Les fonctions algébriques

Les fonctions algébriques
Polynômes, fonctions rationnelles et radicaux
Les fonctions mathématiques sont classifiées comme les nombres. On
distingue les nombres entiers, tels 4 et -7, les nombres rationnels, quotients
d’entiers tels 1/7 et 1,41 et les nombres irrationnels. Ceux-ci se subdivisent
en nombres algébriques, solution d’une équation polynomiale tels √2solu-
tion de x2−2 = 0 et -2.38940517719230... solution de x3−11x+ 1 = 0 et
les nombres irrationnels transcendants, tels eet πqui ne satisfont aucune
telle équation.
Les polynômes
Les fonctions polynomiales correspondent aux nombres entiers. Ce sont
les fonctions les plus simples. Un polynôme de degré nest une fonction de
la forme
f(x) = a0+a1x+a2x2+··· +anxn(1)
où les coefficients a0, a1, a2, . . . , an6= 0 sont connus. Les coefficients et la
variable xétant donnés, on peut en principe calculer exactement f(x)en
un nombre fini d’opérations arithmétiques. Lorsque n= 2, on parle de po-
lynôme quadratique et lorsque n= 3, de polynôme cubique. Une équation
polynomiale de degré n,
a0+a1x+a2x2+··· +anxn= 0,
admet au plus nsolutions pour x(il peut y en avoir moins). Lorsque aest
une racine de l’équation f(x) = 0 (on dit aussi que aest un zéro de f), on
peut factoriser f(x):
f(x)=(x−a)f1(x)
où f1(x)est un autre polynôme en x.
1

Exemples
-6
-4
-2
2
4
6
-60
-40
-20
20
40
60
80
y=2x2-11x +5
y=2x3-11x2-x+30
Les fonctions rationnelles
Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes :
f(x) = a0+a1x+a2x2+··· +anxn
b0+b1x+b2x2+··· +bmxm.(2)
Elle n’est définie que pour les valeurs de xpour lesquelles son dénominateur
ne s’annule pas :
b0+b1x+b2x2+··· +bmxm6= 0.
Lorsque xs’approche d’un zéro du dénominateur, le graphe de la fonction
présente une asymptote verticale. Il y a aussi une asymptote horizontale
lorsque xtend vers ±∞ si nest plus petit que ou égal à m. Une équation
de la forme a0+a1x+a2x2+··· +anxn
b0+b1x+b2x2+··· +bmxm=c
admet au plus max(n, m)racines (il peut y en avoir moins).
2

Exemple
-10
-5
5
-4
-2
2
4
y=2x2-11x+2
2x3-11x2-x+30
Les fonctions algébriques
Une fonction algébrique est une fonction y=f(x)qui satisfait une équa-
tion du type
a0(x) + a1(x)y+a2(x)y2+··· +an(x)yn= 0 (3)
où les coefficients a0(x), a1(x), a2(x), . . . , an(x)sont des polynômes en x.
Une fonction polynomiale correspond au cas
a0(x) + y= 0
et une fonction rationnelle au cas
a0(x) + a1(x)y= 0.
Ces fonctions peuvent être très complexes. Dans les cas les plus simples, elles
s’expriment en terme xau moyen des quatre opérations de l’arithmétique
et de l’extraction de racines.
Exemple
La fonction
y=3−x+ (−4x3+x2−6x+ 9)1/2
2x
est une solution de
x2+ (x−3)y+xy2= 0.
Elle n’est définie que pour x < 1.
3

-4
-3
-2
-1
1
-40
-20
20
40
y=3-x+H-3+xL2-4x3
2x
Les fonctions transcendantes
Les autres fonctions mathématiques, telles le sinus ou le logarithme,
sont dites transcendantes. Elles apparaissent généralement comme solutions
d’équations différentielles.
Exercices
1. Factoriser le polynôme x2−1.
2. Combien d’asymptotes le graphe de (x2+ 1)/(x2−1) admet-il ?
3. Quelles sont les fonctions algébriques y=f(x)qui satisfont l’équation
1 + x2y+xy2= 0 ?
Pour en savoir plus
?http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc1/polyfct4.html
?http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. (x+ 1)(x−1) 2. trois : les droites x= 1, x =−1et y= 1
3. y=f(x) = −x2±(x4−4x)1/2
2x
4