La loi des sinus

La loi des sinus
Z, auctore
22 février 2006
1 Notations traditionnelles
Onrappelleici les notations généralementemployées pourdésignerun certain
nombres d’éléments dans un triangle ABC.
Fig. 1 – Triangle ABC
les longueurs des côtés AB =c,AC =bet BC =a;
les mesures des angles ˆ A=
[
BAC,ˆ B=
[
ABC et ˆ C=
[
ACB ;
l’aire du triangle A(ABC) = S;
Le rayon du cercle circonscrit OA =R.
Onretiendra notammentque le côté opposé au sommetAestdésigné par la
lettre a, le côté opposé à Best noté par bet le côté opposé à Cest c.
1

Loi des sinus Math foru’
2 La loi des sinus
On se propose d’établir lethéorème affirmantque les côtés d’un triangle sont
proportionnels auxsinus des angles opposés.Pourobtenir laforme la plus
complète de cet énoncé, on considère deux configurations.
2.1 Première configuration
Dans letriangleABC,on mène la hauteur[CD]issue de C;deuxcas de
figure se produisentselon que cette hauteurest intérieure ou extérieure au
triangle.Dans le premiercas,on a CD =AC sin ˆ A=bsin ˆ Aetdans le second
Fig. 2 – Avec une hauteur de ABC.
cas,on a CD =AC sin(180 −ˆ A) = bsin ˆ A.Dans les deuxcas de figure, l’aire
Sest donnée par
S=bc sin ˆ
A
2
On en déduit par un raisonnement analogue les égalités
ab sin ˆ C
2=S=ac sin ˆ
B
2
Cecimontrelefait importantque l’aire du triangle peutêtre calculée avec
deux côtés et le sinus de l’angle adjacent1. On en déduit
2S=abc sin ˆ
A
a=abc sin ˆ
B
b=abc sin ˆ
C
c
et on obtient enfin alors cette forme de la loi des sinus
a
sin ˆ A=b sin ˆ B=c sin ˆ C=abc
2S(1)
1on dit aussi l’angle compris.
2

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2.2 Deuxième configuration
Dans le cercle circonscrit àABC,on trace le diamètre[AZ].Deuxcas sontà
envisagerselon que Zestsur le même arc de cercle que B,d’extrémités Aet
C,ou bien sur l’arc complémentaire.Dans le premiercas de figure, les angles
Fig. 3 – Avec un diamètre du cercle circonscrit.
inscritsˆ Betˆ Zsontégaux. Dans le second cas de figure, les angles inscrits
ˆ
Betˆ Zsontsupplémentaires,eton a donc sin ˆ Z= sin(180 −ˆ B) = sin ˆ B.En
effet, il résulte du théorème de l’angle au centre que deuxangles inscrits
qui interceptent la même corde sont égaux ou bien supplémentaires.
Dans les deux cas, le triangle AZC étant rectangle en C, on en déduit
AZ =AC
sin ˆ Z
c’est-à-dire
2R=b
sin ˆ B
Par un raisonnement en tout point similaire, on obtient ainsi
a
sin ˆ A= 2R=c sin ˆ C
Cecimontre que lerayon du cercle circonscrit ne dépend que d’un côté etde
l’angle opposé, c’est à dire de l’angle inscrit qui intercepte ce côté.
Il résulte de ces égalités la forme suivante de la loi des sinus
a
sin ˆ A=b sin ˆ B=c sin ˆ C= 2R. (2)
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2.3 Énoncé de la loi des sinus
En regroupant les formules (1) et (2), on est conduit à cet énoncé complet.
Théorème 1 (Loides sinus).Dans tout triangle, les côtés sontproportionnels
aux sinus des angles opposés ; précisément, on a
a
sin ˆ A=b sin ˆ B=c sin ˆ C=abc
2S= 2R
Onrappelle que Sdésigne l’aire du triangle,etRlerayon de son cercle circonscrit.
Un corollaire immédiat du théorème 1est la relation
abc = 4RS. (3)
c’est-à-dire que leproduit des trois côtés estégalà quatrefoisle produit
de l’aire et du rayon du cercle.
3 Applications
3.1 Exemples
Deux angles et le côté compris. Laloides sinus permetde déterminer,
dans un triangle,un côté ou bien un anglelorsque l’on connaît parexemple
un côté et les deux angles qui lui sont adjacents.Cela correspond au
premier cas d’isométrie des triangles.
Exemple 1. Soit ABC un triangle;on donne BC = 12,ˆ B= 62°etˆ C= 50°.
Déterminer le troisième angle et les deux autres côtés.
Le troisième angle est ˆ A= 68°. On applique la loi de sinus, avec a= 12 ici
12
sin 68 =b sin 62 =c sin 50
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Loi des sinus Math foru’
et ainsi on obtient
b= 12 ×sin 62
sin 68 '11,4et c= 12 ×sin 50 sin 68 '9,9
avec des arrondis au dixième.
Deux côtés et l’angle non compris. Dans certains cas de figure,on
peutcalculer les éléments manquantslorsque sontdonnés deux côtés et un
angle opposé à l’un d’eux.
Exemple 2. Soit ABC un triangle;on donne BC = 25,AC = 36 etˆ B= 72°.
Déterminer le troisième côté et les deux autres angles.
Dans ce cas, où a= 25 et b= 36, la loi des sinus s’écrit
25
sin ˆ A=36
sin 72 =c
sin ˆ C
d’où on tire
sin ˆ A= sin 72 ×25
36,soit ˆ
A'41°
eton en déduit letroisième angleˆ C'67°, les mesures des angles étant
arrondies au degré. Alors, la loi des sinus permet le calcul du troisième côté
c= 36 ×sin 67
sin 72 '34,8
valeur arrondie au dixième.
3.2 Exercices
Exercice 1. Dans un triangleABC,on a BC = 8,ˆ B= 50°,ˆ C= 110°.
Déterminer les éléments manquants.
Exercice 2. Dans un triangleABC,on a BC = 7,ˆ B= 50°,ˆ A= 80°.
Déterminer les éléments manquants.
Exercice 3. Dans un triangleABC,on a BC = 25,AC = 10 etˆ C= 80°.
Déterminer les éléments manquants.
Exercice 4. Dans un triangleABC,on a BC = 7,5,AC = 10 etˆ C= 42°.
Déterminer les éléments manquants.
Exercice 5. Dans un triangleABC,on a BC = 36,ˆ B= 45°etˆ C= 62°.
Déterminer l’aire de ABC.
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