1 Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction

Introduction à la Théorie
géométrique de la diffraction
Professeur Patrick VAUDON
Université de Limoges - France
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011
1
Théorie géométrique de la diffraction
Définition : Méthode de calcul dite asymptotique,
c’est à dire d’autant plus exacte que la fréquence est
plus élevée.
Concrètement : il s’agit de méthodes de calcul du
champ électromagnétique, intermédiaires entre les
méthodes à formulation rigoureuses et les méthodes
optiques.
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Les besoins de calculs du champ
électromagnétique
-Diagramme de rayonnement des antennes.
- Analyse du canal de propagation.
- Calculs de surface équivalente radar.
- Calculs des niveaux des parasites
électromagnétiques (compatibilité EM)
- IEMN, MPF, guerre électronique, etc …..
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Les méthodes de calcul du champ
électromagnétique
- Les méthodes exactes (Solutions exactes des équations de
MAXWELL) (Solutions peu nombreuses)
- Les méthodes rigoureuses à formulation numérique (Discrétisation des
équations de MAXWELL) (Volume de calcul limité)
- Les méthodes asymptotiques (TGD, Optique physique) (Méthodes
approchées)
Ce sont les seules méthodes utilisables pour traiter des objets dont les
dimensions sont grandes devant la longueur d’onde.
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Exemple de calcul avec un dipôle
- Dipôle : fil dont la longueur est très inférieure à la longueur d’onde
- Diagramme de rayonnement en espace libre :
F( ) = |sin( )| avec une symétrie de révolution autour du fil
- Champ électrique rayonné à grande distance :

e  jkr 
E  E 0 sin 
U
r
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Exemple de calcul avec un dipôle
Diagramme de rayonnement en espace libre
Z
0
340
355
345 350
1
335
5
10 15
20
25
0,9
330
325
30
35
0,8
320
315
40
45
0,7
310
50
0,6
305
300
55
60
0,5
295
65
0,4
290
70
0,3
285
75
0,2
280
80
275
0,1
85
270
0
90
265
x
95
260
100
255
105
250
110
245
115
240
120
235
125
230
130
225
220
135
140
215
145
210
150
205
155
200
195 190
165
175 170
185
160
180
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Exemple de calcul avec un dipôle
Problème : comment rayonne un dipôle situé à une hauteur h au-dessus
d’un plan de masse infini et parfaitement conducteur ?

r
dipôle
h
La résolution directe par les équations de MAXWELL est difficile à cause des
conditions aux limites imposées par le plan de masse.
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Exemple de calcul avec un dipôle
On va utiliser une méthode d’optique géométrique
P
r

dipôle
h

e  jkr 
Rayon direct : E d   E 0 sin 
U
r
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Rayon réfléchi ?
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Exemple de calcul avec un dipôle
P
r

dipôle
h
d
Rayon réfléchi :

e  jkr d  
E r   E 0 sin 
U
r
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avec
d = 2h cos( )
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Exemple de calcul avec un dipôle
Champ total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de mase
r

dipôle
h

e  jkr 
e  jk r d  
E  E d   E r   E 0 sin 
U   E 0 sin 
U
r
r


e  jkr
 2 jkh cos  
E  E 0 sin 
1 e
U
r


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Exemple de calcul avec un dipôle
Champ total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de masse


e  jkr
 2 jkh cos  
E  E 0 sin 
1 e
U
r




1  e2 jkh cos   e jkh cos  e jkh cos   e jkh cos   2e jkh cos  cos(kh cos())

e jkr  h cos()  
E  2E 0 sin cos(kh cos())
U
r
Diagramme de rayonnement du dipôle au-dessus du plan de masse
F  sin cos(kh cos())
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Exemple de calcul avec un dipôle
Champ total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de masse
1
1
1
0 ,8
0 ,8
0 ,8
0 ,6
0 ,6
0 ,6
0 ,4
0 ,4
0 ,4
0 ,2
0 ,2
0 ,2
0
0
0
h=0.75
h=0.5
h=0.1
1
1
1
0 ,8
0 ,8
0 ,8
0 ,6
0 ,6
0 ,6
0 ,4
0 ,4
0 ,4
0 ,2
0 ,2
0 ,2
0
0
0
h=
h=1.25
h=1.5
F  sin cos(kh cos())
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Exemple de calcul avec un dipôle
Expliquer pourquoi, pour h = , le rayonnement est sensiblement nul dans la
direction  = 75°
1
0 ,8
0 ,6
P
r
0 ,4
0 ,2
0

dipôle
h= 
r2
r1
(r1+r2) – r = k /2
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L’optique géométrique
Toutes les sources ne rayonnent pas de manière sphérique
comme dans l’exemple précédent : exemple : lampe de poche,
laser …..
L’optique géométrique précise comment évolue le champ
électromagnétique lorsqu’on se déplace le long d’un rayon.
On montre que d’un point de vue théorique, l’optique
géométrique est une solution asymptotique des équations de
MAXWELL lorsque la fréquence tend vers l’infini.
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L’optique géométrique
Théorie scalaire
Rayons
Front d’onde
=
=
Direction de
Surface
équiphase
Propagation
De l’énergie
Notion de front d’onde et de rayon
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L’optique géométrique
Théorie scalaire
Un tube de rayons transporte une énergie
constante
rayon axial
rayon paraxial
P2
d2
P1 . d1 = P2 . d2
avec
2
P1
2
E
P 
2
soit
d1
1
E12 . d1 = E22 . d2
E2 
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d1
E
d2 1
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L’optique géométrique
Théorie scalaire
d2
d1
O2
O1
1
1 + R
2
2 + R
On montre que les surfaces infinitésimales sont liées par la relation
d1
d2

R  1 R  2 
12
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L’optique géométrique
Théorie scalaire
d2
d1
O2
O1
1
1 + R
2
2 + R
On en déduit la relation qui relie ponctuellement l’amplitude du champ :
E2 
12
1  R 2  R E1
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L’optique géométrique
Théorie scalaire
d2
d1
O1
1
2
1 + R
O2
E2 
12
E1
1  R 2  R 
Quelques cas particuliers
2 + R
- 1 = 2 =  onde plane
- 1 ou 2 =  onde cylindrique
- 1 = 2 finis onde sphérique
- 1 , 2 finis quelconques onde
astigmate
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L’optique géométrique
Théorie vectorielle
Définition d’une base vectorielle associée à chaque rayon afin de
préciser la polarisation de l’onde

e //

e

e //

s

e
i

s

s

N
r
Q
- : vecteur unitaire dans la direction de propagation
- : vecteur unitaire perpendiculaire au plan d’incidence
e // - : vecteur inclus dans le plan d’incidence formant un trièdre direct

 
avec les deux autres et vérifiant : e//  es

e
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L’optique géométrique
Théorie vectorielle
Expression vectorielle des champs

e //

e

e //

s

e
i
i
i i
i i
E  E// e//  E e

s

N
r
Q
r
r r
r r
E  E// e//  E e
Les conditions aux limites imposent sur le plan parfaitement conducteur : Ei// = Er// et Ei = - Er
E   R E 
r
i
1
R   
0
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0

 1
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L’optique géométrique
Théorie vectorielle
Réflexion d’une famille de rayons
P
E P   E Q  
1i
sr
Q
r
2i
1rr2
 jksr
r
r
r
r e
1  s 2  s
r


2r
1r
E P   R E Q  
r
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i
1rr2
 jksr
r
r
r
r e
1  s 2  s


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L’optique géométrique
Le principe de FERMAT
« La nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples »
Pierre de FERMAT (1657)
FERMAT a émis le principe selon lequel, parmi l’infinité des trajets  possibles de la source
au point d’observation, la lumière choisie le trajet tel que le chemin optique soit stationnaire par
rapport à toute modification infinitésimale de ce trajet.
y
Observation(0,5)
B
Miroir
vertical
Source (0,2)
(0,0)
A
M2
5 M1
10
x
Miroir horizontal
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23
L’optique géométrique
Le principe de FERMAT
y
Source (0,2) A
M
Observation ( 4,0)
x
B
A
1
O
n1
M
n2
2
B
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