Les fonctions algébriques

Les fonctions algébriques
Polynômes, fonctions rationnelles et radicaux
Les fonctions mathématiques sont classifiées comme les nombres. On
distingue les nombres entiers, tels 4 et -7, les nombres rationnels, quotients
d’entiers tels 1/7 et 1,41 et les nombres irrationnels. Ceux-ci se subdivisent
√
en nombres algébriques, solution d’une équation polynomiale tels 2 solution de x2 − 2 = 0 et -2.38940517719230... solution de x3 − 11x + 1 = 0 et
les nombres irrationnels transcendants, tels e et π qui ne satisfont aucune
telle équation.
Les polynômes
Les fonctions polynomiales correspondent aux nombres entiers. Ce sont
les fonctions les plus simples. Un polynôme de degré n est une fonction de
la forme
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
(1)
où les coefficients a0 , a1 , a2 , . . . , an 6= 0 sont connus. Les coefficients et la
variable x étant donnés, on peut en principe calculer exactement f (x) en
un nombre fini d’opérations arithmétiques. Lorsque n = 2, on parle de polynôme quadratique et lorsque n = 3, de polynôme cubique. Une équation
polynomiale de degré n,
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn = 0,
admet au plus n solutions pour x (il peut y en avoir moins). Lorsque a est
une racine de l’équation f (x) = 0 (on dit aussi que a est un zéro de f ), on
peut factoriser f (x) :
f (x) = (x − a)f1 (x)
où f1 (x) est un autre polynôme en x.
1
Exemples
80
60
40
2
y = 2x - 11x + 5
-6
-4
20
-2
2
4
6
-20
-40
y = 2x 3- 11x 2- x + 30
-60
Les fonctions rationnelles
Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes :
f (x) =
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
.
b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm
(2)
Elle n’est définie que pour les valeurs de x pour lesquelles son dénominateur
ne s’annule pas :
b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm 6= 0.
Lorsque x s’approche d’un zéro du dénominateur, le graphe de la fonction
présente une asymptote verticale. Il y a aussi une asymptote horizontale
lorsque x tend vers ± ∞ si n est plus petit que ou égal à m. Une équation
de la forme
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
=c
b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm
admet au plus max(n, m) racines (il peut y en avoir moins).
2
Exemple
2x 2-11x+2
4
2x 3-11x 2-x+30
2
y=
-10
-5
5
-2
-4
Les fonctions algébriques
Une fonction algébrique est une fonction y = f (x) qui satisfait une équation du type
a0 (x) + a1 (x)y + a2 (x)y 2 + · · · + an (x)y n = 0
(3)
où les coefficients a0 (x), a1 (x), a2 (x), . . . , an (x) sont des polynômes en x.
Une fonction polynomiale correspond au cas
a0 (x) + y = 0
et une fonction rationnelle au cas
a0 (x) + a1 (x)y = 0.
Ces fonctions peuvent être très complexes. Dans les cas les plus simples, elles
s’expriment en terme x au moyen des quatre opérations de l’arithmétique
et de l’extraction de racines.
Exemple
La fonction
y=
3 − x + (−4x3 + x2 − 6x + 9)1/2
2x
est une solution de
x2 + (x − 3)y + xy 2 = 0.
Elle n’est définie que pour x < 1.
3
3-x+
y=
H-3+xL2-4x 3
40
20
2x
-4
-3
-2
-1
1
-20
-40
Les fonctions transcendantes
Les autres fonctions mathématiques, telles le sinus ou le logarithme,
sont dites transcendantes. Elles apparaissent généralement comme solutions
d’équations différentielles.
Exercices
1. Factoriser le polynôme x2 − 1.
2. Combien d’asymptotes le graphe de (x2 + 1)/(x2 − 1) admet-il ?
3. Quelles sont les fonctions algébriques y = f (x) qui satisfont l’équation
1 + x2 y + xy 2 = 0 ?
Pour en savoir plus
? http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc1/polyfct4.html
? http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. (x + 1)(x − 1)
2
4
1/2
3. y = f (x) = −x ± (x2x−4x)
2. trois : les droites x = 1, x = −1 et y = 1
4