CERCLES - ANGLES INSCRITS - ANGLES AU CENTRE B 1. Définitions B O C A) Angle au centre O C Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. B BOC est un angle au centre. ͡ BOC intercepte l’arc AB O C B) Angle inscrit Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont sécants avec le cercle. B B B B A A C C O B O O non A A C O O oui oui C non C B ͡ L’angle inscrit BAC intercepte l’arc BC O A B B C O 2. Propriété O C B A) Exemple B A O B 1 ? B L’angle inscrit BAC et l’angle au centre BOC O 20° C C ͡ interceptent le même arc de cercle BC. D’après les mesures indiquées, on a : 40° O 2 C BAC = 20° + 40° O C BAC = 60° Nous allons montrer que BOC = 120° C B Un tour complet autour du point O correspond à un angle de 360°. Donc O C BOC = 360° – ( O1 + O2 ) égalité ➀ Le triangle BOA est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux. Par suite, on a : B O O1 = 180° – 2 x 20° = 180° – 40° = 140° C B Le triangle COA est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux. Par suite, on a : O C O2 = 180° – 2 x 40° = 180° – 80° = 100° L’égalité ➀ devient : BOC = 306° – ( 140° + 100° ) = 360° – 240° = 120° CQFD B B) Théorème B B SI, dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, ALORS l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit. O C O CO B C B C) Démonstration B O O C C Raisonnons comme pour l’exemple. O A C BOC = 360° – ( O1 + O2 ) Dans le triangle BOA isocèle en O, on a : B égalité ➀ B 1 2 B O O C C O1 = 180° – 2 x A1 = 180° – 2 A1 Dans le triangle COA isocèle en 0, on a : B O 1 B O B O2 = 180° – 2 x A2 = 180° – 2 A2 L’égalité ➀ devient : B B O O C O C B C B B CO O C C O C C = 360° – [ 360° – 2 A1 – 2 A2 ] O C O C O C C = 360° – 360° + 2 A1 + 2 A2 O C = 2 ( A1 + A2 ) Or, d’après la disposition A1 + A2 = BAC Donc C B BOC = 360° – [ ( 180° – 2 A1 ) + ( 180° – 2 A2 ) ] O O O C B B B B O BOC = 2 x BAC CQFD 2 O C B B B C 3. Angles inscrits égaux B B I B C O B O C O C B B O C J O C O C BIC et BJC sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc ͡ BC. Donc, ils ont égaux chacun à la moitié de l’angle au centre BOC. Par suite, ils sont égaux : BIC = BJC Théorème SI deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle ALORS ils sont égaux.