Chapitre 3: Modélisation des systèmes 3.1 Introduction Deux approches de la modélisation Modèle de connaissance – modèle « interne » obtenu à partir des lois de la physique ou de la chimie – modèle pouvant être complexe et non linéaire Modèle de conduite ou de comportement – modèle « externe » obtenu expérimentalement – modèle linéaire, valable autour d ’un point de fonctionnement Modèle de connaissance Modèle utilisé pour : – Simuler une installation avant sa réalisation • dimensionnement des éléments • choix des points de fonctionnement - optimisation • mise au point des stratégies de commande Exemples de simulateurs : – Simulink, ACSL (Advanced Continuous Simulation Language) 3.2 Une approche analogique pour l ’obtention d ’un modèle de connaissance Principe – Les systèmes électriques, mécaniques, thermiques, hydrauliques ont des points communs ; il est donc possible de concevoir des analogies entre eux. – Chaque type de système peut être caractérisé par : • 2 variables, x et y ; par exemple i et u dans un circuit électrique • 3 éléments, a1, a2 ou a3 ; par exemple R, L ou C – Les relations élémentaires sont du type : y = f(x, ai) Variables et éléments – Les variables sont : • des variables de flux x : courant, force, couple, débit volumique, débit de calories • des variables de potentiel y : tension, vitesses linéaire et angulaire, température, pression – Les éléments sont de 2 natures : • dissipateurs d ’énergie : y = a1 x (éléments de type R) • accumulateurs d ’énergie : y = a2 dx/dt (éléments de type L) x = a3 dy/dt (éléments de type C) Analogies Mécanique Rotation Thermique Hydraulique Courant Force Couple Débit de chaleur Débit Tension Vitesse linéaire Vitesse angulaire Température Pression Inductance Ressort Ressort Capacité Masse Inertie Résistance Amortisseur Amortisseur Résistance Inertie Capacité Il existe aussi une analogie Tension-Force Capacité Résistance Eléments Mécanique Translation Variables Electrique 3.3 Les Elements de base Dissipateurs d ’énergie - 1 Electrique : résistance – u : tension, i :courant – R : résistance u2 R i u1 Ex : amortisseur (u 2 u1 ) i R Mécanique (translation) : frottements visqueux – f : force, v : vitesse f b(v2 v1 ) – b : coef. de frottement Mécanique (rotation) : frottements visqueux – c : couple, w : vitesse c b(w2 w1 ) – b : coef. de frottement Accumulateurs d ’énergie - 1 u2 L i Electrique : inductance – u : tension, i :courant – L : inductance di u2 u1 L dt Mécanique (translation) : ressort – f : force, v : vitesse, x : position – k : coef. de raideur f k ( x2 x1 ) Mécanique (rotation) : ressort – c : couple, w : vitesse, q : position – k : coef. de raideur c k (q 2 q1 ) u1 Accumulateurs d ’énergie - 3 Electrique : condensateur – u : tension, i :courant – C : capacité u2 C i u1 d (u2 u1 ) iC dt Mécanique (translation) : masse – f : force, v : vitesse – m : masse dv f m dt Mécanique (rotation) : inertie – c : couple, w : vitesse – J : inertie dw cJ dt Eléments de couplage Les éléments précédents peuvent être couplés via des « modulateurs », par ex : – transformateur : u1 i1 – réducteur : u2 i2 c1 w1 c2 w2 C1, w1 C2, w2 3.4 Equations de base Pour relier ensemble les éléments constituant un système, diverses équations sont utilisées : – Electricité : lois des mailles et des nœuds – Mécanique : lois de Newton : dw dv c J f m dt dt – Thermique, Hydraulique : équations de conservation de la matière ou de l ’énergie : flux entrant flux sortant accumulati on dh q S dt Exemple d ’un système mécanique k b y0 y m f • Ressort : raideur = k • Amortisseur : coefficient de frottement = b Y ( p) ? F ( p) Le poids est pris en compte dans le point de fonctionnement (f0 = mg, y0) forces m accélération dy d2y f (t ) k y(t ) b m 2 dt dt Y ( p) 1 2 F ( p) mp bp k