Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Espaces vectoriels
SCliquer pour la suite.
Revenir à la diapositive
précédente.
Aller à la diapositive
suivante.
Légende

Nous présentons maintenant la notion d’espace vectoriel qui est
fondamentale en algèbre linéaire.
Introduction
Nous verrons à quelles conditions un ensemble a une structure
d’espace vectoriel et à quelles conditions un sous-ensemble d’un
espace vectoriel forme un sous-espace vectoriel.
Nous utiliserons également les notions de base et de dimension d’un
espace et d’un sous-espace vectoriel.

Structure d’espace vectoriel
SS
Un ensemble V
Addition, 
•Fermée sur V,
K, un corps de
scalaires
Addition, +
•Fermée sur K,
Multiplication, 
•Fermée sur K,
Multiplication par
un scalaire, 
V a une structure de
groupe abélien.
•Fermée sur V, •associative,
•possède un neutre,
•chaque élément a
un opposé,
•commutative.
•associative,
•possède un neutre,
•chaque élément a
un opposé,
•commutative.
•distributive sur +,
•associative,
•possède un neutre,
•chaque élément,
sauf 0, a un
inverse.
•distributive sur +,
•distributive sur ,
•associative avec ,
•Le neutre de est
neutre pour .
Les éléments de
V sont appelés
vecteurs.
Les éléments de K
sont appelés
scalaires.

Remarques
Dans cette présentation imagée de la notion d’espace vectoriel, nous
avons utilisé le symbole, , pour désigner l’addition des vecteurs et
le symbole, , pour désigner la multiplication d’un vecteur par un
scalaire. Notre souci est de bien distinguer les opérations sur les
vecteurs de celles sur les scalaires.
On remarque également que nous avons déjà présenté des
ensembles qui forment des espaces vectoriels.
•l’ensemble des matrices de dimension mnforme un espace
vectoriel sur R;
Donnons une définition plus formelle d’un espace vectoriel.
•les vecteurs géométriques du plan, ainsi que ceux de l’espace,
forment des espaces vectoriels sur R;
•les vecteurs algébriques, de R2,de R3et de Rn, forment des espaces
vectoriels sur R.

Structure d’espace vectoriel
Soit K, un ensemble muni d’une structure de corps (appelé corps de
scalaires), et V, un ensemble non vide (dont les éléments sont
appelés vecteurs) tel que Vest muni :
• d’une opération interne : VVV
appelée addition vectorielle.
• d’une opération externe :
appelée multiplication par un scalaire.
KVV
DÉFINITION
Espace vectoriel
On dit que V est un espace vectoriel sur K, lorsque les conditions
suivantes sont satisfaites :