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STATISTIQUES APPLIQUEES POUR LA PRODUCTIQUE
PLAN DU COURS
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
Introduction
Analyse descriptive des données
Paramètres statistiques
Introduction au calcul des probabilités
Lois de probabilité, Exemples
Echantillonnage, estimation, décision
Cartes de contrôle, capabilité d’un
procédé
PLAN DU COURS
I. Introduction
I. Introduction
QU’EST-CE QUE LA QUALITE ?
• Pour réussir dans le climat économique du XXI ème
siècle, une entreprise doit fournir des produits
satisfaisant aux exigences de la clientèle.
• Un produit (bien ou service) est le résultat d’un
processus.
• Un produit de qualité est un produit qui satisfait aux
exigences du client.
• La qualité d’un produit peut être décrite par des
caractéristiques intrinsèques appelées caractéristiques
de qualité.
• On peut exploiter dans ce but des caractéristiques
mesurables ou des attributs.
I. Introduction
VARIABILITE
• Tout processus de production comporte des facteurs
techniques, administratifs et humains qui concourent à la
réalisation du produit.
• Les éléments qui interviennent dans un processus ne
restent pas parfaitement constants dans le temps. Ils
varient et leurs influences se répercutent par la suite
dans la production.
• Pour toutes les entreprises, la variabilité des
caractéristiques de qualité constitue un obstacle majeur
pour fournir des produits qui répondent aux exigences
des clients.
I. Introduction
POURQUOI CE COURS ?
• Donner les méthodes pour l’assurance et l’amélioration
continue de la qualité
• Il s’agit de techniques concrètes qui peuvent être
utilisées pour améliorer les performances de n’importe
quel processus (industriel ou administratif) présentant
des variations
I. Introduction
APPROCHE HISTORIQUE
• Les méthodes de base pour l’assurance qualité datent
des années 1920-1930
• Première période: la demande est supérieure à l’offre
jusqu’en 1975. Il suffisait de produire pour vendre.
Mise en œuvre de verrous de contrôle pour garantir la
livraison de produits conformes (stratégie de détection).
Il y a du gaspillage mais les profits le permettaient.
• Deuxième période: après le premier choc pétrolier, la
concurrence s’est intensifiée et les exigences des clients
n’ont cessé de croître d’où la nécessité de produire de la
bonne qualité du premier coup et au juste coût.
I. Introduction
MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES
MSP
Il est évidemment plus économique de produire un
produit ayant « zéro défaut » que de trier les unités nonconformes. Ainsi le monde industriel a évolué vers une
stratégie de prévention. Il s’est attaché à produire du
« zéro défaut » en utilisant des techniques scientifiques
telles que les méthodes de la maîtrise statistique des
procédés.
I. Introduction
MSP - PRINCIPE
Recueillir des informations sur le produit et/ou son
processus de fabrication et exploiter ces informations
pour agir efficacement sur le processus:
- pour réduire, éliminer et prévenir les non conformités
en matière de qualité.
- pour améliorer de façon continue les performances.
I. Introduction
MSP – MISE EN OEUVRE
Afin que ces techniques soient efficaces et que
l’entreprise soit à la hauteur des défis, elle doit mettre en
place un système de management visant à maîtriser
tous les facteurs ayant une incidence sur la qualité.
Il ne sera jamais possible de créer des produits ou des
caractéristiques exactement identiques (exemples: les
diamètres d’un piston, le poids des pâles d’hélicoptère,
le poids des comprimés d’un médicament etc…) varient
d’une unité à l’autre.
Pour prospérer dans le climat économique d’aujourd’hui,
il convient d’améliorer constamment la qualité afin de
satisfaire pleinement la clientèle et éviter les surcoûts.
La variabilité des processus pose donc problème.
I. Introduction
MSP – AMELIORATION DE LA QUALITE
La clef pour l’amélioration de la qualité consiste donc à
réduire la variabilité du processus de production.
Il est impossible d’améliorer la qualité sans connaître la
variabilité, il est impossible de connaître la variabilité
sans utiliser de METHODES STATISTIQUES.
II. Analyse descriptive des données
II. Analyse descriptive des données
OBJECTIFS DE LA STATISTIQUE
DESCRIPTIVE
• La statistique descriptive est l’ensemble des méthodes
et des techniques permettant de présenter, de décrire,
de résumer, des données nombreuses et variées.
• Il faut préciser d’abord quel est l’ensemble étudié,
appelé population statistique, dont les éléments sont des
individus ou unités statistiques.
• Chaque individu est décrit par une ou plusieurs
variables, ou caractères statistiques.
II. Analyse descriptive des données
LES VARIABLES ALEATOIRES
Chaque variable peut être selon le cas:
1.Quantitative: ses valeurs sont des nombres exprimant
une quantité, sur lesquels les opérations arithmétiques
(somme, etc…) ont un sens.
La variable peut alors être discrète ou continue selon la
nature de l'ensemble des valeurs qu'elle est susceptible
de prendre (valeurs isolées ou intervalle).
2.Qualitative: ses valeurs sont des modalités, ou
catégories, exprimées sous forme littérale ou par un
codage numérique sur lequel des opérations
arithmétiques n'ont aucun sens.
II. Analyse descriptive des données
LES VARIABLES ALEATOIRES
II. Analyse descriptive des données
LES VARIABLES ALEATOIRES
• On distingue des variables qualitatives ordinales ou
nominales, selon que les modalités peuvent être
naturellement ordonnées ou pas.
• Une variable est dichotomique si elle n'a que 2
modalités.
• Les variables seront ensuite analysées différemment
selon leur nature (quantitative, qualitative, etc...), au
moyen de tableaux, graphiques, calcul de paramètresclé.
II. Analyse descriptive des données
ETUDE D’UN EXEMPLE
• Etude du diamètre de tiges tournées:
dans un atelier mécanique, on a vérifié le diamètre de
tiges tournées sur un tour à commande numérique. La
valeur du diamètre n’est pas la même pour toutes les
tiges.
Le diamètre des tiges devrait normalement se situer
entre 36 et 44 mm avec une valeur nominale de 40 mm.
Soixante tiges ont été mesurées avec un micromètre de
précision et les résultats sont présentés dans un tableau.
II. Analyse descriptive des données
PRESENTATION DES DONNEES
Diamètre des tiges tournées (en mm):
39.5
39.0
39.9
39.7
38.5
40.0
39.2
40.9
37.6
37.9
40.6
38.7
41.5
39.1
39.7
39.4
39.0
39.5
40.9
41.2
38.4
37.8
40.0
42.6
39.9
43.1
38.6
37.0
39.7
40.4
37.8
37.6
38.5
40.0
39.4
41.3
40.6
37.0
40.4
40.0
39.4
40.1
41.2
38.4
38.9
40.8
37.2
41.5
39.4
39.0
39.5
39.4
39.6
42.1
40.3
39.1
38.8
39.9
40.7
42.2
II. Analyse descriptive des données
PRESENTATION DES DONNEES
• A partir d’un ensemble de données associé à un
caractère, communément appelé série numérique, on
veut être en mesure d’effectuer une présentation
succincte et intelligible: c’est la première phase d’une
analyse descriptive des données.
On veut donc, à partir d’un ensemble de données,
- les ranger par valeurs croissantes
- les dépouiller suivant une distribution de fréquence
- visualiser ce dépouillement à l’aide d’un histogramme
(variable continue) ou d’un diagramme en bâton
(variable discrète)
A ceci pourra s’ajouter la courbe des fréquences
cumulées croissantes.
II. Analyse descriptive des données
PRESENTATION DES DONNEES
On découpe l'intervalle des valeurs de la variable en un
certain Nombre de classes [ e_i e_i+1 [, et on détermine
les effectifs n_i associés à chaque classe (ainsi que les
fréquences et les %).
Visualisation du dépouillement:
20
15
10
5
0
150.00%
100.00%
50.00%
0.00%
37
.4
9
38
.4
9
39
.4
9
40
.4
9
41
.4
9
42
.4
9
43
.
ou 49
pl
us
...
Fréquence
Histogramme
Classes
Fréquence
% cumulé
III. Paramètres statistiques
III. Paramètres statistiques
QU’APPELLE-T-ON PARAMETRES
STATISTIQUES
Les paramètres statistiques ont pour but de résumer, à
partir de quelques nombres clés, l'essentiel de
l'information relative à l'observation d'une variable
quantitative.
On définira plusieurs sortes de paramètres :
- Certains, comme la moyenne, seront dits de
tendance centrale car ils représentent une valeur
numérique autour de laquelle les observations sont
réparties.
- D'autres, par exemple, seront dits de dispersion
car ils permettent de résumer le plus ou moins grand
étalement des observations de part et d'autre de la
tendance centrale.
III. Paramètres statistiques
QU’APPELLE-T-ON PARAMETRES
STATISTIQUES
• Moyenne, médiane et mode sont des valeurs autour
desquelles les observations sont réparties; ce sont trois
façons complémentaires de caractériser la tendance
centrale.
• Il peut être important aussi de noter le minimum et le
maximum des valeurs observées, la différence entre ces
nombres étant l'étendue des mesures.
III. Paramètres statistiques
QU’APPELLE-T-ON PARAMETRES
STATISTIQUES
• Enfin, on peut calculer d'autres
paramètres (nous verrons par exemple
l'écart-type), qui permettent de
quantifier la plus ou moins grande
variabilité des mesures, leur dispersion
plus ou moins importante de part et
d'autre de la tendance centrale, telle
qu'on peut la mettre en évidence sous
forme graphique:
III. Paramètres statistiques
LES CARACTERISTIQUES DE TENDANCE
CENTRALE
• - la moyenne (arithmétique), éventuellement pondérée
• - la médiane : M est insensible aux valeurs aberrantes,
mais se prête moins bien aux calculs que la moyenne si
le nombre de données est important.
• - le mode dans le cas particulier d'une distribution
unimodale.
• la comparaison de ces trois paramètres donne des
indications sur la symétrie de la distribution:
III. Paramètres statistiques
LES CARACTERISTIQUES DE TENDANCE
CENTRALE
III. Paramètres statistiques
LES CARACTERISTIQUES DE
DISPERSION
• étendue
• variance et écart-type : calculés généralement en
complément de la moyenne, pour mesurer la plus ou moins
grande dispersion autour de celle-ci.
• intervalle interquartile : sa longueur, l'écart-interquartile
mesure la dispersion des 50 % valeurs les plus centrales.
• le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) représente
les quartiles, et les valeurs extrêmes, en repérant les
éventuelles valeurs aberrantes:
III. Paramètres statistiques
CALCULS DE LA MOYENNE ET DE LA
VARIANCE
• Les calculs des paramètres de tendance centrale et de
dispersion (moyenne et variance) correspondent à des
calculs de centre de gravité et de moment d’inertie en
mécanique: on parle alors respectivement de moment
d’ordre 1 et de moment d’ordre 2.
• C’est par rapport au centre de gravité que le moment
d’inertie est minimum (par rapport à la moyenne que la
variance est minimum). Une méthode de moindres
carrés conduit à choisir la moyenne comme meilleur
paramètre de tendance centrale d’un caractère X (voir
TD).
III. Paramètres statistiques
CONCLUSION SUR LES PARAMETRES
STATISTIQUES
• Pour résumer une série unidimensionnelle, il faut
toujours la représenter par un ou deux graphiques
appropriés, et plusieurs paramètres de tendance
centrale, de position et de dispersion.
• L'étude et la comparaison de ces paramètres permet de
bien caractériser la distribution, et de repérer
d'éventuelles données aberrantes.
IV. Introduction au calcul des probabilités
III. Introduction au calcul des probabilités
EXPERIENCE ALEATOIRE
Lançons un dé cubique à 6 faces:
Lorsque ce dé se sera immobilisé, on lira le numéro qui
apparaît sur la face supérieure.
Le numéro qui apparaît sur la face supérieure ne peut pas
être prévu.
L'expérience qui consiste à lancer un dé est une expérience
aléatoire.
Il y a six résultats ou issues possibles à cette expérience,
l'un des nombres : 1, 2, 3, 4, 5, 6
Mais à chaque répétition ou épreuve de l'expérience, on ne
peut pas prévoir quelle en sera l'issue.
III. Introduction au calcul des probabilités
EVENEMENT LIE A UNE EXPERIENCE
ALEATOIRE
L’ensemble fondamental ou ensemble des issues s’appelle
l’univers des possibles.
Lancer le dé, le résultat est-il un trois ?
On dira que cette assertion est un événement lié à
l'expérience aléatoire: lancer une fois le dé.
On dira que cet événement est réalisé ou non suivant que
cette proposition est vraie ou fausse après une épreuve de
l'expérience aléatoire.
A chaque événement est associée une partie de l’ensemble
fondamental constituée des issues pour lesquelles
l'événement est réalisé. A l'événement « le résultat est pair »
est associée la partie A de l’ensemble fondamental formée
des nombres pairs.
III. Introduction au calcul des probabilités
EVENEMENT LIE A UNE EXPERIENCE
ALEATOIRE
Si l’ensemble fondamental est fini, à toute partie A de
l’ensemble fondamental, est associé un événement, par
exemple l'événement « l'issue de l'expérience est un élément
de A ».
Si l’ensemble fondamental est fini, l’ensemble des parties de
l’ensemble fondamental représente l'ensemble des
événements associé à l'expérience aléatoire.
On appelle événement élémentaire un événement qui n'est
réalisé que par une seule issue de l'expérience.
L’événement: « le résultat est 3 » est un événement
élémentaire
III. Introduction au calcul des probabilités
EVENEMENT LIE A UNE EXPERIENCE
ALEATOIRE
Un événement est dit impossible s'il n'est réalisé par aucune
issue de l'expérience aléatoire.
A un événement impossible on associe la partie vide.
Un événement est dit certain s'il est réalisé par toutes les
issues de l'expérience aléatoire.
III. Introduction au calcul des probabilités
COMPOSITION DES EVENEMENTS
On peut composer les événements à l'aide des connecteurs
logiques : ET, OU, NON.
Soit A l’événement:
Avoir une face paire (2,4,6)
Soit B l’événement:
Avoir un nombre > 4 (5,6)
La conjonction A ET B de ces deux événements est l’événement:
A ET B: « le résultat est un nombre pair ET il est > 4 »
A l'événement A ET B est associée l'intersection des parties
associées à A ET B:
III. Introduction au calcul des probabilités
COMPOSITION DES EVENEMENTS
A l'événement A OU B est associée la réunion des parties
associées à A OU B.
La négation de l’événement A est non A (c’est-à-dire avoir une
face impaire).
Deux événements A et B sont dits incompatibles s'il n'existe
pas d'issues à l'expérience réalisant simultanément A et B.
Si A et B sont incompatibles, les parties de l’ensemble
fondamental qui leur sont associées ont une intersection vide.
L'ensemble des parties de l’ensemble fondamental, muni des
opérations d'union, d'intersection et de complémentation
s'appelle l'algèbre des événements liée à l'expérience
aléatoire.
III. Introduction au calcul des probabilités
COMPOSITION DES EVENEMENTS
Soit l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire E : A1 ,
A2 , ..., An
n événements liés à cette expérience aléatoire constituent un
système complet d'événements si :
1. ils sont deux à deux incompatibles
2. leur disjonction est l'événement certain
III. Introduction au calcul des probabilités
NOTION DE PROBABILITE
Une probabilité peut être définie comme le rapport du nombre
de cas favorables au nombre de cas possibles:
Pour l’expérience aléatoire du lancer du dé, la probabilité
d’avoir 3 est donc de 1 sur 6.
Une probabilité est comprise entre 0 et 1.
La somme des probabilités de tous les événements
incompatibles entre eux est égale à 1. (incompatibles =
disjoints) d’où l’axiome des probabilités totales:
III. Introduction au calcul des probabilités
AXIOME DES PROBABILITES TOTALES
La probabilité de la somme des événements est la somme des
probabilités de chacun d’eux lorsque ceux-ci sont
incompatibles:
P(A) + P(NON A) = 1
On a défini la probabilité à partir de la réalisation d’un
événement. On a défini la notion d’événement composé, on
va maintenant pouvoir calculer la probabilité d’événements
composés, définir la notion d’indépendance et calculer des
probabilités conditionnelles:
III. Introduction au calcul des probabilités
CALCUL DE PROBABILITES
D’EVENEMENTS COMPOSES
Reprenons l’exemple du lancer de dé:
Quelle est la probabilité d’avoir l’événement A: une face paire
(2,4,6) OU d’avoir l’événement B: un nombre > 4 (5,6) ?
P(A OU B) = ?
Ici les événements ne sont plus incompatibles, on observe que
6 est compté deux fois, il faut prendre soin de retirer l’un des
doubles comptages: il y a alors 4 cas favorables:
P(A ou B) = 4/6 = P(A) + P(B) – P(A ET B)
La probabilité de A ET B, l’intersection de A avec B est
représentée par le 6, donc P(A ET B) = 1/6
III. Introduction au calcul des probabilités
CALCUL DE PROBABILITES
D’EVENEMENTS COMPOSES
Si les deux événements sont incompatibles, alors les sousensembles qui les caractérisent sont disjoints:
P(A ET B) = 0
Donc P(A OU B) = P(A) + P(B)
Par exemple P(Chiffre impair OU Chiffre Pair) = 3/6 +3/6=1.
A l’inverse, si des événements interfèrent, les ensembles
correspondants sont sécants. On parle alors de probabilité
conditionnelle.
III. Introduction au calcul des probabilités
CALCUL DE PROBABILITES
CONDITIONNELLES
Une probabilité conditionnelle est une probabilité qu’un
événement se réalise sachant qu’un autre est déjà réalisé.
Par exemple, quelle est la probabilité d’avoir un 5 (événement A)
sachant que le nombre lu, une fois le dé arrêté, est impair
(événement B). On note cette probabilité P(A/B).
P(A/B) = 1/3 = P(A ET B):P(B)
P(A/B) se lit P(A si B).
On a en effet P(A: avoir un nombre impair) = 3/6, P(A: avoir un
nombre impair ET B: avoir un 5) = 1/6 donc P(A/B) = 1/6/3/6 = 1/3.
Si les deux événements sont indépendants alors: P(A/B)=P(A) et
la probabilité pour que deux événements indépendants se
réalisent vaut: P(A ET B)=P(A)xP(B)
III. Introduction au calcul des probabilités
EXEMPLE D’APPLICATION DU CALCUL
DE PROBABILITES A LA PRODUCTIQUE
Une usine produit des pièces mécaniques identiques à
l’aide de 3 machines M1, M2 et M3, d’ancienneté différente.
Celles-ci assurent respectivement 50%, 30% et 20% de la
production avec des proportions de défectueuses égales à
1%, 2% et 5%
Questions:
1. Quelle est la probabilité qu’une pièce mécanique en
provenance de cette usine, soit défectueuse ?
2. Quelle est la probabilité qu’une pièce mécanique en
provenance de cette usine ne soit pas défectueuse ?
Etc….
III. Introduction au calcul des probabilités
DENOMBREMENT POUR LE CALCUL DE
PROBABILITES
Le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas
possibles permet de connaître la probabilité d’un événement.
Ce rapport, pour être établi, nécessite d’utiliser les outils
qu’apporte le dénombrement.
III. Introduction au calcul des probabilités
LES PERMUTATIONS
Définition: une permutation de plusieurs objets est un groupement
de ces objets dans un ordre déterminé:
Exemple: a c b et b a c sont deux permutations des lettres a, b, c.
Deux permutations différent par l’ordre des objets.
Pn = n!
III. Introduction au calcul des probabilités
LES PERMUTATIONS
Pn = n!
Démonstration:
1. Etant donnée une permutation de m objets, comment obtenir
une permutation de (m+1) objets ?
↑
↑
↑
L’objet supplémentaire peut être placé soit entre deux objets:
(m-1) positions,
soit avant ou après les m objets: deux autres positions possibles.
En tout: m-1+2=m+1 positions possibles.
III. Introduction au calcul des probabilités
LES PERMUTATIONS
Pn = n!
Démonstration:
2. Calcul du nombre de permutations de n objets:
Pn=?
Pour n=1; P1=1 (a)
Pour n=2; P2=2
(ab) ou (ba)
Pour n=3; P3=3x2=6
I
I
Pour n;
Pn=?
a
↑
b
↑
↑
III. Introduction au calcul des probabilités
LES PERMUTATIONS
Pour (n-1) objets, il y a Pn-1 permutations. A chacune d’elles
correspondent (n-1)+1=n positions différentes du nème objet.
Donc: Pn = Pn-1.n
Calcul de Pn:
Pn = Pn-1.xn
Pn-1= Pn-2.(n-1)
Pn-2= Pn-3.(n-2)
I
I
P3= P2.3
P1= 1
III. Introduction au calcul des probabilités
LES PERMUTATIONS
Multiplions membre à membre, puis simplifions:
Pn= n.(n-1).(n-2).------.3.2.1= n!
III. Introduction au calcul des probabilités
LES ARRANGEMENTS
Définition: un arrangement de x objets, pris dans un ensemble
de n objets (x ≤ n), est un groupement de x de ces objets,
chacun de ceux-ci occupant une place déterminée.
Un arrangement de x objets choisis parmi n vaut n!/(n-x)!
Exemple: pour n=5 lettres: a, b, c, d, e
Voici des arrangements de x= 3 lettres choisies parmi n= 5:
a
b
e
c
d
e
d
e
c
Les deux premiers sont différents par la nature des objets, les
deux derniers sont différents par leur ordre.
III. Introduction au calcul des probabilités
LES ARRANGEMENTS
Démonstration:
Soit un ensemble de n objets que l’on peut ranger dans x
cases:
n°1 n°2
n°3
n°x
----------- I - - - - I - - - - -I- - - - - - - - - - - -I - I - - - - I - - - - -I - - - - - - - - - - - I –
n
I
I
I
n.(n-1)
I
I
n.(n-1).(n-2)
I
n.(n-1).(n-2). - - -. [n-(p+1)]
III. Introduction au calcul des probabilités
LES ARRANGEMENTS
1. A l’emplacement n°1, nous pouvons mettre l’un quelconque
des n objets.
Pour des lettres par exemple, n lettres: a, b, c, d, e, f, etc…,
nous pouvons mettre soit a, soit b, soit c, etc …, d’où n
manières possibles d’attribuer la place n°1
2. A l’emplacement n°2, il y a (n-1) manières possibles et par
suite n.(n-1) manières possibles d’attribuer les places n°1 et
n°2
3. Il y a (n-2) manières possibles d’attribuer la place n°3 donc
n.(n-1).(n-2) manières possibles d’attribuer l’ensemble des
places n°1, n°2, n°3 et ainsi de suite jusqu’à l’attribution de la
place n°x, pour laquelle il y a n-(x-1) soit (n-x+1) choix
possibles.
III. Introduction au calcul des probabilités
LES ARRANGEMENTS
D’où la formule des arrangements qui donne le nombre
d’arrangements de n objets pris x à x:
n.(n-1).(n-2). - - - - -. (n-x+1)
L’utilisation de la notation factorielle permet d’écrire cette
relation sous la forme:
n!/(n-x)!
III. Introduction au calcul des probabilités
LES COMBINAISONS
Définition: une combinaison de x objets, pris dans un ensemble
de n objets (x inférieur ou égal à n), est un groupement de x de
ces objets.
Une combinaison de x objets choisis parmi n vaut:
n!/[x!.(n-x)!]
Exemple: pour n= 5 lettres: a, b, c, d, e
Voici des combinaisons de x= 3 lettres choisies parmi n= 5:
a
d
e
b
c
e
b
d
e
Les combinaisons sont différentes par la nature des objets
uniquement, (b d e) et (d e b) par exemple ne sont pas des
combinaisons différentes
III. Introduction au calcul des probabilités
LES COMBINAISONS
Démonstration: soit un ensemble de n objets, considérons l’une
quelconque des combinaisons de x objets pris parmi n, par
exemple, la combinaison (a d e) de x=3 lettres choisies dans
un ensemble de n=5 lettres (a,b,c,d,e).
A cette combinaison, correspondent plusieurs permutations,
chacune de ces permutations est un arrangement de x objets
pris dans un ensemble de n objets.
Dans l’exemple, ces arrangements sont:
(a d e) (a e d) (d a e) (d e a) (e a d) (e d a)
Leur nombre est 6, d’après la relation P3=3.2=6
Alors, en multipliant par Px le nombre de combinaisons, on
obtient le nombre d’arrangements (voir tableau).
Or on a vu que le nombre de permutations Px vaut x! ce qui
après calcul donne la relation attendue pour les combinaisons.
V. Lois de probabilité, exemples
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES DISCRETES
Les phénomènes étudiés, leurs caractéristiques de position ou
de dispersion suivent souvent des densités ou des lois de
probabilité.
Tant que l’espace de probabilité est discret, le langage que
nous venons d’introduire suffit: tout problème peut-être compris
en termes de probabilités des résultats individuels, qui sont
alors dénombrables (voire fini, comme dans le cas du dé)
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES DISCRETES
Exemples:
1. la loi uniforme: permet d’attribuer la même probabilité à
chaque unité: 1/n.
2. La loi de poisson: modèle probabiliste qui convient au
comptage d’événements rares.
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES DISCRETES
3. Loi de Bernoulli: une expérience aléatoire dont l’issue se
traduit soit par un succès, soit par un échec: avoir la probabilité
p de tirer une pièce défectueuse et la probabilité (1-p) de tirer
une pièce non défectueuse.
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES DISCRETES
4. Loi Binômiale: On répète les épreuves de Bernoulli. On
s’intéresse donc au nombre de succès ou d’échecs qui se sont
produits pour n épreuves de Bernoulli.
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES DISCRETES
On retrouve le binôme de Newton (voir tableau), et on peut
alors calculer la probabilité d’obtenir x succès P(X=x) avec
l’aide des combinaisons (voir tableau)
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES CONTINUES
Les problèmes sérieux de probabilité, font appel à des
espaces de probabilité qui sont non seulement infinis, mais
continus; les événements ne sont pas dénombrables, et le
langage de la théorie de la mesure est indispensable.
La probabilité d’obtenir exactement une valeur est nulle: un
point n’a pas d’épaisseur, donc la surface située exactement
sous la fonction densité de probabilité en un point est nulle.
On obtient 1 en additionnant un nombre infini de zéros. Cela
semble bizarre ? Pourtant une ligne a une longueur, et les
points qui la composent sont de longueur nulle.
Dans ce cas, les probabilités des résultats individuels ne
signifient rien: on est obligé de remplacer les sommes (finies
ou infinies) par des intégrales.
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES CONTINUES
Exemples
1. La loi uniforme continue:
Lorsque la fonction de densité de probabilité est constante
sur un intervalle [a,b] et nulle partout ailleurs, on parle de loi
uniforme de paramètres a et b.
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES CONTINUES
La loi uniforme s’impose naturellement pour les variables
dont les valeurs possibles sont bornées, aucune de ces
valeurs n’ayant plus de chance d’apparaître que n’importe
quelle autre valeur.
On la rencontre également dans le cas d’erreur de mesures
pour des mesures dites grossières, réalisées avec des
instruments dont les divisions ne sont pas très fines, la
mesure étant arrondie à l’une de ces divisions.
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES CONTINUES
2. La loi normale ou loi de Gauss-Laplace (courbe en cloche):
Tous les phénomènes naturels obéissent à des lois de
probabilité plus ou moins compliquées. Lorsqu’une grandeur
subit l’influence de nombreuses causes indépendantes, dont
aucune d’entre-elles n’est prépondérante, elle obéit à une loi
normale.
Très souvent et sous certaines conditions (à partir d’un certain
rang), il est possible de faire des approximations par des lois
normales: (les lois binômiales, de Poisson, du Khi-deux et de
Student convergent toutes vers la loi normale à partir d’un
certain rang d’où l’extrême importance de l’étude de cette loi.)
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES CONTINUES
IV. Lois de probabilité, exemples
LOIS USUELLES, LES LOIS DE
PROBABILITES CONTINUES
2. La loi de Student: dans le cas de petits échantillons, la
densité de probabilité ne suit pas une loi normale, mais une loi
de Student.
La distribution de Student ressemble à la distribution normale,
toutefois, la première est plus plate et dépend de la taille de
l’échantillon.
3. La loi du Khi-deux: c’est une loi d’échantillonnage continue
qui trouve son application dans les tests d’adéquation (test de
normalité,…). Par exemple, on peut l’utiliser pour comparer
des valeurs observées avec des valeurs théoriques attendues.
VI. ECHANTILLONNAGE, ESTIMATION,
DECISION
VI. Echantillonnage, estimation, décision
ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATION:
DEFINITION
L’échantillonnage est le passage de la population à
l’échantillon et l’estimation est le passage inverse de
l’échantillon à la population:
VI. Echantillonnage, estimation, décision
ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATION:
DEFINITION
La valeur inconnue d’une population, à estimer à partir d’un
échantillon est appelée un paramètre. Souvent, le paramètre
à estimer est une moyenne, un total, un pourcentage, un
écart type ou une variance.
Le paramètre de la population est estimé à partir d’une
statistique sur la base d’un échantillon.
VI. Echantillonnage, estimation, décision
EXEMPLE D’ECHANTILLONNAGE:
ESTIMATION D’UNE MOYENNE
On considère le cas de la distribution d’échantillonnage des
moyennes de la population constituée des cinq nombres
2,3,6,8,11.
La moyenne et l’écart type de cette population sont
(tableau).
Ici, la population est réduite donc on a la possibilité de
calculer la moyenne et l’écart type de la population. Mais,
dans les cas réels, ces valeurs sont inconnues et on cherche
à les estimer à partir de l’échantillon.
On cherche tous les échantillons non exhaustifs de taille 2
VI. Echantillonnage, estimation, décision
EXEMPLE D’ECHANTILLONNAGE:
ESTIMATION D’UNE MOYENNE
Soit mé (la moyenne échantillon) l’estimateur obtenu en
calculant la moyenne empirique des valeurs obtenues de
l’échantillon. mé est une valeur fixe pour un échantillon donné.
Mais cette valeur peut varier suivant le choix de l’échantillon.
Il y aura autant de moyennes à calculer qu’il y aura
d’échantillons: mé est une variable aléatoire.
Les moyennes mé de ces échantillons sont: (tableau)
On peut écrire tous les échantillons possibles car la population
est fini et réduite, on peut trouver toutes les moyennes des
échantillons.
VI. Echantillonnage, estimation, décision
EXEMPLE D’ECHANTILLONNAGE:
ESTIMATION D’UNE MOYENNE
Dans le cas d’une population avec un grand nombre
d’individus, la moyenne échantillon est distribuée suivant une
loi de probabilité appelée distribution d’échantillonnage des
moyennes.
La moyenne de la distribution d’échantillonnage des moyennes
est égale à la moyenne de la population. (le vérifier)
L’écart type de la distribution d’échantillonnage des moyennes
est égal à l’écart type de la population divisée par la racine
carrée de la taille n (ici n=2) des échantillons.
(le vérifier sur cet exemple).
VI. Echantillonnage, estimation, décision
NOTION D’INTERVALLE DE CONFIANCE
METHODE DE CONSTRUCTION
Il ne s’agit plus d’estimer un paramètre inconnu, la moyenne de
la population, par un nombre , mais de situer cette moyenne
dans un intervalle avec un risque d’erreur connu.
Soit θ un paramètre à étudier et T son estimateur à partir d’un
échantillon aléatoire.
A partir de la loi de distribution de l’estimateur T, on détermine
un intervalle calculé sur la base de l’échantillon tel que la
probabilité soit importante qu’il englobe la vraie valeur du
paramètre recherché.
Soit (T-e,T+e) cet intervalle, et (1-α) la probabilité
d’appartenance, on peut dire que la marge d’erreur e est liée à
α par la probabilité:
P(T-e<θ<T+e)=1-α
VI. Echantillonnage, estimation, décision
NOTION D’INTERVALLE DE CONFIANCE
METHODE DE CONSTRUCTION
Le niveau de probabilité associé à un intervalle d’estimation est
appelé niveau de confiance ou degré de confiance.
Voir exemple en TD pour la construction et la prise de décision
qui en découle: on abordera alors les tests d’hypothèses
statistiques.
VII. Cartes de contrôle, capabilité d’un procédé
VII. Cartes de contrôle, capabilité d’un procédé
NOTION DE CAPABILITE
La capabilité du procédé dépend des cinq M: Méthode,
Machine, Main d’œuvre, Matière, Milieu.
La capabilité est le ratio de l’intervalle de tolérance par la
largeur de la distribution qui vaut environ 6.σ.
Cp= capabilité du processus=IT/ 6.σ
Avec IT: intervalle de tolérance
sigma: l’estimation de l’écart type de la population
On peut distinguer 3 cas (voir tableau)
Mais il est difficile de centrer le procédé, d’où l’introduction
Cpk. (voir tableau).
VII. Cartes de contrôle, capabilité d’un procédé
CARTES DE CONTROLE
Le pilotage du processus peut alors être réalisé à l’aide de
cartes de contrôle. On ajoute le temps, l’objectif est de
détecter un déréglage du processus avant l’émission de
rebuts.