Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels norm´es
Bachir Bekka, Cours L3 Rennes 2009/2010
8 avril 2010

ii Notes Cours EVNO-2009/2010-B.Bekka

Table des mati`eres
1 Introduction 1
2 Espaces vectoriels norm´es 3
2.1 Rappels sur les espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Espaces vectoriels norm´es de dimension finie . . . . . . . . . . 12
2.5 Compl´et´e d’un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Quotient d’un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 Une classe d’exemples : les espaces Lp.............. 20
2.8 Exercices.............................. 22
3 Espaces de Hilbert 29
3.1 G´en´eralit´es sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Le th´eor`eme de la projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Dual d’un espace de Hilbert : le th´eor`eme de Riesz . . . . . . 37
3.4 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 In´egalit´e de Bessel, ´egalit´e de Parseval . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 R´eflexivit´e des espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Op´erateurs sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.9 Exercices.............................. 61
4 Th´eor`emes classiques 71
4.1 Hahn-Banach ........................... 71
4.2 Baire................................ 75
4.3 Application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
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iv Notes Cours EVNO-2009/2010-B.Bekka
4.5 Exercices.............................. 79

Chapitre 1
Introduction
Ce cours est une introduction `a l’´etude des espaces vectoriels norm´es et
des applications lin´eaires continues entre de tels espaces. Les espaces qui
interviendront seront en g´en´eral des espaces vectoriels de dimension infinie,
comme par exemple C[0,1] ou L2(R),l’espace des fonctions continues sur
[0,1] ou celui des (classes d’´equivalence de) fonctions mesurables et de carr´e
int´egrable sur R.
Introduisant un point de vue g´eom´etrique, on consid`erera un tel espace
Ecomme un ensemble de points (“vecteurs ”) et l’on ´etudiera les fonctions
sur Eou bien les applications de Evers un autre espace F. Mais avant tout,
on munira Ed’une norme k·k; pour un vecteur xde E, le nombre kxkpeut
ainsi ´etre vu comme la “longueur”de x.
Dans de nombreux probl`emes (voir plus bas), on cherche `a r´esoudre des
equations lin´eaires dont les inconnues sont des ´elements de tels espaces, de
sorte qu’on peut consid´erer l’´etude des espaces vectoriels norm´es comme une
extension de l’alg`ebre lin´eaire aux espaces de dimension infinie.
De nombreux probl`emes en physique, comme par exemple l’´equation de
corde vibrante pour u=u(s, t)
∂2u
∂t2=α2∂2u ∂s2
u(a, t) = u(b, t) = 0,
se ram`enent, apr`es “s´eparation des variables” u(s, t) = x(s)y(t), `a un probl`eme
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