Un tour complet autour du point O correspond à un angle de 360°. Donc
BOC = 360° – ( O1 + O2 ) égalité ➀
Le triangle BOA est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux. Par suite, on a :
O1 = 180° – 2 x 20°
= 180° – 40°
= 140°
Le triangle COA est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux. Par suite, on a :
O2 = 180° – 2 x 40°
= 180° – 80°
= 100°
L’égalité ➀ devient :
BOC = 306° – ( 140° + 100° )
= 360° – 240°
= 120° CQFD
B) Théorème
SI, dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc,
ALORS l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit.
C) Démonstration
Raisonnons comme pour l’exemple.
BOC = 360° – ( O1 + O2 ) égalité ➀
Dans le triangle BOA isocèle en O, on a :
O1 = 180° – 2 x A1
= 180° – 2 A1
Dans le triangle COA isocèle en 0, on a :
O2 = 180° – 2 x A2
= 180° – 2 A2
L’égalité ➀ devient :
BOC = 360° – [ ( 180° – 2 A1 ) + ( 180° – 2 A2 ) ]
= 360° – [ 360° – 2 A1 – 2 A2 ]
= 360° – 360° + 2 A1 + 2 A2
= 2 ( A1 + A2 )
Or, d’après la disposition
A
1 + A2 = BAC
Donc BOC = 2 x BAC CQFD
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