Régime permanent sinusoïdal

Analyse des circuits électriques
-GPA220-
Cours #12: Régime permanent sinusoïdal et révision
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
S
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014
Cours #12
S Retour sur le cours #11:
S Système de deuxième ordre (suite et fin):
S
Circuit RLC en parallèle: réponse à l’échelon (cas 2)
S
Circuit RLC en série: réponse naturelle (cas 3)
S
Circuit RLC en série: réponse à l’échelon (cas 4)
S Théorie du cours #12:
S
Sources sinusoïdales
S
Révision des nombres complexes
S
Les phaseurs
S
Impédance
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Retour sur le cours #11
3
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Retour sur le cours #11 (1)
S Nous avions étudié la dynamique de la réponse à l’échelon d’un circuit
RLC parallèle:
4
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Retour sur le cours #11 (2)
S Nous avions ensuite étudié la réponse naturelle d’un circuit RLC série:
S En résumé, la forme des équations est la même que dans le cas des
circuits RLC parallèle:
s1t
s2t
v  t   Ae

A
e
1
2
s1,2     2  02

Sauf que:
R
2L
0 
=

0
(Racines)
(Coefficient d'amortissement) ***
1
LC
(Fréquence naturelle)
(Taux d'amortissement)
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Cours #12
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Sources sinusoïdales (1)
S
Une source sinusoïdale est une source (de tension ou de courant) dont la polarité change
périodiquement.
Par exemple:
Graphique d’un voltage alternatif
(120 Volts) oscillant à 60Hz.
C‘est la forme d’onde délivrée
par Hydro-Québec
https://6002x.mitx.mit.edu/static/circuits/120V60Hz.gif
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Sources sinusoïdales (2)
S
La valeur d’une source de tension ou d’une source de courant sinusoïdale s’exprime à
l’aide de la fonction trigonométrique sinus ou encore cosinus.
S
Rappel:

cos    sin   
2

S
Dans le cadre de ce cours, nous choisirons la fonction cosinus.
S
Source de tension:
S
Source de courant:
V  t   Vm cos t   
I  t   I m cos t   
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Sources sinusoïdales (3)
Valeur RMS (Root Mean Square)
S
Fréquemment, lorsque l’on travaille avec des sources sinusoïdales, une quantité que l’on
étudie est la valeur rms (root mean square).
S
Celle-ci correspond à la moyenne de la valeur absolue de la fonction. Elle est donc définie comme étant la
racine carrée de la valeur moyenne du carré de la fonction:
VRMS
S
1

T
t0 T
V
2
m
cos 2 t    dt
t0
Heureusement ceci se simplifie:
VRMS 
Vm
2
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Révision des nombres complexes (1)
S
Re-voyons un peu la définition des nombres complexes…
S
Un nombre complexe est un nombre qui possède une partie réelle et une partie imaginaire:
c
a
Partie réelle
S

bj
Rappel:
j  1
Partie imaginaire
On peut écrire un nombre complexe sous différentes formes:
Rappel - identité d'Euler:
e j  cos    j sin  
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Révision des nombres complexes (2)
S
Quelques notes sur l’algèbre des nombres complexes:
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Les phaseurs (1)
S
Un phaseur est un nombre complexe représenté à l’aide de la norme et de la phase d’une
quantité électrique.
S
On peut représenter une tension ou un courant sinusoïdal par un phaseur !
S
Le phaseur est utile pour analyser des circuits électriques altenatifs dont toutes les
composantes oscillent à la même fréquence.

V  t   Vm cos t   
Et: 

 I  t   I m cos t   
Donc:
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Les phaseurs (2)
S
Analyse de circuit à l’aide des phaseurs (on parle aussi d’analyse dans le domaine
fréquentiel):
S
S
Les lois de Kirchhoff restent les mêmes, c’est-à-dire:
S
La somme des phaseurs de courant entrant dans un noeud = nulle
S
La somme des phaseurs de tension le long d’une boucle = nulle
Ainsi, toutes les méthodes d’analyse que nous avons vues avec les circuits DC (sources à
valeur constante) s’appliquent aussi aux phaseurs!
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Maintenant que nous avons fait une révision des nombres complexes et que
nous avons introduit le concept du phaseur, étudions le comportement des
composantes de base que nous avons vus jusqu’à maintenant (résistance,
inductance, capacitance) dans le domaine fréquentiel…
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Les phaseurs (3)
Résistance dans le domaine fréquentiel
V  t   Vm cos t   
I  t   I m cos t   
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Les phaseurs (4)
Inductance dans le domaine fréquentiel
En effet, puisque:
I  t   I m cos t   
d i t 
  L I m sin t   
dt
  L I m cos t    90 
vL
À partir de cela, la représentation
en phaseur du voltage:
V   LI m e
 j LI m e j
 j LI

j  90

note: V   LI m    90 
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Les phaseurs (5)
Capacitance dans le domaine fréquentiel
En effet, puisque:
d v t 
 CVm sin t   
dt
Donc:
iC
I  jCV

V
note : V  I m    90 
1
I
jC
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Impédance et réactance (1)
S L’impédance est la généralisation du concept de résistance (circuits
résistifs) aux circuits comportant des inductances et/ou des capacitances.
Celle-ci s’exprime en Ohm. C’est le ratio du voltage sur le courant à un
certain temp t.
S L’inductance se note Z et elle s’exprime:
V  ZI
S La partie imaginaire de l’impédance se nomme réactance.
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Impédance et réactance (2)
Circuit RLC:
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Impédance et réactance (3)
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Impédance et réactance (4)
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Impédance et réactance (5)
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Révision
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S Circuits d’ordre 1:
Réponse naturelle:
Circuit RL
Circuit RC
Réponse à l’échelon:
Circuit RL
Circuit RC
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S Circuits d’ordre 2:
parallèle
s1,2     2  02
1
2 RC
1
0 
LC

=

0
série
s1,2     2  02
(Racines)

(Coefficient d'amortissement)
R
2L
0 
(Fréquence naturelle)
=
(Taux d'amortissement)
25

0
(Racines)
(Coefficient d'amortissement) ***
1
LC
(Fréquence naturelle)
(Taux d'amortissement)
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Références
S
[1] Présentations PowerPoint du cours GPA220, Vincent Duchaine, Hiver 2011
S
[2] NILSSON, J. W. et S.A. RIEDEL. Introductory Circuits for Electrical and Computer
Engineering, Prentice Hall, 2002.
S
[3] Wildi, Théodore. Électrotechnique, Les presses de l’Université Laval, 3ième édition,
2001
S
[4] Floyd, Thomas L. Fondements d’électrotechnique, Les éditions Reynald Goulet inc.,
4ième édition, 1999
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