La droite dans 2 R Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment obtenir l’équation d’une droite de R2 dont certaines caractéristiques sont décrites à l’aide des vecteurs. Pour décrire une droite de R2, on peut : • donner un point et un vecteur perpendiculaire à la droite (ou vecteur normal); • donner un point et un vecteur parallèle à la droite (ou vecteur directeur). Vecteur normal Définition Vecteur normal Un vecteur normal à une droite de R2 est un vecteur perpendiculaire à cette droite. Nous le notons N. Comme nous l’avons fait précédemment, nous emploierons parfois la lettre grecque ∆ (delta) pour désigner une droite. Rappelons que, pour trouver l’équation d’une droite, on doit décrire la condition à laquelle doit satisfaire un point pour être sur cette droite. Dans les situations que nous allons présenter, cette condition s’exprime à l’aide des vecteurs. Équation d’une droite de R2 Un point et un vecteur normal sont donnés Considérons une droite dont on connaît un point R(x1; y1) et un vecteur normal N = (a; b). Pour qu’un point P(x ; y) soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. On doit donc avoir : N • RP = (a ; b) • (x – x1; y – y1) = 0, d’où : ax + by – ax1 – by1 = 0. Dans cette équation, –ax1 – by1 est une constante que l’on désigne par c. On a donc une équation de la forme : ax + by + c = 0 Réciproquement, on peut prouver que ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite perpendiculaire au vecteur N = (a; b). Équation cartésienne d’une droite de R2 Définition Équation cartésienne d’une droite de R2 Soit R(x1; y1), un point d’une droite ∆, et N = (a; b), un vecteur normal à cette droite. On appelle équation cartésienne de la droite l’équation : ax + by + c = 0, où c = –ax1 – by1. Remarque : Dans l’équation cartésienne de la droite, les coefficients des variables représentent un vecteur normal à la droite. Équation cartésienne d’une droite de R2 Procédure pour trouver l’équation cartésienne d’une droite de R2 dont un point et un vecteur normal sont connus 1. Soit R, le point, et N, le vecteur normal. Construire le vecteur allant du point R à un point P quelconque de coordonnées (x; y). 2. Effectuer le produit scalaire des vecteurs N et RP. 3. Faire égaler le produit à 0 et regrouper les constantes. Exemple 10.1.1 Trouver une équation cartésienne de la droite passant par le point R(4; 5) et perpendiculaire au vecteur N = (2; 1). Soit P(x ; y), un point quelconque de R2. Le vecteur RP est alors : RP = (x – 4; y – 5) Pour que P soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. Leur produit scalaire doit donc être nul. N • RP = (2; 1) • (x – 4; y – 5) = 0 2x – 8 + y – 5 = 0 2x + y – 13 = 0 L’équation cartésienne est donc : 2x + y – 13 = 0 S Exercice Trouver une équation cartésienne de la droite passant par le point R(6; 3) et perpendiculaire au vecteur N = (1; 3). Soit P(x ; y), un point quelconque de R2. Le vecteur RP est alors : RP = (x – 6; y – 3) Pour que P soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. Leur produit scalaire doit donc être nul. N • RP = (1; 3) • (x – 6; y – 3) = 0 x – 6 + 3y – 9 = 0 x + 3y – 15 = 0 L’équation cartésienne est donc : x + 3y – 15 = 0 S Vecteur directeur Définition Vecteur directeur Un vecteur directeur est un vecteur parallèle à un lieu géométrique, à une droite ou à un plan. Nous le noterons D. En donnant un point et un vecteur directeur, on détermine complètement une droite. On peut donc en trouver une équation en utilisant cette information. Il y a différentes formes sous lesquelles on peut décrire symboliquement une droite dont on connaît un point et un vecteur directeur. On peut en donner une équation vectorielle, une description paramétrique ou une équation symétrique. Vecteur position Rappelons qu’un repère d’une droite est constitué d’un point de celle-ci et d’un vecteur directeur. À partir d’un point fixe considéré comme origine, on peut décrire chaque point de la droite par un vecteur position. En considérant que le domaine de variation du paramètre est R, on obtient alors une équation vectorielle de la droite, soit : OX = OP + t D, où t est un nombre réel. Remarque : Dans R2, les vecteurs OX, OP et D s’expriment en fonction de la base. On utilisera la base orthonormée usuelle. Équations paramétriques d’une droite de R2 Un point et un vecteur directeur sont donnés Considérons une droite dont on connaît un point R(x1; y1) et un vecteur directeur D = (a; b). Soit un point P(x; y) de cette droite, alors : OP = OR + RP , d’où : OP = OR + t D, où t est un nombre réel. Cela donne l’équation vectorielle : (x; y) = (x1; y1) + t (a; b) = (x1 + a t; y1 + b t) , où t est un nombre réel. L’égalité des vecteurs donne la description paramétrique de la droite : x = x1 + a t , où t est un nombre réel. ∆: y = y1 + b t Remarque : Dans une description paramétrique de la droite, les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite. Équations vectorielle et paramétriques Définition Équation vectorielle et équations paramétriques Soit R(x1; y1), un point d’une droite, et D = (a; b), un vecteur directeur de cette droite. On appelle équation vectorielle de la droite l’équation : OP = OR + t D, où t est un nombre réel. En exprimant les vecteurs dans la base usuelle de R2, cela donne : (x; y) = (x1; y1) + t (a; b) = (x1 + a t; y1 + b t) , où t est un nombre réel. On appelle équations paramétriques de la droite les équations : ∆: x = x1 + a t y = y1 + b t , où t est un nombre réel. Exemple 10.1.2 Trouver les équations paramétriques, puis une équation cartésienne de la droite passant par le point R(3; 2) et parallèle au vecteur D = (–1; 3). Soit ; y), un quelconque de àR2partir . Ce PourP(x trouver unepoint équation cartésienne des équations il faut éliminer point est sur laparamétriques, droite si le vecteur RP est le paramètre. Pourdirecteur. ce faire,C’est isolons t dans parallèle au vecteur à dire s’il chacune des équations. existe un scalaire t tel queOn : trouve alors : x–3 y–2 t= = OR t= +tD –1OPet 3 x – 3 les vecteurs y–2 En considérant algébriques dans la base usuelle, on a : D’où : = –1 3 S (x; y) = (3; 2) + t (–1; 3) = (3 – t; 2 + 3t) Cela donne : 3x – 9 = –y + 2 Les équations paramétriques sont alors : Et on xobtient = 3 – tl’équation cartésienne : , où t est un nombre réel. ∆: 3x + y – 11 = 0 y = 2+ 3 t Exercice Trouver les équations paramétriques, puis une équation cartésienne de la droite passant par le point R(4; 2) et parallèle au vecteur D = (3; –2). 2. Ce Soit ; y), une un point quelconque de àRpartir PourP(x trouver équation cartésienne point est sur laparamétriques, droite si le vecteur RP est des équations il faut éliminer le paramètre. Pourdirecteur. ce faire,C’est isolons t dans parallèle au vecteur à dire s’il chacune des équations. On existe un scalaire t tel que : trouve alors : x–4 y–2 OP = OR + t D t= 3 et t = –2 x – 4 les vecteurs y–2 En considérant algébriques dans la base usuelle, on a : D’où : = 3 –2 S (x;donne y) = (4; + t+(3; Cela : 2)–2x 8 =–2) 3y=– (4 6 + 3 t; 2 – 2t) Les équations sont alors Et on obtient paramétriques l’équation cartésienne : :–2x – 3y + 14 = 0 En multipliant x = 4 + 3tles deux membres de l’équation par –1, on a : , où t est un nombre réel. ∆: 2x + 3y – 14 = 0 y = 2 – 2t Équation symétrique d’une droite de R2 Définition Équation symétrique Soit R(x1; y1), un point d’une droite, et D = (a; b), un vecteur directeur de cette droite. L’équation symétrique de la droite est : y – y1 x – x1 , si a ≠ 0 et b ≠ 0. = b a Remarque : Dans une équation symétrique de la droite, les dénominateurs donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite. Positions relatives de droites dans R2 Droites parallèles Caractéristiques des droites parallèles Les vecteurs normaux sont parallèles : $ k R tel queN1 = k N2 Les vecteurs directeurs sont parallèles : $ k R tel que D1 = k D2 Le vecteur normal de l’une des droites est perpendiculaire au vecteur directeur de l’autre droite : D1 • N2 = 0 et N1 • D2 = 0 Positions relatives de droites dans R2 Droites parallèles Caractéristiques des droites parallèles distinctes • Lorsqu’un point R(x1; y1) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite : si R ∆1, alors R ∆2 • Il n’y a aucun point d’intersection. Caractéristiques des droites parallèles confondues • Lorsqu’un point R(x1; y1) est sur l’une des droites, il est sur l’autre droite : si R ∆1, alors R ∆2 • Il y a une infinité de points d’intersection. Positions relatives de droites dans R2 Droites concourantes Caractéristiques des droites concourantes • Les droites ne sont pas parallèles. • Les vecteurs normaux sont non colinéaires : " k R\{0}, N1 ≠ k N2 • Les vecteurs directeurs sont non colinéaires : " k R\{0},D1 ≠ k D2 • Le vecteur normal de l’une des droites n’est pas perpendiculaire au vecteur directeur de l’autre droite : N1 • D2 ≠ 0 et D1 • N2 ≠ 0 • Il y a un seul point d’intersection. Exemple 10.1.4 Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où : x = 2 + 3t S ∆1 : 2x – 3y + 16 = 0 et ∆2 : y = 4 + 2t Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Pour déterminerdes si les droites sont oucartésienne confondues,donnent il suffit un Les coefficients variables dansdistinctes l’équation de considérer un point quelconque de l’une des droites et de vérifier vecteur normal N1 = (2; –3). s’il est sur l’autre droite. Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un En posant, par exemple, vecteur directeur D2 = (3;x2).= 1 dans l’équation de ∆1, on obtient 2Le– produit 3y + 16 =scalaire 0, d’oùdonne –3y = :–18 = 6. (2;Le –3)point • (3; P2)1(1; = 66)– est 6 =donc 0. un N1 •etDy2 = point de ∆1. En lesles coordonnées de ce point dans les équations de lasont Parsubstituant conséquent, vecteurs sont perpendiculaires et les droites droite ∆2, on obtient : parallèles. 1 = 2 + 3t, d’où : t = –1/3 6 = 4 + 2t, d’où : t = 1 Ces égalités contradictoires indiquent que le point (1; 6) n’est pas sur la droite ∆2. Les droites sont donc parallèles distinctes. Exercice Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où : x = –3 + 3t S ∆1 : 4x + 3y – 24 = 0 et ∆2 : y = 12 – 4t Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Pour déterminerdes si les droites sont confondues,donnent il suffit un Les coefficients variables dansdistinctes l’équationoucartésienne de considérer un point quelconque de l’une des droites et de vérifier vecteur normal N1 = (4; 3). s’il est sur l’autre droite. Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un En posant, par exemple, x = 3 dans l’équation de ∆1, on obtient vecteur directeur D = (3; –4). 12 + 3y – 24 = 0, d’où2 3y = 12 et y = 4. Le point P1(3; 4) est donc un Le produit point de ∆1.scalaire donne : N1 • D2 = (4; 3) • (3; –4) = 12 – 12 = 0. En ce point dans l’équation de la Par substituant conséquent,les lescoordonnées vecteurs sontdeperpendiculaires et les droites sont droite ∆2, on obtient : parallèles. 3 = –3 + 3t, d’où : t = 2 4 = 12 – 4t, d’où : t = 2 Ces égalités indiquent que le point (3; 4) est sur la droite ∆2. Par conséquent, les droites sont parallèles confondues. Exemple 10.1.5 Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où : x = 7 + 5t S ∆1 : 4x – y – 11 = 0 et ∆2 : y = 1 + 4t Trouver le point d’intersection, cas échéant. Pour déterminer le point delerencontre des droites, on peut substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un et calculer la valeur du –1). paramètre au point d’intersection. Cela vecteur normal N1 = (4; donne : + 5t) – (1 dans + 4t) –les 11 =équations 0 Les coefficients du 4(7 paramètre paramétriques 28 + 20t – 4t –4). 11 = 0 donnent un vecteur directeur D21 =– (5; 16t + 16 = 0 = (4; –1) • (5; 4) = 20 – 4 = 16 ≠ 0. Le produit scalaire donne : N1 •tD=2 –1 En les équations paramétriques, on trouveet:les droites Parsubstituant conséquent,dans les vecteurs ne sont pas perpendiculaires sont concourantes. x = 7 + 5 (–1) = 2 y = 1 + 4 (–1) = –3 Le point de rencontre des deux droites est donc (2; –3). Exercice Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où : x = 9 + 2t S ∆1 : 7x + 3y – 26 = 0 et ∆2 : y = 3 + 3t Trouver le point d’intersection, cas échéant.des droites, on peut Pour déterminer le point dele rencontre substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela vecteur normal N1 = (7; 3). donne : + 2t) + 3(3 dans + 3t) –les 26 = 0 Les coefficients du7(9 paramètre équations paramétriques 63 + 14t + 9 + 9t – 26 = 0 donnent un vecteur directeur D = (2; 3). 23t +246 = 0 = (7; 3) • (2; 3) = 14 + 9 = 23 ≠ 0. Le produit scalaire donne : N1 •t D =2–2 En les équations paramétriques, on trouve Parsubstituant conséquent,dans les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et :les droites x = 9 + 2 (–2) = 5 sont concourantes. y = 3 + 3 (–2) = –3 Le point de rencontre des deux droites est donc (5; –3). Conclusion On peut caractériser une droite de R2 en donnant un point de celle-ci et en définissant son orientation , soit par un vecteur normal ou par un vecteur directeur. Ces informations sont suffisantes pour déterminer une équation de la droite. À partir de l’équation d’une droite, on peut déterminer soit un vecteur normal, soit un vecteur directeur. En comparant les vecteurs décrivant l’orientation de deux droites, on peut savoir si celles-ci sont parallèles ou concourantes. Lorsque les droites sont parallèles et qu’elle n’ont pas de point commun, elles sont parallèles distinctes. Si elles ont un point commun, elles sont confondues. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 10.1, p.283-289. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 9.1, p.219-225. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 10.2, p. 290-291. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 9.2, p.226-227.