Systèmes de premier ordre (Partie 1)

Analyse des circuits électriques
-GPA220-
Cours #8: Système de premier ordre (partie 1)
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
S
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014
Cours #8
S Retour sur le cours #7:
S Introduction aux composantes dynamiques:
S
Inductance (bobine)
S
Capacitance (Condensateur)
S
Combinaison série / parallèle des inductances et des capacitances
S Matière du cours #8: systèmes du premier ordre
S Défnition
S Réponse naturelle VS réponse à l’échelon
S Réponse naturelle circuit RL et circuit RC
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Retour sur le cours #7
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Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014
Retour sur le cours #7 – Inductance (1)
S
Qu’est-ce qu’une inductance?
S
Il s’agit d’une composante électrique dite dynamique , son rôle est
de s’opposer (avec une certaine vigueur) aux variations de
courant.
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Retour sur le cours #7 – Inductance (2)
S
Qu’est-ce qu’une inductance?
S
Dans une formule, on utilisera la variable L, et celle-ci
est utilisée en l’honneur de Heinrich Lenz.
S
L’unité de l’inductance est le Henri (H), en l’honneur
de Joseph Henri, qui découvrit le principe de l’autoinduction.
S
Tout courant parcourant un fil conducteur génère un
champ magnétique à travers la section qui l’entoure.
L’inductance est le quotient du flux magnétique sur
l’intensité du courant qui circule.
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Retour sur le cours #7 – Inductance (3)
S Lorsqu’un courant circule dans une inductance, ce dernier créer un
champ magnétique.
S Lorsque le courant varie, le champ magnétique varie également.
S Un conducteur placé dans un champ magnétique variant subira de
l’induction magnétique. Par conséquent, le potentiel électrique (tension)
est proportionnel à la variation de courant dans la bobine.
S Relation entre le voltage et le courant:
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Retour sur le cours #7 – Inductance (4)
S Relation voltage-courant, courant-voltage, puissance & énergie:
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Retour sur le cours #7 – Capacitance (1)
S
Qu’est-ce qu’une capacitance?
S Une capacitance se présente souvent sous la forme d’un condensateur:
S Il s’agit d’une composante électrique dite dynamique , son rôle est d’accumuler des
charges (avec une certaine capacité).
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Retour sur le cours #7 – Capacitance (2)
S Qu’est-ce qu’une capacitance (suite)?
S Le principe de capacitance fut découvert par Michael Faraday.
S Dans une formule, on utilisera la variable C, et celle-ci est utilisée
en l’honneur de Heinrich Lenz.
S L’unité de la capacitance est le Farad (F), utilisé justement en
l’honneur de Michael Faraday.
S
Un Farad est la valeur de la capacitance qui produit une différence de
potentiel d’un volt aux bornes d’un condensateur chargé par un
Coulomb.
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Retour sur le cours #7 – Capacitance (3)
S Principe de fonctionnement:
S Le condensateur est généralement constitué de deux plaques conductrices appelées
armature, qui sont séparées par un matériel isolant, que l’on nomme diélectrique.
S Lorsqu’une tension est appliquée aux bornes du condensateur, il survient une
séparation des charges au niveau des armatures:
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Retour sur le cours #7 – Capacitance (4)
S Comment calculer la capacitance d’un condensateur?
S Où C est la capacitance, A est l’aire commune des armatures, d est la
distance séparant les armatures, Er est la permittivité du diélectrique et
E0 est la permittivité du vide (environ 8.85*10^(-12)).
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Retour sur le cours #7 – Capacitance (5)
S Lorsqu’une certaine tension est appliquée aux bornes d’un condensateur,
celui-ci se met à accumuler des charges selon une capacité donnée.
S Supposons qu’après s’être stabilisée, la tension électrique augmente
soudainement: il surviendra alors une accumulation supplémentaire des
charges par le condensateur.
S Le courant entrant dans le condensateur est donc proportionnel à la
variation de la tension électrique appliquée à ses bornes.
S Relation entre le courant et le voltage:
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Retour sur le cours #7 – Capacitance (6)
S Relation courant-tension et tension-courant:
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Retour sur le cours #7 – Capacitance (7)
S La capacitance est utilisée dans le cadre de plusieurs recherches /
produits courants:
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Retour sur le cours #7
Révision des composantes (Analogies)
S
Les composantes vues jusqu’à maintenant dans le cadre du cours (+ le condensateur):
Image tirée de:
http://scphysiques.free.fr/TS/physiqueTS/DOCP7Rappels.pdf
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Retour sur le cours #7
Combinaisons série-parallèle (1)
S Inductance:
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Retour sur le cours #7
Combinaisons série-parallèle (2)
S Capacitance:
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[Exercice 5.4 – p.191] &
Cours #8
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Définition du système de premier ordre (1)
S Nous venons d’introduire les bobines et les condensateurs, nous allons
maintenant nous servir de ces composants pour étudier des circuits :
S RC: composés de résistance(s) et de condensateur(s)
S RL: composés de résistance(s) et de bobine(s)
S L’étude de ces circuits portera sur :
S 1) La réponse naturelle du circuit: l’étude des courants et des voltages qui
surviennent lorsque l’énergie emmagasinée dans une inductance ou une
capacitance est soudainement relâchée (déconnexion de la source).
S 2) La réponse à l’échelon: l’étude des courants et des voltages qui
surviennent lorsqu’une inductance ou une capacitance acquiert
soudainement de l’énergie en raison de la connection à une source de
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courant ou de tension continue. 19
Définition du système de premier ordre (2)
S Un système de premier ordre est un système dont le comportement est
régi par une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient
constant:
S La forme standard du système de premier ordre:
dx  t 
A0 y  t   x  t   
dt
 est la constante de temps


 A0 est le gain d'amplification statique
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Définition du système de premier ordre (3)
S La réponse typique d’un système de premier ordre:
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Systèmes de premier ordre (1)
S Effectuons un premier exemple:
S Exprimer i(t) en fonction des paramètres de ce circuit:
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Systèmes de premier ordre (2)
S Effectuons un premier exemple:
S Exprimer v(t) en fonction des paramètres de ce circuit:
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Systèmes de premier ordre (3)
S Donc, la réponse d’un système est fonction de son entrée (voltage ou
courant source) ainsi que de sa dynamique.
S Tel que mentionné:
S Réponse naturelle: Il s’agit de la réponse du système lorsque l’on
déconnecte l’entrée (la source).
S Réponse à l’échelon: Il s’agit de la réponse du système lorsque l’on
connecte une source.
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Systèmes de premier ordre (4)
S Jargon:
S Régime transitoire
S Régime permanent
S Gain statique
S Constante de temps
S Bande passante
S Dynamique du système
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Réponse naturelle d’un circuit RL (1)
S Exercice sur la réponse naturelle d’un système de premier ordre:
S Exprimer la réponse naturelle du circuit RL suivant:
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Réponse naturelle d’un circuit RL (2)
S En résumé, la procédure pour calculer la réponse naturelle d’un circuit RL:
S 1) Trouver la valeur initiale du courant dans l’inductance:
Cette fonction vaut
i(0) à t=0 et 0
lorsque t = infini
S 2) Trouver la constante de temps:
S 3) Enfin, exprimer i(t):
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Réponse naturelle d’un circuit RC (1)
S Exercice sur la réponse naturelle d’un système de premier ordre:
S Exprimer la réponse naturelle du circuit RC suivant:
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Réponse naturelle d’un circuit RC (2)
S En résumé, la procédure pour calculer la réponse naturelle d’un circuit RC:
S 1) Trouver la valeur initiale du voltage dans le condensateur:
Cette fonction vaut
v(0) à t=0 et 0
lorsque t = infini
S 2) Trouver la constante de temps:
S 3) Enfin, exprimer i(t):
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Références
S
[1] Présentations PowerPoint du cours GPA220, Vincent Duchaine, Hiver 2011
S
[2] NILSSON, J. W. et S.A. RIEDEL. Introductory Circuits for Electrical and Computer
Engineering, Prentice Hall, 2002.
S
[3] Wildi, Théodore. Électrotechnique, Les presses de l’Université Laval, 3ième édition,
2001
S
[4] Floyd, Thomas L. Fondements d’électrotechnique, Les éditions Reynald Goulet inc.,
4ième édition, 1999
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