ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE Comparaison aux écoulements en conduites Géométries y z P B w I Sw z = 0 niveau N.G.F. H w X Conduites Canaux et rivières x Les équations de conservation En Conduite A surface libre Pression D Débit masse Pression Frottement FORCES EXTERIEURES DE SURFACE FORCES EXTERIEURES DE VOLUME: Pesanteur Conservation de la masse. d V .N d 0 t D En conduite : Nul sauf pour Les coups de bélier D=D[p(t)] & = [p(t)] Non nul à surface libre Quand S=S(t) Flux de masse = US = Q Débit volumique : US = Q Conservation de la quantité de mouvement. dM D M D Vd Fext FeV FeS dt D Vd V V.N d T .N d F d t D D Variation temporelle Flux de Quantité de Mouvement FORCES D’INERTIE Forces de Surface Forces de volume FORCES EXTERIEURES mt > m0 m0 m0 Flux de masse = mt - m0 Force résistante Traînée Force motrice: Pesanteur Pas d’accélération Forces Équilibrées Force d’inertie nulle Accélération Forces non Équilibrées : Force d’inertie non nulle FORCES EXTERIEURES DE VOLUME: Force motrice de pesanteur Pression g sin Pression W Force résistante de frottement FORCES EXTERIEURES DE SURFACE g cos Turbulence Moyenne temporelle 2 1 tT Ut U d T t V (m/s) 1.5 1 0.5 0 0 20 40 t 60 80 Deux moyennes successives des équations Moyenne temporelle au sens de la turbulence 1 G ( x, t ) T tT G(x, )d t Pertes d’informations temporelles fines Moyenne sur la section mouillée z y G ( x, t ) x 1 G ( x, t )d SS Pertes d’informations en y et z d dydz Conservation de la masse en conduite S US 0 t x Vitesse moyenne dans la section mouillée Débit masse 1 Ux, t U( , x, t )d S S x , t x , t U x , t S x , t m Débit volumique En permanent Q Ux Sx Cte Conservation de la masse à surface libre S US 0 t x Débit volumique Q( x, t ) U( x, t ) S(x, t ) Permanent Q U(x) S(x) Cte Conservation de la quantité de mouvement en conduite U gH T W t x RH 2 U P HT Z 2g g W S RH PW CHARGE HYDRAULIQUE Frottement à la paroi Rayon hydraulique PW Périmètre mouillé RAYON HYDRAULIQUE (conduite) D S 4 D 2 PW D S D R RH PW 4 2 Notations et définitions : y z P B w I Sw z = 0 niveau N.G.F. H w X x Profil en travers des canaux et rivières Circulaire Demi-circulaire Ovoïde Arc de cercle Trapézoïdal ( b) ( a) Rectangulaire Rivière : (a)Lit mineur, (b) lit majeur Notations et définitions : H( x, t ) S( x , t ) Pw ( x, t ) B( x , t ) Hauteur d’eau moyenne R H ( x, t ) Rayon hydraulique: DH Z f ( x, t ) Z I ( x, t ) Diamètre hydraulique : I( x ) Pente du fond : I w ( x, t ) Frottement pariétal moyen U( x, t ) Q( x , t ) Vitesse moyenne dans la section: Surface mouillée Périmètre mouillé relatif aux parois Largeur au miroir R H S / Pw Côte ( N.G.F.) du fond (radier) Côte ( N.G.F.) de la ligne d’eau Débit volumique: sin Q US dZ f dX Conservation de la quantité de mouvement à surface libre w U U 1 P U – – gI t x x R H 1 P H – – cos g x X w U U H U – cos g – gI t x X R H Z Définition de la pente z dZ f sin( ) I dx dx dZf X Hypothèse de répartition hydrostatique de la pression (SL) P( x, y) PI g ( H – z) cos Z I Z f H cos I sin g sin() g cos() g Z f x EQUATIONS DE SAINT VENANT (SL) US S t x 0 U w U U – cos g – gI t x x R H w U U H cos U g gI – t x x R H Charge hydraulique surface libre U2 HT cos Z f 2g 2 U HT ZI 2g w 1 U H T g t x gR H H T J– x w gRH J 2 ' U 2g Ligne d'énergie ligne d'eau H cos Zf fond du canal NGF Modélisation Rappel en charge A surface libre EN CONDUITE Écoulement permanent en conduite de section constante 1 S US 0 t x 2 US Q Cte U gH T W t x RH W dgH T dx RH W H T x gR H 1 2 W H T x gR H H T1 H T 2 W L12 gR H W Coefficient de frottement à modéliser H T1 H T 2 Q 2 L12 2gS 2 D U 4 2 2 1 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 LAMINAIRE 0.1 TURBULENT Rugueux TURBULENT LISSE 0.01 1.00E+07 SURFACE LIBRE Écoulement uniforme Permanent Conduite uniforme Écoulement uniforme surface libre La section transversale est constante et garde des propriétés moyennes constantes (rugosité, pente,..) L’écoulement reste parallèle au fond du canal, ce qui implique que la répartition des pressions est hydrostatique. L’interface est plane et la pression PI est constante, le frottement interfacial négligeable. L’écoulement est permanent. Écoulement uniforme w U U U – cos g – gI t x x R H 0– w R H n gI w dH T J gRHn dx Coefficient de frottement : IJ w gR Hn J w Cf 1 2 U 2 2g 1 2 RH I C H RH I w C f U gR H I U Cf 2 PAS DE REGIME UNIFORME En CANAL HORIZONTAL & CANAL ASCENDANT Formules semi - empiriques Formule de Chézy (1775) U C H R H I Q CH S R H I Formule de Manning–Strickler (1940-1950) 1 16 C H K S RH RH n 1 6 Régime uniforme: Généralisation: K S : Coefficient de Strickler 2 3 Q K S RH S I 2 3 Q K S RH S J 1 2 1 2 Q CH S R H I Q CH S R H J Coefficient de Strickler pour divers canaux et rivières 2 3 Q K S RH S J Ciment lissé, bois raboté Béton 1 2 100 Cours d’eau régulier 85 Cours d’eau avec herbes 60 Canaux en terre Moellons bruts assemblés au ciment Canaux avec pierres rugueuses et 40 Torrents avec herbes galets 40 33 44 25 Evolution de la hauteur normale avec le débit 5 4.5 4 3.5 H (m) 3 2 3 2.5 Q K S RH S I 2 1 2 1.5 1 0.5 0 0 20 40 60 80 Q (m 3/s) 100 120 140 160 Evolution de la vitesse avec le débit 1.6 1.4 1.2 U (m/s) 1.0 0.8 2 3 Q K S RH S I 0.6 1 2 0.4 0.2 0.0 0 20 40 60 80 Q (m 3/s) 100 120 140 160 Evolution de H avec la pente à Q et Ks fixés 4 3.5 3 2 3 H (m) 2.5 Q K S RH S I 2 1 2 1.5 1 0.5 0 0.E+00 2.E-03 4.E-03 6.E-03 8.E-03 pente 1.E-02 1.E-02 1.E-02 2.E-02 Evolution de H avec Ks à débit et pente fixés 4.5 4 2 3 Q K S RH S I 3.5 1 2 H (m) 3 1m 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 40 50 Ks 60 70 80 90 100 LOI LOI DE DETARRAGE TARRAGE 400 400 350 350 300 300 Q Q (m3/s) (m3/s) 250 250 Q0 Q0 Q 200 200 150 150 100 100 50 50 00 00 11 22 33 44 55 HH(m (m) ) 66 77 88 99 ENERGIE SPECIFIQUE U=cte U2 HT cos z f 2g H=cte U2 ES HT zf 2g dH T dz f I dx dx dES 0 dx pente - 1 H H H1 H1 Hc H 2 Hc H2 Qm Q Courbes de même énergie Spécifique Esmin Es 0 Courbes d’égal débit Es Régime critique Q HC 2 gB 2 1 3 Q 2B gS 3 c 1 Nombre de Froude U Fr gH Régime critique 2 2 2 U Q Q B Fr 2 2 gH gS H gS 3 Q c2 B c Fr 1 3 gS c 2 Energie spécifique à débit constant 6 5 Torrentiel 4 Es (m) FLUVIAL 3 2 Esc 1 0 0 1 Hc 2 H (m) 3 4 Energie spécifique à débit constant 2 q= 2,5 m2/s q= 5 m /s 3.5 Esc = 1,5 Hc 3.0 Es (m) 2.5 2.0 1.5 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 H (m) 2.5 3.0 3.5 q(H) à énergie spécifique constante 20 18 16 14 q (m2/s) 12 Es= 5 10 Torrentiel Fluvial Es= 4 8 Torrentiel 6 Fluvial 4 2 0 0 1 2 3 H (m) 4 5 Cas fluvial : Z = 0,20 m H = 2 m ; Q = 24 m3/s Z = 0,40 m Mise en équation du problème Hypothèse : changement de niveau sur une courte distance Conséquence 1 : Les forces de frottement sont négligeables Conséquence 2 : La charge hydraulique est conservée H T1 H T 2 Conséquence 3 : La variation d’énergie spécifique est liée à dZ E S1 Z 1 E S 2 Z 2 E S 2 E S1 Z F 2 Z F 1 E S1 Z F ÉNERGIE SPÉCIFIQUE Es(H) pour Q= 24 m3/ s 3.1 3 2.9 2.8 2.7 Es (m) 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 Z=0,20 m 2.1 2 1.9 1.8 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 H (m) 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 En Fluvial l’écoulement est contrôlé par l’aval ÉNERGIE SPÉCIFIQUE Es(H) pour Q= 24 m3/ s 3.1 3 2.9 2.8 Il semble ne pas avoir de solution !!!! 2.7 Es (m) 2.6 2.5 Mais ????? 2.4 2.3 2.2 Z=0,40 m 2.1 2 1.9 1.8 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 H (m) ES1 ES 2 ZF 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 ÉNERGIE SPÉCIFIQUE Es(H) pour Q= 24 m3/ s 3.1 3 2.9 2.8 2.7 Es (m) 2.6 2.5 Z=0,40 m 2.4 2.3 2.2 2.1 2 1.9 1.8 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 H (m) 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 Remous 2,5 Uniforme 2,4 Uniforme 2 2,5 m 2m 0,4 0 2m Cas Torrentiel : Z = 0,20 m H = 1 m ; Q = 24 m3/s Z = 0,40 m ÉNERGIE SPÉCIFIQUE Es(H) pour Q= 24 m3/ s 3.1 3 2.9 2.8 2.7 Es (m) 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 Z=0,20 m 2.1 2 1.9 1.8 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 H (m) 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 1.3 Uniforme Uniforme 1 1,1 m 1m 0,2 0 Création d’un ressaut hydraulique ÉNERGIE SPÉCIFIQUE Es(H) pour Q= 24 m3/ s 3.1 3 2.9 2.8 Il semble ne pas avoir de solution continue 2.7 Es (m) 2.6 2.5 Mais ????? 2.4 2.3 2.2 Z=0,40 m 2.1 2 1.9 1.8 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 H (m) 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 Ressaut hydraulique Hauteur conjuguée remous 1.3 Uniforme 1 1m 0,4 0 Interprétation physique. Alimentation d’un canal par un bassin ES ES0 H0 U=0 U H z0 Réserve d'eau, barrage z U2 H0 H 2g H0 =2,2 m ÉNERGIE SPÉCIFIQUE Es(H) pour Q= 24 m3/ s 3.1 3 2.9 2.8 2.7 Es (m) 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2 1.9 1.8 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 H (m) 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 Classification d’écoulements. F ro u d e v ite s s e P ro fo n d e u r ré g im e Fr < 1 U < Uc H > Hc F lu v ia l, in fra c ritiqu e . Fr = 1 U = Uc H = Hc Critiqu e . Fr > 1 U > Uc H < Hc To rre n tie l, s u p e rc ritiqu e . RESSAUT HYDRAULIQUE Le ressaut hydraulique Fluvial Niveau critique HC Fr < 1 H2 Torrentiel H1 Fr > 1 RESSAUT Le ressaut hydraulique est un “écoulement rapidement varié” passage d ’ un écoulement torrentiel (supercritique) à un régime fluvial (infra-critique) Fonction Impulsion Bilan de quantité de mouvement V V.Nd – P.Nd .Nd Fd V NI I S1 V N1 W S2 N2 NW g Q U 2 P2 – Q U1 P1 –Tf sin Loi du ressaut F1 F2 H 22 q 2 H 12 q2 gH 1 2 gH 2 2 1 8Fr – 1 H2 H1 2 2 1 Perte d’énergie dans un ressaut 1 8Fr22 – 1 H1 H2 2 H T 3 H 2 – H1 4H 1 H 2