Algebre 1

BASES D’ALGEBRE
[email protected]
2007
1
Les nombres algébriques
Fraction algébrique
Les puissances
Proportion
Les racines
Nombres proportionnels
Système d’axes
Équation du second degré
Fonction y = ax
Pythagore
Fonction y = ax + b
Trigonométrie
Équation du premier degré
Calcul des surfaces
Inéquation du premier degré
Calcul des volumes
Système de deux équations
Multiples et sous multiples
Monôme
Polynôme
Identité
2
Les nombres algébriques
Définitions et propriétés :
o
A
X’
-6
-5
-4
Nombres
-3
-2
-1
<0
0
B
+1
+2
+3
Nombres
+4
X
+5
+6
>0
Un axe orienté est une droite sur laquelle on a défini un sens positif indiqué par une flèche.
On peut représenter l’ensemble des nombres algébriques sur un axe orienté.
La position d’un point de l’axe par rapport à l’origine O est définie par son abscisses.
L’abscisse du point A est égale à -3
L’abscisse du point B est égale à +4
Le déplacement de A vers B (dans le même sens que l’axe orienté) est positif.
Le déplacement de B vers A (dans le sens opposé à l’orientation de l’axe) est négatif.
3
Les nombres algébriques
• Un nombre algébrique est constitué d’un nombre arithmétique appelé
valeur absolue et d’un signe + ou - .
• Si a est un nombre algébrique, la valeur absolue s’écrit | a |
Exemple :
si a = -5
alors
|a|=5
• Deux nombres algébriques sont égaux s’ils ont la même valeur absolue et
le même signe.
• Deux nombres algébriques sont opposés ou symétriques s’ils ont la même
valeur absolue et des signes contraires.
• De deux nombres algébriques positifs, le plus grand est celui qui a la plus
grande valeur absolue.
• De deux nombres algébriques négatifs, le plus grand est celui qui a la plus
petite valeur absolue.
4
Les nombres algébriques
Addition de deux nombres algébriques :
1er cas : Les deux nombres ont le même signe.
• La valeur absolue du résultat est égale à la somme des valeurs absolues
des deux nombres.
• Le signe du résultat est le même que celui des deux nombres.
Exemples :
( +3 ) + ( +2 ) = ( +5 )
( -4 ) + ( -5 ) = ( -9 )
5
Les nombres algébriques
Addition de deux nombres algébriques :
2éme cas : Les deux nombres ont des signes contraires.
• La valeur absolue du résultat est égale à la différence des valeurs absolues
des deux nombres.
• Le signe du résultat est le même que celui du nombre qui a la plus grande
valeur absolue.
Exemples :
( +5 ) + ( -2 ) = ( +3 )
( -7 ) + ( +3 ) = ( -4 )
6
Les nombres algébriques
Soustraction de deux nombres algébriques :
• Pour soustraire un nombre algébrique, on ajoute le nombre symétrique.
Exemples :
( +5 ) - ( -2 ) = ( +5 ) + ( +2 ) = ( +7 )
( +6 ) - ( +2 ) = ( +6 ) + ( -2 ) = ( +4 )
( -8 ) - ( -5 ) = ( -8 ) + ( +5 ) = ( -3 )
7
Les nombres algébriques
Ecart de deux nombres algébriques :
• L’écart entre deux nombres algébriques de même signe est égal à la
différence des deux valeurs absolues.
Exemples :
Δ [( +5 ) ( +2 )] = | 5 | - | 2 | = 3
Δ [( -5 ) ( -2 )] = | 5 | - | 2 | = 3
• L’écart entre deux nombres algébriques de signes contraires est égal à la
somme des deux valeurs absolues.
Exemples :
Δ [( +5 ) ( -2 )] = | 5 | + | 2 | = 7
Δ [( -5 ) ( +2 )] = | 5 | + | 2 | = 7
8
Les nombres algébriques
Règle de suppression des parenthèses :
• Lorsqu’une somme algébrique entre parenthèses est précédée du signe – ,
on peut supprimer les parenthèses à la condition de changer les signes de
tous les nombres de cette somme algébrique.
Exemple :
-(-5+3-2) = +5-3 +2 = 5-3+2 = 4
Cette règle est aussi vraie si nous n’avons qu’un seul nombre entre
parenthèses.
Exemples :
- ( +3 ) = -3
- ( -5 ) = +5
9
Les nombres algébriques
Multiplication et division de deux nombres algébriques :
• Pour multiplier ou diviser deux nombres algébriques, on multiplie ou on
divise les valeurs absolues et on applique la règle des signes.
Règle des signes :
+ par + donne + , + par - donne - , - par + donne - , - par - donne +
Exemples :
( +3 ) . ( +2 ) = +6
( +2 ) . ( -4 ) = -8
( -8 ) : ( +2 ) = -4
( -9 ) : ( -3 ) = +3
10
Les nombres algébriques
Multiplication d’un nombre algébrique par une somme algébrique :
• On multiplie le nombre algébrique par chacun des nombres de la somme
algébrique et on fait la somme algébrique des produits obtenus.
Exemples :
a(b-c+d) =
ab - ac + ad
-a ( b - c + d ) = - ab + ac - ad
11
Les puissances
• On appelle facteur chacun des nombres qui forment un produit.
Exemple :
3 ab comprend trois facteurs : 3, a et b
• On appelle puissance d’un nombre un produit de facteurs tous égaux à ce
nombre.
Exemple :
5 x 5 x 5 x 5 = 54 (5 puissance 4)
le chiffre 4 s’appelle l’exposant de la puissance.
• La puissance d’un nombre positif est toujours positive.
• La puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair et
négative si l’exposant est impair.
12
Les puissances
Opérations sur les puissances :
• Produit : am . an = am+n
• Quotient : am : an = am-n
• Puissance d’une puissance : (am)n = am.n
• Puissance d’un produit : ( a . b . c)n = an . bn . cn
• Puissance d’une fraction : ( a : b )n = an : bn
13
Les puissances
Conventions d’écriture :
a0
a-m
= 1
=
1
am
Puissances de 10 :
10-3
= 0,001
10-2
= 0,01
Remarques :
10-1
= 0,1
• L’exposant négatif indique le nombre de
100
= 1
101
= 10
102
= 100
103
= 1000
chiffres après la virgule.
• L’exposant positif indique le nombre de
zéros.
14
Les racines
Racines des nombres algébriques :
Si an = A , alors a = nA (racine niéme de A)
Exemples :
( 3 au carré égal 9 )
32 = 9 → 3 = 29 ( 3 est la racine carrée de 9 )
( 2 au cube égal 8 )
23 = 8 → 2 = 38 ( 2 est la racine cubique de 8 )
Le symbole  s’appelle le radical et n s’appelle l’indice de la racine.
Un nombre positif A a toujours deux racines carrées symétriques :
A = a
et
A = - a
Il est impossible de calculer la racine carrée d’un nombre négatif.
15
Les racines
Conventions d’écriture :
nA
= A1/n
nAm
= Am/n
Exemples :
2A3
1
4B
= A3/2 = A1,5
= B-1/4
16
Système d’axes
Un système d’axes rectangulaire est composé de deux axes perpendiculaires x x’ et y y’
qui se coupent au point O qui est l’origine commune des deux axes.
• L’axe x x’ s’appelle axe des abscisses ou axe des x.
y
• L’axe y y’ s’appelle axe des ordonnées ou axe des y.
.M
x’
x
0
La position d’un point situé dans le plan défini par les
deux axes rectangulaires est définie par ses
coordonnées x et y.
• x s’appelle l’abscisse du point.
y’
• y s’appelle l’ordonnée du point.
Les coordonnées du point M sont :
Abscisse :
x = +3
Ordonnée :
y = +4
17
Fonction y = ax
La représentation graphique de cette fonction est une droite qui passe par le point O
origine des axes.
L’inclinaison de la droite y = ax dépend de la valeur de a
y
y = ax
x’
x
0
y’
• a s’appelle le coefficient angulaire de la droite y = ax
18
Fonction y = ax + b
La représentation graphique de cette fonction est une droite d’inclinaison a qui coupe
l’axe des y au point d’ordonnée y = b.
y
y = ax + b
b
x’
x
0
y’
• a s’appelle le coefficient angulaire de la droite y = ax + b
• b s’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite y = ax + b
19
Équation du premier degré
Soit l’équation ax + b = 0
a et b représentent des nombres algébriques constants
x est l’inconnue. (comme x = x1 on dit que l’équation est du premier degré)
Résoudre cette équation c’est trouver la valeur de x, appelée racine, qui annule la
quantité ax + b.
Graphiquement, la racine de l’équation ax + b = 0 est donnée par l’abscisse du point
d’intersection de la droite y = ax + b avec l’axe des x.
y
y = ax + b
racine
x’
x
0
À la racine, ax + b = y = 0
y’
20
Équation du premier degré
Règle 1 :
• On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une équation.
On obtient alors une équation équivalente à la première.
Exemple : si
ax + b = y
alors
ax + b + c = y + c
Règle 2 :
• On peut faire passer un terme d’un membre à l’autre à la condition de changer son signe.
On obtient alors une équation équivalent à à la première
Exemple : si
ax + b = y
alors
ax = y - b
21
Équation du premier degré
Règle 3 :
• On peut multiplier ou diviser deux membres d’une équation par un même nombre à la
condition que ce nombre soit différent de zéro.
On obtient alors une équation équivalente à la première.
Exemple : si
ax + b = y
alors c.(ax + b ) = c . y
et ( ax + b ) : c = y : c
Remarques :
L’équation 0 . x = a
est impossible à résoudre. Elle n’a pas de racine.
L’équation 0 . x = 0
est indéterminée. Elle a une infinité de racine.
22
Inéquation du premier degré
ax + b > 0 et ax + b < 0 sont des inéquations du premier degré à une inconnue.
On peut trouver les racines graphiquement en représentant la fonction y = ax + b sur un
système d’axes rectangulaire.
y
y = ax + b
x’
x
0
y’
Les racines seront toutes les valeurs de x supérieures ou toutes les valeurs de x
inférieures à la racine de l’équation y = ax + b à l’exception de cette racine elle-même.
23
Inéquation du premier degré
Règle 1 :
• dans une inéquation, on peut faire passer un terme d’un membre à l’autre à la condition
de changer son signe.
Exemple : si
ax + b > 0
alors
ax > - b
Règle 2 :
• On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre à
la condition que ce nombre soit différent de zéro.
Si le nombre est positif, l’inéquation ne change pas de sens.
Si le nombre est négatif le sens de l’inéquation est inversé.
Exemples : si
ax > -b
alors
(ax).(+1) > (- b). (+1) et
si
ax > -b
alors x > - b/a
(ax).(-1) < (- b).(-1)
24
Équation du premier degré
ax + by + c = 0 est une équation du premier degré à deux inconnues.
On peut représenter graphiquement cette droite :
On calcule les coordonnées de l’intersection de la droite avec l’axe xx’ en prenant y = 0 et
en calculant x. ( x = - c/a )
On calcule les coordonnées de l’intersection de la droite avec l’axe yy’ en prenant x = 0 et
en calculant y. ( y = - c/b )
y
.
x=-c/a
x’
.
y=-c/b
x
0
y’
25
Système de deux équations du premier degré
ax + by + c = 0
a’x + b’y + c’ = 0
(1)
(2)
Représente un système de deux équations du premier degré à deux inconnues.
Résoudre ce système, c’est trouver une valeur de x et une valeur de y qui vérifient à la fois
l’équation (1) et l’équation (2).
Graphiquement, les racines du système d’équations sont données par les coordonnées du
point d’intersection de la droite d’équation (1) avec la droite d’équation (2).
y
y=
x’
x
0
x=
(2)
(1)
y’
26
Système de deux équations du premier degré
Résolution algébrique d’un système de deux équations :
Exemple le système d’équations suivant :
x-y=1
(1)
x + 2 y = 4 (2)
1- A partir de l’une des deux équations, on calcule par exemple x en fonction de y
Exemple à partir de (1) on calcule x :
x–y=1
donc
x = y + 1 (3)
2- On porte cette valeur de x dans la deuxième équation. On obtient ainsi une équation à
une inconnue y. on calcule y.
x + 2 y = 4 devient y + 1 + 2 y = 4 ou 3 y + 1 = 4 donc 3 y = 4 – 1 = 3 et y = 1
3- On porte cette valeur trouvée pour y dans l’équation (3) calculée précédemment.
x = y + 1 donc
x=1+1
et x = 2
x = 2 et y = 1 sont les deux racines du système d’équations.
27
Monôme
Un monôme est une expression algébrique ne comportant que des produits et des
élévations à une puissance.
Il est formé d’un coefficient numérique et d’une partie littérale.
Exemples :
3 x2y
(coefficient 3, partie littérale x2y)
xy2
(coefficient 1, partie littérale y2)
x2y
4
(coefficient 1 , partie littérale x2y)
4
Deux monômes sont dits semblables s’ils ont les mêmes parties littérales.
Exemple :
3
x2y
et
x2y
4
sont des monômes semblables.
28
Polynôme
Un polynôme est une somme algébrique de monômes.
Exemple :
ax3 + bx2 + cx + d
On appelle binôme un polynôme ne comportant que deux termes.
Exemple :
ax + b
On appelle trinôme un polynôme ne comportant que trois termes.
Exemple :
ax + by + c
29
Polynôme
Somme de polynômes semblables :
On conserve la partie littérale et on fait la somme algébrique des coefficients.
Exemple :
2 ab2 – ab2 + 3 ab2 = 4 ab2
Somme de polynômes :
On fait la somme algébrique des termes semblables de chaque polynôme.
Exemple :
(x2 + 2 x + 1) + (x2 – x + 2) = 2 x2 + x + 3
Produit d’un monôme par un polynôme :
On multiplie le monôme par chaque terme du polynôme et on fait la somme algébrique
des produits obtenus.
Exemple :
2 x (x + y + 2) = 2 x2 + 2 xy + 4 x
30
Polynôme
Division d’un polynôme par un monôme :
On divise chaque terme du polynôme par le monôme et on fait la somme algébrique
des quotients obtenus.
Exemple :
(4 x2 + 2 xy – 8 x) 4 x2 2 xy
8x
= 2x+y-4
=
+
2x
2x
2x
2x
Produit d’un polynôme par un polynôme :
On multiplie chaque terme de l’un par chaque terme de l’autre et on fait la somme
algébrique des produits obtenus.
Exemple :
(2 x + y) (3 x - 2 ) = 6 x2 – 4 x + 3 xy – 2 y
31
Polynôme
Mise en facteur :
Si les termes d’un polynôme renferment un facteur commun on le met en évidence en
écrivant ce facteur devant la parenthèse à l’intérieure de laquelle on écrit le quotient du
polynôme par le facteur.
Exemple :
3 x3y2 – 6 x2y3 + 3 xy
Tous les termes de ce polynôme sont divisibles par 3 xy.
3xy est donc le facteur commun.
Le quotient de 3 x3y2 – 6 x2y3 + 3 xy par 3 xy est égal à :
x2y – 2 xy2 + 1
Le polynôme peut donc s’écrire en mettant 3xy en facteur :
3 xy ( x2y – 2 xy2 + 1 )
La mise en facteur permet de transformer un polynôme en un produit de facteurs.
32
Polynôme
Conditions pour qu’un produit de facteurs soit nul :
Il faut et il suffit qu’un des facteurs soit nul.
Exemple :
Résoudre l’équation :
3 x2 – 12 x = 0
Mise en facteurs :
3x(x-4)
Conditions pour que le produit soit nul :
x=0
ou
x=4
x = 0 et x = 4 sont donc les deux racines de l’équation 3 x2 – 12 x = 0
33
Identité
Une identité est une égalité algébrique qui est toujours vraie quelles que soient
les valeurs données aux lettres qui y figurent.
Exemple :
ab + ac = a ( b + c )
Identités remarquables :
( a + b )2 = a2 + 2 ab + b2
( a - b )2 = a2 - 2 ab + b2
( a + b ) ( a – b ) = a 2 - b2
34
Fraction algébrique
Fraction algébrique :
C’est une fraction dont les termes sont des expressions algébriques. Une fraction n’a
pas de sens si son dénominateur est nul.
Exemple :
5 x - 3 n’a pas de sens pour x = 4
x-4
Simplification :
Pour simplifier une fraction algébrique, on divise ses deux termes par un facteur
commun.
Exemple :
8 a2b
=
4 ab2
8 a2b : 4 ab
4 ab2 : 4 ab
=
2a
b
35
Fraction algébrique
Réduction au même dénominateur :
Pour réduire des fractions au même dénominateur, on peut multiplier les deux
termes de chacune d’elles par le produit des dénominateurs de toutes les autres.
Exemple :
a
b
;
c
d
;
e
f
a
df
adf
x
=
b
df
bdf
c
bf
cbf
x
=
d
bf
bdf
e
bd
ebd
x
=
f
bd
bdf
36
Fraction algébrique
Somme algébrique de fractions :
Après les avoir réduites au même dénominateur, on fait la somme algébrique des
numérateurs et on conserve le dénominateur commun.
Exemple :
a
b
+
c
d
-
e
f
adf
cbf
+
=
bdf
bdf
ebd
=
bdf
adf + cbf - ebd
bdf
37
Fraction algébrique
Multiplication de fractions :
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exemple :
a
.
b
c
d
.
e
f
ace
bdf
=
Division de fractions :
On multiplie la fraction dividende par l’inverse de la fraction diviseur.
Exemple :
a
b
:
c
d
=
a
b
.
d
c
=
ad
bc
38
Proportion
Définition :
On appelle proportion, l’égalité de deux rapports.
Exemple :
a
b
=
c
d
a et d sont les termes extrêmes,
b et c sont les termes moyens.
39
Proportion
Propriétés :
1- Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
a/b = c/d → ad = bc
2- Dans une proportion, on peut permuter les extrêmes.
a/b = c/d
→ d/b = c/a
3- Dans une proportion, on peut permuter les moyens.
a/b = c/d → a/c = b/d
4- Dans une proportion, on peut inverser les deux rapports.
a/b = c/d → b/a = d/c
5- on obtient un rapport égal à chacun des rapports d’une proportion en ajoutant ou en
retranchant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
a/b = c/d = ( a + c ) / ( b + d ) = ( a – c ) / ( b – d )
40
Nombres proportionnels
Les nombres a, b, c sont proportionnels aux nombres a’, b’, c’ si :
a
a’
b
=
b’
=
c
c’
= q
« q » s’appelle coefficient de proportionnalité.
La représentation graphique de grandeurs proportionnelles est une droite d’équation
y = ax dans laquelle « a » représente le coefficient de proportionnalité.
Exemples :
La longueur d’une circonférence est proportionnelle à son diamètre.
La masse d’un corps est proportionnelle à son volume…
41
Équation du second degré
ax2 + bx + c = 0 est une équation du second degré.
Sa représentation graphique est une parabole, les racines de l’équation
correspondent alors aux points d’intersection de la parabole et de l’axe xx’.
C
A
B
y
L’équation peut avoir une racine (A)
L’équation peut avoir deux racines (B)
x’
x
0
L’équation peut ne pas avoir de racine (C)
y’
42
Équation du second degré
ax2 + bx + c = 0 est une équation du second degré.
Le discriminant (noté Δ) est une valeur qui caractérise les racines de cette équation.
Δ = b2 – 4 ac
Si la valeur du discriminant est positive, l’équation possède deux racines.
Si la valeur du discriminant est nulle, l’équation possède une seule racine.
Si la valeur du discriminant est négative, l’équation n’a pas de racine.
43
Équation du second degré
ax2 + bx + c = 0 est une équation du second degré.
Les racines de l’équation se calculent en utilisant la formule générale suivante :
-b ±  Δ
2a
Racine(s) =
Si Δ est nul la racine est :
-b
x=
2a
Si Δ est positif les deux racines sont :
x=
-b +  b2 – 4 ac
2a
et
x’ =
-b -  b2 – 4 ac
2a
44
Dérivée d’une fonction
La dérivée est une fonction mathématique, issue d’une autre fonction, qui
permet , entre autre, de repérer pour chaque point de la courbe la variation de y
pour une variation infime de x.
La formule générale de la fonction dérivée y’ de la fonction y est la suivante.
y = a xb
→
y’ = ab xb-1
Exemples :
y = 3 x2
→ y’ = 6 x
y = 2 x2 + 3 x - 4 →
y = 2 x2 + 3 x1 - 4 x0
y = x
→
→
y = x1/2
y = 1 / x → y = x-1
y’ = ½ x-1/2
→ y’ = -1 x-2 →
→ y’ = 4 x + 3
→
y’ = 1 / ( 2 x )
y’ = -x-2 → y’ = - 1/x2
45
Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des côtés opposés.
ab² = ac² + bc²
ab : longueur de l’hypoténuse
ac et bc : longueurs des côtés opposés
b
Dans notre exemple, le carré de
l’hypoténuse est de 25 et les carrés des
côtés opposés de 9 et de 16.
a
c
La méthode du « 3, 4, 5 » permet, sur les
chantiers de tracer avec précision un angle
droit sans utiliser d’équerre (9 + 16 = 25).
Bien évidement, la méthode du « 6, 8, 10 »
est également utilisable (36 + 64 =100).
46
Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des côtés opposés.
ab² = ac² + bc²
b
Ce théorème permet de calculer un côté du
triangle rectangle si l’on connaît la valeur des
deux autres côtés.
ab =  ac² + bc²
a
c
ac =  ab² - bc²
bc =  ab² - ac²
47
Trigonométrie
La trigonométrie est la science qui traite des rapports des angles et des
distances dans les triangles.
Soit le triangle rectangle suivant :
b
Le côté ab est l’hypoténuse H
Pour l’angle α
O
a
α
A
c
:
- le côté bc est le côté opposé O
- le côté ac est le côté adjacent A
48
Trigonométrie
Les principales grandeurs de la trigonométrie sont :
le sinus (sin), le cosinus (cos), la tangente (tan) et cotangente (ctg)
b
sinus α
= O/H
cosinus α
= A/H
tangente α
= O/A
O
a
α
A
c
cotangente α = A / O
49
Trigonométrie
Un moyen mnémotechnique : SOCATOA
Sin=Opposé/hypoténuse,Cosinus=Adjacent/hypoténuse,Tangente=Opposé/Adjacent.
b
sinus α
= O/H
cosinus α
= A/H
tangente α
= O/A
O
a
α
A
c
cotangente α = A / O
50
Trigonométrie
O
α
A
Cosinus α
Tangente α
Sinus α
Cotangente α
sinus α
= O / H = O/1 = O
cosinus α
= A / H = A/1 = A
tangente α = O / A
côté opposé lorsque A = 1
cotangente α = A / O
côté adjacent lorsque O = 1
=
=
51
Trigonométrie
O
α
A
Cosinus α
Tangente α
Sinus α
Cotangente α
α
sin
cos
tan
ctg
0°
0
1
0
∞
30°
0,5
0,866
45°
0,707
0,707
1
1
60°
0,866
0,5
1,732
0,577
90°
1
0
∞
0
0,577 1,732
52
Trigonométrie
O
α
A
Cosinus α
Tangente α
Sinus α
Cotangente α
α
sin
cos
tan
ctg
0°
0
1
0
∞
30°
1/2
3 / 2 3 / 3
45°
2 / 2 2 / 2
60°
3 / 2
90°
1
3
1
1
1/2
3
3 / 3
0
∞
0
53
Trigonométrie
Remarques :
sin2 α + cos2 α = 1
La tangente correspond à la « pente » occasionnée par l’angle.
tan α = sin α / cos α
ctg α = cos α / sin α
α
sin
cos
tan
ctg
0
∞
0°
0 / 2 4 / 2
30°
1 / 2 3 / 2 3 / 3
45°
2 / 2 2 / 2
1
1
60°
3 / 2 1 / 2
3
3 / 3
90°
4 / 2 0 / 2
∞
0
3
54
Calcul de surfaces
c
L
c
l
S=c.c
S=L.l
Surface d’un carré
Surface d’un rectangle
55
Calcul de surfaces
h
B
S=(B.h)/2
Surface d’un triangle
quelconque
c
3
S=
4
. c²
Surface d’un triangle
équilatéral
56
Calcul de surfaces
b
S=  p.(p–a).(p–b).(p–c)
p = ( a + b + c ) / 2 = demi périmètre
Surface d’un triangle quelconque en connaissant la longueur des côtés
57
Calcul de surfaces
A
A
h
B
B
S=h.(B+A)/2
S=(B.A)/2
Surface d’un trapèze
Surface d’un losange
58
Calcul de surfaces
r
Ø
Ø
r
R
Ø
S = π . r²
S = π . ( R² - r² )
S = π . ز / 4
S = π . ( ز - ز ) / 4
Surface d’un cercle
Surface d’une couronne
59
Calcul de surfaces
Ø
h
Ø
S = π . ز
Surface d’une sphère
S=π.Ø.h
Surface latérale d’un cylindre
60
Calcul des volumes
S
S
h
h
parallélogramme
cylindre
V= S.h
La formule est utilisable pour tous les prismes droits.
61
Calcul des volumes
h
h
S
S
pyramide
cône
V= (S.h)/3
La formule est utilisable quelque soient la forme de la base ou la position
de la pointe.
62
Calcul des volumes
r
V = 4 ( π . r3 ) / 3
Volume d’une sphère
63
Multiples et sous multiples
X
kU
hU
daU
kilo
hecto
1000
X
100
0
0
dU
cU
mU
déca
déci
centi
milli
X 10
: 10
: 100
: 1000
0
0
2
2
2
U
5
5
5
Exemples :
25 U = 2 500 cU = 0,025 kU
64
Multiples et sous multiples
kU2
hU2
daU2
U2
dU2
cU2
mU2
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
8
8
8
8
0
0
3
3
3
3
7
7
7
7
5
5
5
5
0
Exemples :
3 785 dm² = 37,85 m2 = 0,3785 dam2 = 378 500 cm2
65
Multiples et sous multiples
kU3
km3
hU3
hm3
daU3
dam3
U3
dU3
cU3
dm3
cm3
hL daL L
dL cL mL
m3
1
1
0 0 1
1
1
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
0
0
0
0
0
mU3
mm3
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0
Exemples :
12 500 L = 12,5 m3 = 0,0125 dam3 = 12 500 000 cm3 = 1 250 000 cL
66