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Variation
et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Lorsqu’on tente de comprendre un aspect d’un phénomène naturel,
une approche possible est d’effectuer des mesures et de tenter d’en
déduire une relation.
Dans cette approche, on modifie la valeur d’une des variables,
appelée alors variable indépendante, et on mesure l’impact de ce
changement sur une autre variable appelée variable dépendante.
On obtient alors des couples de valeurs correspondantes dont la
représentation graphique donne un aperçu du lien entre les
variables.
Le taux de variation est une mesure de l’impact d’un changement de
la variable indépendante sur la variable dépendante.
Mise en situation
En temps normal, la température intérieure de
votre logement est maintenue à 22 °C. Au
cours d’une panne d’électricité à la mi-janvier,
vous avez relevé la température à l’intérieur
de la maison à différents moments à partir du
début de la panne. Les valeurs obtenues sont
consignées dans le tableau ci-contre.
Durée
(h)
T
(°C)
0,00
22,0
0,50
20,3
1,50
17,5
La diminution de température
est-elle constante?
2,75
14,5
Pour le savoir, déterminons une mesure de
l’évolution de la température par rapport au
temps.
3,50
12,9
5,25
9,9
Il suffit de prendre la différence de température entre la fin et le début
de chacun des intervalles et de diviser par le temps écoulé.
Mise en situation
La variation de température durant la
première demi-heure est :
∆T = 20,3 – 22,0 = –1,7 °C
La variation de temps est :
∆t = 0,50 – 0,00 = 0,50 h
Le taux de variation moyen de la température
durant cet intervalle de temps est :
–1,7 °C
∆T
= –3,4 °C/h
= 0,50 h
[0,00;
0,50]
∆t
En calculant le taux de variation moyen durant
l’intervalle [0,50; 1,50], on obtient :
–2,8 °C
∆T
= –2,8 °C/h
= 1,00 h
[0,50;
1,50]
∆t
Durée
(h)
T
(°C)
∆T
∆h
(°C/h)
0,00
22,0
–
0,50
20,3
–3,4
1,50
17,5
–2,8
2,75
14,5
–2,4
3,50
12,9
–2,1
5,25
9,9
–1,7
On peut compléter ces calculs pour les autres intervalles de temps.
Mise en situation
Durée
(h)
T
(°C)
∆T
∆h
(°C/h)
0,00
22,0
–
Le taux de variation moyen d’une variable par
rapport à l’autre véhicule de l’information sur
le phénomène. Il décrit un aspect de celui-ci.
0,50
20,3
–3,4
1,50
17,5
–2,8
2,75
14,5
–2,4
Pour faire une analyse complète du phénomène,
le taux de variation moyen n’est pas suffisant.
On peut tenter de déterminer un modèle
décrivant le lien entre les variables, par une
relation ou par une fonction.
3,50
12,9
–2,1
5,25
9,9
–1,7
Le calcul des taux de variation moyen permet
de constater que la diminution de température
est de moins en moins rapide.
Mais, voyons d’abord quelques grandeurs physiques qui sont des taux
de variation.
Taux de variation et grandeurs physiques
Quelques exemples :
La vitesse moyenne durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de
variation de la position par rapport au temps durant cet intervalle.
Elle est mesurée en mètres par seconde (m/s).
L’accélération moyenne durant un intervalle de temps [c; d] est le
taux de variation de la vitesse par rapport au temps. L’accélération
est mesurée en mètres par seconde par seconde (m/s2);
Le débit moyen durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de
variation du volume de liquide par rapport au temps. Il est mesuré
en mètres cubes par seconde (m3/s) ou en litres par seconde (L/s);
Le courant moyen durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de
variation de la charge par rapport au temps. Il est mesuré en
coulombs par seconde (C/s) ou en ampères (A). La relation entre les
unités de mesure est 1 C/s = l A;
Relation et fonction
On soupçonne qu’il y a un lien entre la résistance d’un conducteur et
la température.
Pour s’en assurer, on peut appliquer le protocole suivant :
1. Construire un circuit suivant le schéma cicontre.
2. Refroidir celui-ci jusqu’à –20 °C, fermer le
circuit.
3. Réchauffer le circuit jusqu’à 30 °C.
4. Mesurer la résistance à diverses températures à intervalles de 10 °C.
Supposons que les mesures observées sont
celles du tableau suivant :
T (°C) –20
–10
0
10
20
30
R (Ω) 17,2
19,4
21,5
23,7
25,7
28,0
Relation et fonction
En récoltant les données de ce tableau, on a couplé des mesures.
L’ensemble de ces couples constitue une relation. Dans notre mise en
situation, ces couples donnent un aperçu de la relation entre la
résistance et la température.
L’ensemble de ces couples peut également être représenté de la façon
suivante :
Couple
f : {(–20; 17,2), …,(–10; 19,4), …, (0; 21,5), …, (30; 28,0), …}
Préimage
du couple
Image du
couple
DÉFINITION
Fonction
Une fonction est une relation pour laquelle chaque préimage a une
et une seule image.
Représentations d’une fonction
Extension
Représentation sous la forme d’un tableau ou d’une liste de couples.
T (°C) –20
–10
0
10
20
30
R (Ω) 17,2
19,4
21,5
23,7
25,7
28,0
Graphique
En associant à chaque couple d’une
relation un point dans un système de
référence cartésien.
On obtient une courbe qui est la
représentation graphique de cette
relation.
La variable indépendante est représentée sur l’axe horizontal et la
variable dépendante sur l’axe vertical.
28
R
24
20
16
12
8
–30 –20 –10
10 20 30 T
Température (°C)
Représentations d’une fonction
Compréhension
Représentation sous la forme :
f : {(T; R) R2 | ••• }
où ••• devrait être une phrase ou une équation décrivant la relation
entre les variables observées et permettant d’en faire l’analyse dans
des cas complexes.
f : {(T; R) R2 | R = 0,215T +21,51}
Verbale
La représentation verbale est la description en mots d’une situation
comportant des variables entre lesquelles il existe une relation.
Dans ces cas, il faut traduire la description verbale en écriture
symbolique pour obtenir la représentation en compréhension.
Modélisation
La modélisation d’un phénomène est la démarche qui vise à décrire
celui-ci par une relation en compréhension.
Le modèle est dit global, lorsqu’il décrit la correspondance pour
l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable indépendante
ou l’ensemble des valeurs obtenues expérimentalement.
Il est dit local s’il décrit seulement un sous-intervalle de l’ensemble
des valeurs possibles.
Il est dit par segments (ou par intervalles) si le modèle comporte plus
d’une équation et que chacune de celles-ci n’est valide que sur un
intervalle déterminé.
La représentation graphique permet de visualiser le comportement
des variables et de faire des hypothèses sur le type de lien entre les
variables.
Ainsi, lorsque les points sont alignés, on peut faire l’hypothèse d’un
lien affin entre les variables.
Fonction affine
DÉFINITION
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme :
f(x) = ax + b
où a et b sont des nombres réels et a ≠ 0.
La représentation graphique
d’une fonction affine est une
( x2; y2)
droite dont l’intersection avec
l’axe vertical est (0; b).
(0; b)
Le coefficient a est appelé pente
( x1; y1)
de la droite ou taux de variation
de la relation.
∆x = x2 – x1
∆y
y2 – y1
a=
=
∆x
x2 – x1
∆y = y2 – y1
Domaine
DÉFINITION
Domaine d’une fonction
On appelle domaine d’une fonction l’ensemble des valeurs qui ont
une image par la fonction.
DÉFINITION
Domaine de validité d’un modèle
On appelle domaine de validité d’un modèle l’intervalle pour lequel
le modèle est valide, compte tenu de la situation qu’il décrit.
Continuité
DÉFINITION
Fonction continue sur un intervalle
Lorsque le graphique d’une fonction sur un intervalle de son
domaine est constitué d’une seule courbe ne comportant pas de
coupures, on dit que la fonction est continue sur cet intervalle.
c
Continue sur [c; d]
d
c
Discontinue sur [c; d]
d
Variation
DÉFINITION
Variation
On appelle variation tout changement de la valeur d’une variable.
On représente une variation par la lettre grecque ∆ (delta). Ainsi ∆x,
qui se lit delta x, représente une variation de la variable x.
Si la valeur initiale de cette variable dans
un intervalle est représentée par c et la
valeur finale par d, la variation ∆x est
donnée par :
∆x = d – c
Soit f, une fonction continue sur un
intervalle fermé [c; d]. La variation ∆y de
cette fonction dans l’intervalle [c; d] est
définie par :
∆y = f(d) – f(c)
(d; f(d))
∆y
c
(c; f(c))
∆x = d – c
d
Taux de variation
DÉFINITION
Taux de variation
Soit y = f(x), une fonction continue sur un intervalle fermé
[c; d]  domf. On appelle taux de variation moyen de f dans
l’intervalle [c; d] le rapport :
∆y
∆x
=
[c; d]
f(d) – f(c)
d–c
Le taux de variation moyen est le rapport
de la variation de la variable dépendante à
la variation de la variable indépendante
sur un intervalle particulier.
Graphiquement, c’est la pente de la sécante
passant par les points (c; f(c)) et (d; f(d)).
(d; f(d))
∆y
c
(c; f(c))
∆x = d – c
d
Exemple
Le graphique ci-contre représente la
vitesse v d’un mobile en fonction du
temps t.
∆v
∆t
Calculer le taux de variation moyen de la
vitesse durant l’intervalle [1; 4].
Ontaux
peutde
estimer
graphiquement
que la
Le
variation
moyen est positif
et vitesse à 1 s est de 0,6 m/s et à
4 s, elle est
de durant
1,2 m/s, cet
d’oùintervalle,
:
signifie
que,
la
∆v =moyenne,
v2 – v1 = 1,2
0,6 = 0,6 m/s
vitesse augmente, en
de –0,2
mètre
parde
seconde
à chaque
La durée
l’intervalle
est :seconde. Le
t2 – t1 = 4par
–1=3s
taux de variation de ∆t
la= vitesse
rapport
temps est est
unealors
accélération.
Le taux au
de variation
:
∆v
∆t
=
[1; 4]
0,6 m/s
3s
= 0,2 m/s2
SS
Vocabulaire des formes
Le taux de variation d’une fonction non affine n’est pas constant et la
courbe d’une telle fonction peut avoir une des quatre formes
élémentaires du tableau suivant.
Formes élémentaires
Concave vers le haut
Concave vers le bas
Formes composées
Un phénomène qui n’a que l’un de ces comportements est dit
monotone. Si le phénomène n’est pas monotone, la courbe de la
fonction a alors un ou des changements de comportement. Elle peut
alors avoir une des caractéristiques du tableau suivant.
Formes composées
Continue
Discontinue
Exemple
On lance une balle verticalement avec une vélocité de 20 m/s. La
position de la balle mesurée à partir du sol est décrite par :
s = f(t) = 20t – 4,9t2 mètres
Trouver le taux de variation moyen de s par rapport à t durant
l’intervalle de temps
temps [0,5;
[1,75;1,75],
3], représenter
représentergraphiquement
graphiquement ce
ce taux de
variation et interpréter.
8,97 m/s
s(3)75)
– s(1,75)
mm
ss
s(1,
–
s(0,
5)

–3,27 m/s

(3 75
– 1,–75)
[1,75;
3]
tt
(1,
0,5)s s
[0,5;
1,75]
(15,90
––19,
99)m
m
(19,99
8,
78)

1,25 ss
1,25
 –3,27
8, 97 mm ss
La balle
du sol
sol de
de 8,97
3,27
La
balle s’approche
s’éloigne du
mètres par
par seconde
seconde en
en moyenne
moyenne
mètres
durant cet
cet intervalle
intervalle de
de temps.
temps.
durant
S
Conclusion
Le taux de variation moyen est une mesure de la rapidité avec
laquelle une variable dépendante réagit à une variation de la
variable indépendante.
On peut estimer le taux de variation moyen lorsque la fonction est
définie par une représentation graphique continue ou supposée telle.
On peut le calculer lorsque la fonction est continue et définie en
extension ou en compréhension.
Lorsque la fonction est décrite verbalement, il faut d’abord traduire
en langage symbolique (définir en compréhension) pour pouvoir le
calculer.
Lecture
Calcul différentiel en sciences de la nature,
section 1.1, p.3 à 11.
Exercices
Calcul différentiel en sciences de la nature,
section 2.2, p. 12 à 14.