalisé après 6 mois.

Important:
Pour une v.a.c. X, on ne peut pas parler de la probabilité que X prenne une
valeur x mais plutôt de la probabilité qu’elle se retrouve dans un intervalle
donné
3.1 Variable aléatoire continue
Exemple

f(x): fonction de densité de probabilité où X est la variable aléatoire
correspondant à la durée de vie en années d’une ampoule
Forme analytique
 x

f ( x)  2  x
 0

si 0  x  1
si 1  x  2
ailleurs
3.1 Variable aléatoire continue:
Loi et fonction de répartition

La probabilité que la v.a.c. X prenne une valeur dans un intervalle entre
a et b est donnée par l’aire sous le graphique de la fonction de densité de
probabilité f(x) entre a and b.
L’aire sous la courbe
doit être égale à 1.
b
P(a  X  b)   f ( x)dx  F(b) - F(a)
a

F représente la fonction de répartition de X:
a
F(a)  P(X  a) 

f ( x ) dx

La probabilité en un point est nulle:
a
P(X  a) 

f ( x)dx  0
a

PuisqueX ()  IR
p( IR) 



alors:
f ( x)dx  1
Densité f(x)

1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,5
1
1,5
2
Durée de vie x
Une probabilité est toujours positive
3.1 Variable aléatoire continue:
Représentation graphique
Densité f(x)
P(0≤X≤1,5)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,5
1
1,5
2
Durée de vie x
Exemple :
Calculer la probabilité que la durée de vie de l’ampoule électrique soit
comprise entre 0 et1,1,5
an.
5
1
1, 5
P (0  X  1,5)   f ( x) dx   xdx   ( 2  x)dx  0,1875
0
F (t )  p ( X  t ) 
0

t

1
0
1 2
2 t
f ( x) dx  
1 2
 2 t  2t  1
1

si t  0
si 0  t  1
si 1  t  2
si 2  t
3.1 variable aléatoire continue:
Espérance et variance

L’espérance d’une variable aléatoire est définie comme suit:
E( X ) 


x. f ( x)dx
La variance d’une variable aléatoire est définie comme suit:
V (X ) 






x 2 . f ( x)dx
Pour l’exemple de la durée de vie d’une ampoule E(X) et V(X) sont:
E( X ) 




x. f ( x)dx  1 (une année).
V ( X )   x 2 . f ( x)dx 

 (X ) 
7
6
7
6
 1,08 représente l' erreur de dispertion des autres valeurs autour de la moyenne
3.2 Distribution uniforme:
Définition, Espérance et variance


Lorsque la probabilité est proportionnelle à la longueur de l’intervalle, la
v.a.c. est distribuée de façon uniforme
Une v.a.c X obéit à une distribution uniforme sur un intervalle [a, b] si sa
densité de probabilité est donnée par :
1
 b
f ( x)   a
 0



a xb
si
ailleurs
On note ceci comme suit: X  U(a, b) ;
En outre, E(X)=(a+b)/2 et V(X)=(b-a)2 /12;
La fonction de répartition de X est:
 0

xa
Fx   
ba


1
si x  a
si a  x  b
si x  b
3.2 Distribution uniforme
Exemple

Supposons que la concentration d’un certain polluant est distribuée
uniformément sur l’intervalle 6 à 22 mgpmc. Si la concentration excède
16 mgpmc, on considère le polluant comme toxique. Quelle est la
probabilité de déclarer le polluant comme toxique?
 1

f (x)   22  6

 0
si 6  x  22
ailleurs
P(X>16) = (1/16)(6) = 0,375
3.3 Distribution exponentielle:
Définition, Espérance et Variance
Définition: Soit m >0, on dit qu’une v.a.c X suit la loi exponentielle si sa fonction
densité est de la forme:
if x  0
0

1
f x   
e x/m

m
if x  0
L’espérance , la variance et la fonction de répartition de X sont :
E(X)  m ;
V(X)  m 2 ;
en effet, E(X)  [-xe
- x/μ  
0
]


  e dx   μ.e
0
-x/μ
-x/μ


0
en effet, il suffit d' appliquer 2 fois l' integratio n par parties.
 0
Fx    -x/ m
1 - e
si x  0
si x  0
3.3 Distribution exponentielle:
Notes




La loi exponentielle est utile pour décrire la durée de réalisation d’une
tâche
Exemples:
– le temps entre les arrivées à un lave-autos
– la distance entre les défauts majeurs d’une autoroute
– dans les files d’attente, la distribution exponentielle est souvent
utilisée pour le temps de service
Liée à la loi de Poisson qui fournit une bonne description du nombre
d’occurrences par intervalle
Loi exponentielle fournit une bonne description de la longueur de
l’intervalle entre les occurrences
3.3 Distribution exponentielle:
Relation entre les distributions de Poisson
et exponentielle

Loi (discrète) de Poisson utile pour examiner le nombre d’occurrences
d’un événement dans un intervalle de temps ou d’espace donné
– Loi de Poisson fournit une description du nombre d’occurrences par
intervalle

Loi (continue) exponentielle fournit une description de la longueur des
intervalles entre les occurrences

Le paramètre de la loi exponentielle est l’inverse du paramètre de la loi
Poisson
3.4 Distribution normale:
Définition, Espérance et Variance

Définition: Une v.a.c X pouvant prendre toutes les valeurs réelles x dans
l’intervalle de -  à +, pour m  , pour   + dont la fonction de densité
est :
1  xm 
2
f ( x) 

1
e
 2
2

2



s’appelle une v.a. normale de paramètres m et  : X N(m , 2)

L’espérance et la variance de X sont données comme suit:
E(X)  m ; en effet,
t  xm
on a E(X) 


t  m
  2
e
- 12 t 2
alors E(X)  m C.F.D
V(X)   2
dt 

2



te
- 12 t 2
0
dt 
m
2



e
- 12 t 2
 2
dt
3.4 Distribution normale:
Forme de la distribution normale
• Il
existe une famille entière de lois normales. Elles se différencient par leur moyenne
et leur variance
• Courbe en cloche
• Courbe symétrique
• La moyenne, le mode et la médiane correspondent au même point (le point le plus
élevé)
• L’écart type détermine la largeur de la courbe, plus il est grand, plus la courbe sera
large et aplatie
• L’aire totale sous la courbe est 1
f(x)
• Aussi appelée loi Gaussienne ou loi de Gauss
m
x
3.4 Distribution normale:
Notes

68,26% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont
comprises dans l’intervalle m;m]

95,44% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont
comprises dans l’intervalle m2;m2]

99,72% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont
comprises dans l’intervalle m3;m3]
3.4 Distribution normale:
La loi normale centrée réduite



Une v.a.c. qui a une distribution de probabilité normale de moyenne 0 et
écart type 1, suit ce qu’on appelle une loi normale centrée réduite.
Cette variable est souvent dénotée par la lettre Z
On peut convertir une v.a.c. X qui suit une loi normale de moyenne m et
écart type  en une variable normale centrée réduite Z :
xm
X m
P( X  x )  P( Z  z ) où z 
et Z 


Étant donné une valeur z, nous utilisons la table normale centrée réduite
pour trouver la probabilité (l’aire sous la courbe) qui lui est associée.
Courbe de distribution normale
f(z)

-4
-2
0
2
4
Valeurs de z
3.4 Distribution normale:
Exemple
Soit X une variable aléatoire qui suit N(15,20).
Calculer p(0<X<20):
p(15<X<20)=p(0<Z<0.25)=0.0987
z
,00
,01
,02
,03
,04
,05
,06
,07
,08
,09
Aire cherché
,0 ,0000 ,0040 ,0080 ,0120 ,0160 ,0199 ,0239 ,0279 ,0319 ,0359
,1 ,0398 ,0438 ,0478 ,0517 ,0557 ,0596 ,0636 ,0675 ,0714 ,0753
,2 ,0793 ,0832 ,0871 ,0910 ,0948 ,0987 ,1026 ,1064 ,1103 ,1141
,3 ,1179 ,1217 ,1255 ,1293 ,1331 ,1368 ,1406 ,1443 ,1480 ,1517
,4 ,1554 ,1591 ,1628 ,1664 ,1700 ,1736 ,1772 ,1808 ,1844 ,1879
,5 ,1915 ,1950 ,1985 ,2019 ,2054 ,2088 ,2123 ,2157 ,2190 ,2224
,6 ,2257 ,2291 ,2324 ,2357 ,2389 ,2422 ,2454 ,2486 ,2518 ,2549
,7 ,2580 ,2612 ,2642 ,2673 ,2704 ,2734 ,2764 ,2794 ,2823 ,2852
,8 ,2881 ,2910 ,2939 ,2967 ,2995 ,3023 ,3051 ,3078 ,3106 ,3133
,9 ,3159 ,3186 ,3212 ,3238 ,3264 ,3289 ,3315 ,3340 ,3365 ,3389
0
0,25
z
3.4 Distribution normale:
Convergence de la binomiale vers la normale

Si X  Bi (n, p)  X  N ( np, npq)

La distribution normale est une bonne approximation de la distribution binomiale
lorsque:
– np≥5 et n(1-p) ≥5

Un factor de correction de continuité peut être nécessaire pour s'assurer que la
probabilité d'une valeur spécifique discrète est incluse dans le calcul. P(X=12) est
approximé par P(11,5 ≤ X ≤ 12,5)
• Facteur de correction = 0,5