Document

Pause calculatrice
Mettre la calculatrice
en mode « degrés » DRG
Entrer la valeur en
degrées .
Appuyer sur le rapport
recherché:
SIN
22.04.17
COS
Trouver le rapport
trigonométrique
d ’un angle
donné
TAN
1
Les rapports trigonométriques
( Sinus )
Sinus = côté opposé
• Triangle rectangle :
A
hypoténuse
Calcul du rapport: sinus
A = 35 = 0,6
4
5
Calcul de l ’angle aigu
correspondant: mA = 0,6
donc, mA = 370 2nd sin
C
B
3
22.04.17
2
Les rapports trigonométriques
( Cosinus )
Cosinus= côté adjacent
• Triangle rectangle :
hypoténuse
A
Calcul du rapport: cosinus
A = 45 = 0,8
5
Calcul de l ’angle aigu
4
correspondant: mA = 0,8
donc, mA = 370
2nd
cos
B
C
3
22.04.17
3
Les rapports trigonométriques
( Tangente )
• Triangle rectangle:
Tangente= opposé
adjacent
A
Calcul du rapport:
tangenteA = 34 = 0,75
5
Calcul de l ’angle aigu
4
correspondant: mA = 0,75
donc, mA =
370
2nd
tan
B
C
3
22.04.17
4
Résumé des apprentissages
 Sinus d ’un angle: le rapport de la mesure du côté
opposé à l ’angle sur l a mesure de l ’hypoténuse.
 Cosinus d ’un angle: le rapport de la mesure du côté
adjacent à l ’angle sur l a mesure de l’hypoténuse
 Tangente d ’un angle: le rapport de la mesure du côté
opposé à l ’angle sur la mesure du côté adjacent
22.04.17
5
TRIGONOMÉTRIE
COURS
LES RELATIONS ENTRE LES ANGLES ET LES COTES :
LA TRIGONOMETRIE
C
le coté en face de l'angle droit
le coté en face de l'angle
ou coté:
ou le plus grand: l'hypoténuse
opposé
B
A
le coté qui touche l'angle et l'angle droit
ou coté
adjacent
S
sin ….
O
= opp / hyp
C
cos ….
H
A
=
adj
H
/ hyp
T
O
A
tan ….
= opp /
adj
TRIGONOMÉTRIE
COURS
ATTENTION:
la disposition des cotés opposé et
adjacent dépend de l'angle utilisé dans
les calculs
C
l'hypoténuse
Toujours au même endroit
opposé
adjacent
A
B
opposé
adjacent
TRIGONOMÉTRIE
A QUOI SERT LA TRIGONOMETRIE ?
calculer un angle :

sin B=
15
22
si 2 cotés sont donnés
l’angle peut être calculé,
calculer un coté :
cos 35° =
si l’angle est donné
et 1 coté est donné
AB
55
un autre coté peut
être calculé
si l’angle est donné
et 1 coté est donné
tan 17° =
126
AC
un autre coté peut
être calculé
Choisir le bon rapport trigonométrique.
Commencer toujours par repérer ce qui est connu ou cherché
E
L
?
Par rapport à l’angle connu
ESL:
Je connais : l’hypoténuse
36 °
8,5 cm
Je cherche : le côté opposé
Donc j’utilise Sinus
S
E
4,5 cm L
Par rapport à l’angle connu
Je connais : le côté opposé
?
Je cherche : le côté adjacent
36 °
S
Donc j’utilise Tangente
ESL:
E
L
Je cherche la mesure du côté ES
Je connais : l’hypoténuse
?
36 °
S
8,5 cm
Je connais :
le côté adjacent
Donc j’utilise Cosinus
1. Résous ce triangle pour trouver la longueur du côté x
Tu dois trouver la longueur du côté opposé.
17,4 cm
Tu sais la longueur de l’hypoténuse.
x
23°
Est-ce que tu utilises SIN, COS ou TAN?
Tu as appris que: SIN = opposé
hypoténuse
COS = adjacent
hypoténuse
TAN = opposé
adjacent
Parce que tu cherches le côté opposé et tu sais l’hypoténuse, tu choisis SIN.
Tu utilises SIN parce que SIN est le rapport entre l’opposé et l’hypoténuse.
22.04.17
11
Tu as choisi SIN donc tu écris:
SIN 23° = longueur du côté opposé
17,4 cm
x
longueur de l’hypoténuse
23°
SIN 23 ° =
x .
17,4
Utilise ta calculatrice: Appuie sur “2” et “3” et puis appuie sur les bouton “SIN”
Sur ton écran, tu vois : 0,3907311. Tu peux arrondir ce rapport à 0,3907.
Dans l’équation, remplace SIN 23 ° par
0,3907 =
x .
17,4
0,3907
Fais la “multiplcation à travers” (cross multiply)
(0,3907) (17,4) = x
6,79818 = x
La longueur du côté x est 6,8 cm
22.04.17
12
2. Résous ce triangle pour trouver la mesure de l’angle ө.
Tu sais la longueur du côté adjacent à angle ө
15,1 m
ө
Tu sais la longueur de l’hypoténuse.
Est-ce que tu utilises SIN, COS ou TAN?
12,8 m
Tu as appris que: SIN = opposé
hypoténuse
COS = adjacent
hypoténuse
TAN = opposé
adjacent
Parce que tu sais le côté adjacent et tu sais l’hypoténuse, tu choisis COS.
Tu utilises COS parce que COS est le rapport entre l’adjacent et l’hypoténuse.
22.04.17
13
Tu as choisi COS donc tu écris:
15,1 m
COS ө = longueur du côté adjacent
longueur de l’hypoténuse
COS ө
ө
=
12,8 .
15,1
12,8 m
Utilise ta calculatrice:
Divise “12,8” par “15,1”
= 0,8476821
SIN ө = 0,8476821
2nd
Puis appuie sur les bouton «
».
Puis appuie sur le bouton “COS”
 La réponse est « 32,039548 »
ө = 32,039548
ө = 32,0
L’angle ө mesure 32,0 °
22.04.17
14
À ton tour
Exemple 1 : Pour le triangle BDE, détermines cos B et
la mesure de l'angle B.
E
d = 13 cm
D
B
e = 5 cm
22.04.17
15
À ton tour
Exemple 1 : Pour le triangle BDE, détermines cos B et
la mesure de l'angle B.
E
d = 13 cm
adjacent
cos B =
hypothénuse
D
e = 5 cm
B
5cm
=
13 cm
5
cos B =
13
<B = 67o
22.04.17
16
À ton tour
Exemple 2: Pour le triangle WXY, détermines la longueur w
11 cm
X
W
63o
w
24 cm
Y
22.04.17
17
À ton tour
Exemple 2: Pour le triangle WXY, détermines la longueur w
11 cm
X
W
63o
sin W = w
24
sin 63o =
w
24 cm
w
24
w = 24(sin 63o) = 21, la longueur de w est donc 21 cm.
Y
22.04.17
18
Séance d ’entrainement
Les choses se corsent ?
Faites tout de suite une bonne séance
d ’entraînement!
Page ….. # ….
22.04.17
19
Les angles - Trigonométrie
Un angle d’élévation est un angle qui
est mesuré vers le haut, par
chat rapport à
une ligne horizontale.
L’angle d’élévation
Suzanne se situe à 120 m d’un bâtiment. Elle
observe, sous un angle d’élévation de 29°, un chat
qui se trouve au toit de l’immeuble. Quelle est la
hauteur du bâtiment?
chat
h
Suzanne
120 m
L’angle d’élévation est 29°.
tg 29° =
h
120 m
h = (0, 5543) (120 m)
h = 66, 5 m
Le bâtiment a une
hauteur de 66, 5 m.
chat
h
Suzanne
120 m
L’angle d’élévation est 29°.
Les angles - Trigonométrie
Un angle de dépression est un angle
qui est mesuré vers le bas, par
Paul rapport à une ligne horizontale.
F
A
L
A
I
S
E
angle de dépression
bateau
mer
Paul se trouve en haut d’une falaise. Il voit, sous un
angle de dépression de 31°, un bateau qui flotte
dans la mer. Le bateau se situe à 650 m de la
falaise. Quelle est la hauteur de la falaise?
Paul
F
A
L
A
I
S
E
angle de dépression est 31°
bateau
650 m
mer
Si l’angle de dépression est 31°, alors
l’angle A mesure ( 90 – 31) = 59°.
Paul
F
A
L
A
I
S
E
angle de dépression est 31°
A = 59°
bateau
650 m
mer
tg 59 ° = 650 m
f
(f )(1, 6643) = 650 m
La falaise a une
hauteur de 390,6 m.
f = 390, 6 m
Paul
F
A
L
A
I
S
E
angle de dépression est 31°
A = 59°
bateau
650 m
mer
Dans le livre bleu “OMNIMATHS 10”, regarde page XXIV
Résolution de problèmes
Tour
x
52°
100 m
TAN 52° =
1,2799416 =
x
100
x
100
Le côté de x est
à angle 52 °.
Le côté de 100 m est
à angle 52°
Lorsqu’on sait la longueur du côté
adjacent et la longueur de du côté
opposé, quel rapport utilise-t-on?
Appuie sur : “52” “TAN”
Fais la multiplication croisée
127,99416 = x
x = 128 mètres
La hauteur de la tour est 128 mètres.
Angle d`élévation
C`est l`angle entre l’horizon et la ligne d’observation.
Quand tu dessines un angle d’élévation:
- tu commences à la ligne horizontale
- tu montes vers le haut pour faire l’angle
La ligne entre les yeux de la
personne qui observe et l`objet
observé.
ligne
d’observation
La ligne est au-dessus de
l`horizon.
Ligne horizontale
Angle
de
Dépression
C`est l`angle entre l’horizon et la ligne d’observation.
Quand tu dessines un angle de dépression:
- tu commences à la ligne horizontale
- tu descends vers le BAS pour faire l’angle
La ligne d’observation est la ligne entre les yeux de
la personne qui observe et l`objet observé.
La ligne est au dessous
de l`horizon.
ligne horizontale
Le côté x est _______ à l’angle de 60°.
Page 244 # 15
La corde est l’
Quand on a le côté opposé et
l’hypoténuse, on utilise le rapport SIN
SIN 60° =
x .
25
x
Hauteur du
cerf-volant = X + 1,5 m
0,8660254 =
x .
25
(25)(0,8660254) = x
60°
1,5 m
21,650635 = x
21,7 = x
Hauteur = X + 1,5 m
Hauteur = 21,7 m + 1,5 m = 23,2 m
Immeuble
Page 244 # 16
ou
Hauteur = x + 1,6 m
x
bâtiment
30°
1,6 m
Le côté x est _______ à l’angle de 30°.
La côté de 100 m est _______ à l’angle de 30°.
100 m
Quand on a le côté opposé et le côté adjacent, on utilise le rapport TAN.
TAN 30° = x .
100
0,5773503 =
x .
100
(100)(0,5773503) = x
57,73503 = x
57,7 = x
Hauteur = x + 1,6 m
Hauteur = 57,7 m + 1,6 m
Hauteur = 59,3 m
Page 245 # 17
65°
25° angle de dépression
On trouve l’angle de 65° par:
x
90° - 25° = 65°
25°
par rapport à l’angle de 65 °.
Le côté x est
Le côté de 367 m est l’
Quand on a le côté adjacent et l’hypoténuse, on utilise le rapport COS.
COS 65° = x .
367
0,4226183 =
x .
367
(367)(0,4226183) = x
155,1009 = x
155,1 = x
La hauteur de l’avion est 155,1 mètres.
Page 245 # 18
Sommet de la falaise
(Top of cliff)
-----------------------------------------30° angle de dépression
60°
60 m
30°
Base de la falaise
La mer
x
Le côté x est
par rapport à l’angle de 60°.
Le côté de 60 métres est le côté
par rapport à l’angle de 60°.
Quand on a le côté oppsé et le côté adjacent, on utilise le rapport TAN.
TAN 60° = x .
60
1,7320508 =
(60) (1,7320508) = x
103,9 = x
x .
60
Le bateau se trouve à 103,9 mètres
de la base de la falaise.
À quelle hauteur par rapport au sol
le cerf-volant se situe-t-il?
sin 60º =
x
25 m
0,8660 =
25 m
x
h
21,65 m
x
25 m
0,8660(25) = x
x = 21,65 m
60º
1,5 m
21,65 m + 1,5 m = 23,15
m
Le cerf-volant se situe de 23,15 m par rapport au sol.
Quelle est la hauteur de l’immeuble?
tg 30º =
x
100 m
57,74
m
30º
0,5774(100) = x
x
h
x = 57,74 m
57,74 m + 1,6 m = 59,34
m
1,6 m
100,0 m
La hauteur de l’immeuble est égale à 59,34 m.
Si elle regardait vers le haut à partir
du sol, quel serait l’angle d’élévation?
tg θ = 59,34 m
100 m
tg θ = 0,5934
59,34
m
θ = 30,68
θ = 31º
θ
100,0 m
L’angle d’élévation serait égale à 31º.
Quelle est la hauteur de l’avion?
65º
tg 65º = 367 m
25º
h
h
367 m
sol
2,1445(h) = 367 m
h = 367 m
2,1445
h = 171,13 m
La hauteur de l’avion est égale à 171,13 m.
À quelle distance se trouve le
bateau de la base de la falaise?
30º
60º
tg 60º =
60 m
d
60 m
(1,732)(60 m) =
d
d = 103,92 m
d
Le bateau se trouve à une distance de 103,92 m de la
base de la falaise.
Quel angle est le plus grand, x ou y? De
combien est-il plus grand?
20,0 m
11º x
100,0
m
Chris
6º y
200,0
m
tg <x = 20,0 m
tg <y = 20,0 m
100 m
200 m
tg <x = 0,2000
tg <y = 0,1000
< x = 11,31
< y = 5,71
x = 11º
y = 6º
Kerry
Quel angle est le plus grand, x ou y?
De combien est-il plus grand?
20,0 m
11º x
100,0
m
Chris
6º y
Kerry
200,0
m
L’angle x est le plus grand. Il est à peu près deux fois
plus grand que l’angle y.