Angle inscrit_au centre

CERCLES - ANGLES INSCRITS - ANGLES AU CENTRE
B
1. Définitions
B
O
C
A) Angle au centre
O
C
Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
B
BOC est un angle au centre.
͡
BOC intercepte l’arc AB
O
C
B) Angle inscrit
Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont sécants
avec le cercle.
B
B
B
B
A
A
C
C
O
B
O
O
non
A
A
C
O
O
oui
oui
C
non
C
B
͡
L’angle inscrit BAC intercepte l’arc BC
O
A
B
B
C
O
2. Propriété
O
C
B
A) Exemple
B
A
O
B
1
?
B
L’angle inscrit BAC et l’angle au centre BOC
O
20°
C
C
͡
interceptent le même arc de cercle BC.
D’après les mesures indiquées, on a :
40°
O
2
C
BAC = 20° + 40°
O
C
BAC = 60°
Nous allons montrer que BOC = 120°
C
B
Un tour complet autour du point O correspond à un angle de 360°. Donc
O
C
BOC = 360° – ( O1 + O2 )
égalité ➀
Le triangle BOA est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux. Par suite, on a :
B
O
O1 = 180° – 2 x 20°
= 180° – 40°
= 140°
C
B
Le triangle COA est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux. Par suite, on a :
O
C
O2 = 180° – 2 x 40°
= 180° – 80°
= 100°
L’égalité ➀ devient :
BOC = 306° – ( 140° + 100° )
= 360° – 240°
= 120°
CQFD
B
B) Théorème
B
B
SI, dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc,
ALORS l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit.
O
C
O
CO
B
C
B
C) Démonstration
B
O
O
C
C
Raisonnons comme pour l’exemple.
O
A
C
BOC = 360° – ( O1 + O2 )
Dans le triangle BOA isocèle en O, on a :
B
égalité ➀
B
1
2
B
O
O
C
C
O1 = 180° – 2 x A1
= 180° – 2 A1
Dans le triangle COA isocèle en 0, on a :
B
O
1
B
O
B
O2 = 180° – 2 x A2
= 180° – 2 A2
L’égalité ➀ devient :
B
B
O
O
C
O
C
B
C
B
B
CO
O
C
C
O
C
C
= 360° – [ 360° – 2 A1 – 2 A2 ]
O
C O
C
O
C
C
= 360° – 360° + 2 A1 + 2 A2
O
C
= 2 ( A1 + A2 )
Or, d’après la disposition
A1 + A2 = BAC
Donc
C
B
BOC = 360° – [ ( 180° – 2 A1 ) + ( 180° – 2 A2 ) ]
O
O
O
C
B
B
B
B
O
BOC = 2 x BAC
CQFD
2
O
C
B
B
B
C
3. Angles inscrits égaux
B
B
I
B
C
O
B
O
C
O
C
B
B
O
C
J
O
C O
C
BIC et BJC sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc ͡
BC.
Donc, ils ont égaux chacun à la moitié de l’angle au centre BOC.
Par suite, ils sont égaux :
BIC = BJC
Théorème
SI deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle ALORS ils sont égaux.