Raisonnement par disjonction des cas

2014-2015
Logique
Raisonnement par disjonction des cas
Soit P et Q deux propositions.
Pour montrer que « P ⇒ Q » , on sépare l’hypothèse P de départ en différents
cas possibles et on montre que l’implication est vraie dans chacun des cas.
Exemple 1
n(n + 1)
est un entier. »
2
n(n + 1)
Cette proposition se formule aussi de la façon suivante : « Si n ∈ Z, alors
∈ Z. »
2
Soit n un entier. Il y a deux cas possibles : n est pair ou n est impair.
Premier cas : n est pair.
n(n + 1)
n(n + 1)
Alors il existe un entier k tel que n = 2k et
= k(2k + 1) donc
est un entier.
2
2
Deuxième cas : n est impair.
n(n + 1)
n(n + 1)
= (2k + 1)(k + 1) donc
est
Alors il existe un entier k tel que n = 2k + 1 et
2
2
un entier.
n(n + 1)
est un entier.
On a bien montré que, pour tout entier n,
2
On montre, par disjonction des cas, la proposition : « Pour tout entier n,
Exemple 2
Théorème de l’angle inscrit :
Dans tout cercle, tout angle inscrit est égal à la moitié de l’angle au centre qui intercepte le
même arc que l’angle inscrit.
Pour démontrer ce théorème, on considère trois cas, selon la position du centre du cercle par
rapport aux côtés de l’angle inscrit :
Premier cas : le centre est situé sur un des côtés de l’angle inscrit.
O
b
b
A
B
b
b
C
[ = OCA.
[
Le triangle AOC est un triangle isocèle en O donc OAC
[
[ − OCA
[ = 180˚−2OAC.
[
La somme des angles d’un triangle vaut 180˚donc AOC = 180˚− OAC
\ = 180˚− AOC.
[
Les points A, O et C sont alignés donc BOC
\ = 180˚− (180˚− 2OAC)
[ = 2OAC.
[
On a alors : BOC
1
2014-2015
Logique
[ =\
Comme les points A,O et C sont alignés, on a OAC
BAC.
\
[
On en conclut : BOC = 2AOC.
Deuxième cas : le centre est situé à l’intérieur de l’angle inscrit.
B
b
O
b
b
A
D
b
b
C
On construit le point D diamétralement opposé à A sur le cercle.
\ = BOD
\ + DOC.
\
BOC
\ = 2BAD
\ et DOC
\ = 2DAC.
\
D’après le premier cas de figure, BOD
\
\
\
\
\
\
On a alors BOC = 2BAD + 2DAC = 2(BAD + DAC) = 2BAC.
Troisième cas : le centre est situé à l’extérieur de l’angle inscrit.
O
b
b
A
D
b
b
B
b
C
On construit le point D diamétralement opposé à A sur le cercle.
\ = DOC
\ − DOB.
\
BOC
\ = 2DAC
\ et DOB
\ = 2DAB.
\
D’après le premier cas de figure, DOC
\ = 2DAC
\ − 2DAB
\ = 2(DAC
\ − DAB)
\ = 2\
On a alors BOC
BAC.
2