Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Espaces vectoriels
Légende
S
Cliquer pour la suite.
Revenir à la diapositive
précédente.
Aller à la diapositive
suivante.
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Nous présentons maintenant la notion d’espace vectoriel qui est
fondamentale en algèbre linéaire.
Nous verrons à quelles conditions un ensemble a une structure
d’espace vectoriel et à quelles conditions un sous-ensemble d’un
espace vectoriel forme un sous-espace vectoriel.
Nous utiliserons également les notions de base et de dimension d’un
espace et d’un sous-espace vectoriel.
Structure d’espace vectoriel
K, un corps de
scalaires
Addition, +
•
•
•
•
Fermée sur K,
associative,
possède un neutre,
chaque élément a
un opposé,
• commutative.
•
•
•
•
Multiplication par
un scalaire, 
Addition, 
• Fermée sur V,
• Fermée sur V,
• distributive sur +,
• associative,
• possède un neutre,
• chaque élément a
• distributive sur ,
un opposé,
Multiplication, 
• associative avec ,
Fermée sur K,
distributive sur +,
associative,
possède un neutre,
• Le neutre de est
neutre pour  .
• chaque élément,
sauf 0, a un
inverse.
Un ensemble V
Les éléments de K
sont appelés
scalaires.
• commutative.
V a une structure de
groupe abélien.
Les éléments de
V sont appelés
vecteurs.
S
Remarques
Dans cette présentation imagée de la notion d’espace vectoriel, nous
avons utilisé le symbole,  , pour désigner l’addition des vecteurs et
le symbole,  , pour désigner la multiplication d’un vecteur par un
scalaire. Notre souci est de bien distinguer les opérations sur les
vecteurs de celles sur les scalaires.
On remarque également que nous avons déjà présenté des
ensembles qui forment des espaces vectoriels.
• l’ensemble des matrices de dimension mn forme un espace
vectoriel sur R;
• les vecteurs géométriques du plan, ainsi que ceux de l’espace,
forment des espaces vectoriels sur R;
• les vecteurs algébriques, de R2, de R3 et de Rn, forment des espaces
vectoriels sur R.
Donnons une définition plus formelle d’un espace vectoriel.
Structure d’espace vectoriel
DÉFINITION
Espace vectoriel
Soit K, un ensemble muni d’une structure de corps (appelé corps de
scalaires), et V, un ensemble non vide (dont les éléments sont
appelés vecteurs) tel que V est muni :
• d’une opération interne : V  V

V

V
appelée addition vectorielle.
• d’une opération externe : K  V
appelée multiplication par un scalaire.
On dit que V est un espace vectoriel sur K, lorsque les conditions
suivantes sont satisfaites :
Addition
Pour tout vecteur u, v et w  V, et pour tout scalaire r et s  K :
1. Fermeture de l’addition sur l’ensemble des vecteurs
2
u  v  R
2. Commutativité de l’addition des vecteurs
u v = v u
3. Associativité de l’addition des vecteurs
( u  v ) w = u  ( v  w )
4. Existence d’un élément neutre pour l’addition des vecteurs
Il existe, dans V, un vecteur nul, noté 0 , tel que :
u  0 = u 0 = u
5. Existence d’un élément opposé ( symétrique) pour l’addition des
vecteurs
Pour tout vecteur u  R2, il existe, dans V, un vecteur opposé,
noté – u tel que :
u  (– u ) = (– u )  u = 0
Multiplication par un scalaire
Pour tout vecteur u, v et w  V, et pour tout scalaire r et s  K :
6. Fermeture de la multiplication par un scalaire sur l’ensemble des
vecteurs
r  u  R2
7. Distributivité de la multiplication d’un vecteur sur une somme de
scalaires
(r + s)
u = (r 
u ) (s 
u)
8. Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de
vecteurs
r  ( u  v ) = (r 
u )  (r 
v)
9. Associativité de la multiplication d’un vecteur avec le produit de
scalaires
r (s u ) = (rs)  u
10. Élément neutre pour la multiplication d’un vecteur par un scalaire
1 u = u
Sous-espace vectoriel
DÉFINITION
Sous-espace vectoriel
Soit U, un sous-ensemble d’un espace vectoriel V. On dit que U est
un sous-espace vectoriel de V si et seulement si U est lui-même un
espace vectoriel.
Pour démontrer qu’un sous-ensemble d’un espace vectoriel forme
un sous-espace vectoriel, il n’est pas nécessaire de vérifier toutes les
propriétés. Le théorème suivant indique qu’il est suffisant de
montrer que le sous-ensemble est non vide et que l’addition et la
multiplication par un scalaire sont fermées sur le sous-ensemble.
Lorsque ces conditions sont satisfaites, on peut conclure que le
sous-ensemble forme un sous-espace vectoriel.
Sous-espace vectoriel
THÉORÈME
Sous-espace vectoriel
Soit U, un sous-ensemble d’un espace vectoriel V. Le sous-ensemble
U est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si les trois
conditions suivantes sont satisfaites :
1. U est non vide.
2. L’opération d’addition de vecteurs est fermée sur U :
Pour tout u et v  U, u  v  U
3. L’opération de multiplication d’un vecteur par un scalaire est
fermée sur U :
Pour tout u  Uet pour tout k  K, (k u)  U
Sous-espace vectoriel
Idée de la preuve

Soit U, un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel V sur K. Alors,
les dix conditions d’un espace vectoriel sont satisfaites et les deux
opérations sont fermées sur U.

Soit U, un sous-ensemble d’un espace vectoriel V sur K, tel que les
deux opérations d’addition de vecteurs de V et de multiplication d’un
vecteur de V par un scalaire sont fermées sur U. Alors, si u est un
vecteur quelconque de U, 0  u = 0  U, puisque U est fermé pour
la multiplication par un scalaire. Le vecteur nul est donc un élément
du sous-ensemble U.
De plus, –1  u = –u U, puisque U est fermé pour la
multiplication par un scalaire. Chaque vecteur de U a donc un
opposé dans U.
Toutes les autres propriétés sont satisfaites pour tous les éléments de
V, à plus forte raison pour ceux du sous-ensemble U.
Base
Définition
Base d’un espace vectoriel
Soit V, un espace vectoriel sur K, et B, un ensemble de n vecteurs de
V. L’ensemble B forme une base de V si :
1. les vecteurs de B sont linéairement indépendants;
2. tout vecteur de V peut s’écrire comme combinaison linéaire des
vecteurs de B (tous les vecteurs de V sont engendrés par les
vecteurs de B).
Dimension
Définition
Dimension d’un espace vectoriel
Soit V, un espace vectoriel sur K. La dimension de V, notée dim V,
est définie comme suit :
n si une base de V contient n vecteurs.
dim V=
0 si le seul élément de V est le vecteur nul.
Remarque
On peut montrer, mais nous ne le ferons pas dans ce cours, que si
une base d’un espace vectoriel contient n vecteurs, alors toutes les
bases de cet espace vectoriel contiennent n vecteurs.
Exemple 7.1.1
Soit U = {(x; y)| y = 2x}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R2.
Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R2.
Les vecteurs de U sont de la forme générale :
(x; 2x)
Montrons que U est fermé pour la multiplication par un scalaire
Montrons que U est fermé pour l’addition
Soit u  U et k  R. u = (a; 2a) où a  R.
 U est U.
Soit u et vque
= (a; 2a) et v = (b; 2b),
u vide
Montrons
non
Alors
En multipliantAlors
le vecteur par le scalaire, on obtient :
où a et b  R. En
additionnant, on obtient :
Conclusion
k u = k(a; 2a)
u posant,
+ v==(ka;
(a;
2a)
+ (b; 2b)x = 1 dans la forme générale, on obtient le
En
par
exemple,
k(2a))
Puisque le sous-ensemble U est non vide et que
les deux opérations
2
=
(a
+
b;
2a
+
2b)
vecteur
2).sur
Ce le
vecteur
est un élément
R conclure
et il est également
=(1;(ka;
2ka)
sont fermées
sous-ensemble
U, on de
peut
que U estun
un
= (a
+puisqu’il
b; du
2(avecteur
+ b))2 obtenu
Les
composantes
satisfont ày la
condition
élément
de
Uvectoriel
à la condition
= 2x.
Par conséquent,
sous-espace
desatisfait
R.
y = 2xsatisfont à la condition
(1; 2)
 U, et U est
vide.somme
Les
composantes
dunon
vecteur
On peut donc conclure que k u y= 2x U pour u  U et pour tout k 
R.
tout
Le
sous-ensemble
U
est
donc
fermé
pour
la
multiplication
par un

U
pour
u et v.
On peut donc conclure que u + v
scalaire.
tout
Le
sous-ensemble U est donc fermé pour
l’addition.
S
Exemple 7.1.1
Soit U = {(x; y)| y = 2x}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R2.
Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R2.
Donner
une base et
la dimension de ce sous-espace vectoriel, et le
Représentation
graphique
représenter graphiquement.
Graphiquement, U est l’ensemble des
Les
vecteurs
de U sont
de 2).
la forme (x; 2x). Les opérations
vecteurs
engendrés
parlesle vecteurs
vecteur (1;
sur les vecteurs permettent d’écrire :
Ces vecteurs ont tous leur extrémité sur
(x;
= x(1;
2)
la 2x)
droite
d’équation
y = 2x.
Les vecteurs de U sont donc tous engendrés par le vecteur (1; 2) et
Le sous-espace
vectoriel
U est donc
celui-ci
est linéairement
indépendant,
car en posant (x; 2x) = (0; 0) on
vecteurs
al’ensemble
une solution des
unique
x = 0. algébriques
dont les extrémités forment la droite
Une base de ce sous-espace vectoriel est :
d’équation y = 2x.
BU = {(1; 2)}
L’extrémité base
de chacun
ces vecteurs
est un
point dont
la position de
Puisqu’une
de Udecontient
un seul
vecteur,
la dimension
est décrite
par le vecteur.
l’espace
vectoriel
U est 1. Graphiquement, ce sous-espace vectoriel est
une droite dans R2 passant à l’origine.
S
Exemple 7.1.2
Soit U = {(x; y)| y = 2x + 1}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R2.
Ce sous-ensemble est-il un sous-espace vectoriel de R2?
Les vecteurs de U sont de la forme générale :
(x; 2x + 1)
Vérifions si U est fermé pour l’addition
Remarque
Soit u et v 
U. u = (a; 2a + 1) et v = (b; 2b + 1),
Dès
conditions n’est
pas satisfaite,
on peut conclure
Alors
où aque
et bl’une
 R.des
En additionnant,
on obtient
:
Montrons
que U est non
que
le sous-ensemble
n’estvide
pas un sous-espace vectoriel.
u + v = (a; 2a + 1) + (b; 2b + 1)
= (a + b; 2a + 2b + 2)
En posant,= par
x += 2)
1 dans la forme générale, on obtient le
(a +exemple,
b; 2(a + b)
vecteur (1; 3). Ce vecteur est un élément de R2 et il est également un
Les composantes
du vecteur
somme ne satisfont
pas ànous
la condition à
Une
représentation
graphique
élément
de U puisqu’il
satisfaitdeà la
la situation
condition va
y = 2x +aider
1. Par
y
=
2x
+
1
comprendre
pourquoi
unvide.
sous-espace vectoriel de R2.
conséquent, (1;
3)  U,Uetn’est
U estpas
non
Le sous-ensemble U n’est pas fermé pour l’addition, ce n’est donc
pas un sous-espace vectoriel de R2.
S
Exemple 7.1.2
Soit U = {(x; y)| y = 2x + 1}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R2.
Ce sous-ensemble est-il un sous-espace vectoriel de R2?
Représentation graphique
Soit des vecteurs quelconques de U :
u = (a; a + 1) et v = (b; b + 1).
L’extrémité de chacun de ces vecteurs
est un point de la droite y = 2x + 1.
L’ensemble U est l’ensemble des vecteurs dont l’extrémité est sur cette
droite.
Cependant, lorsqu’on additionne deux vecteurs de U le vecteur
obtenu n’a pas son extrémité sur cette droite. Il ne fait pas partie de
U. L’ensemble n’est donc pas fermé pour l’addition.
On observe la même chose pour la multiplication par un scalaire.
Exemple 7.1.3
Soit U = {(x; y; z)| 3x + 2y – z = 0}, un sous-ensemble de l’espace
vectoriel R3. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R3.
En isolant z dans la condition 3x + 2y – z = 0, on a z = 3x + 2y. On
peut alors dire que les vecteurs de U sont de la forme générale :
(x; y; 3x + 2y)
Montrons
Montrons que
que U
U est
est fermé
fermé pour
pourl’addition
la multiplication par un scalaire
UUetest
v = (c; d; 3c + 2d),
Soit
= (a;
b;(a;
3a b;
+ 2b)
k U.
 u vide
R.
3a +et2b).
u =
Soit uu et vque
Montrons
non
Conclusion
où
b, c et Alors
d Alors
En additionnant,
on obtient
:
Ena,multipliant
leR.vecteur
par le scalaire,
on obtient
:
(a;
3a
Enu posant,
parb;
= 1d;et3cy += 2d)
–2 dans la forme générale, on
k+uv ==k(a;
b;exemple,
3a ++ 2b)
2b) x+ (c;
Puisque(1;=
le–2;
sous-ensemble
U
est
que
opérations
obtient
Ce
vecteur
est+non
un
R3les
et ildeux
est également
(a
+–1).
c; bk(3a
+ d;
+ 2b
3c élément
+vide
2d) et de
= (ka;
kb;
+3a
2b))
sont
fermées
sur
le sous-ensemble
U,
on
peut conclure
que
U0.est
un
un
élément
de
U
puisqu’il
satisfait
à
la
condition
3x
+
2y
–
z
=
Par
(a +kb;
c; b3ka
+ d;+ 3(a
==(ka;
2kb)
3. + c) + 2(b + d))
sous-espace
vectoriel
de
R
conséquent,
(1; –2;
 U, somme
et U est satisfont
non vide.à la condition
Les
composantes
du–1)
vecteur
obtenu
3x + 2y – z = 0
U pour u  U et pour tout k 
On peut donc conclure que k u 
R.
toutpour la multiplication
Le sous-ensemble U est donc fermé
par un
Le sous-ensemble U est donc fermé pour l’addition.
scalaire.
S
Exemple 7.1.3
Soit U = {(x; y; z)| 3x + 2y – z = 0}, un sous-ensemble de l’espace
vectoriel R3. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R3.
Donner
une base graphique
et la dimension de ce sous-espace vectoriel, et le
Représentation
représenter graphiquement.
Les
de Uvectoriel
sont les Uvecteurs de la forme (x; y; 3x + 2y). Les
Le vecteurs
sous-espace
opérations
sur les
vecteurspar
permettent d’écrire :
est un plan
passant
(x; y; 3x + 2y) = (x; 0; 3x) + (0; y; 2y)
l’origine.
= x(1; 0; 3) + y(0; 1; 2)
Les vecteurs de U sont donc tous engendrés par les vecteurs (1; 0; 3) et
(0; 1; 2) et ceux-ci sont linéairement indépendants, car en posant
(x; y; 3x + 2y) = (0; 0; 0) on a une solution unique x = 0 et y = 0.
Une base de ce sous-espace vectoriel est :
BU = {(1; 0; 3), (0; 1; 2)}
Puisqu’une base de U contient deux vecteurs, la dimension de
l’espace vectoriel U est 2. Graphiquement, ce sous-espace vectoriel
est un plan dans R3 passant à l’origine.
S
Exercice
Soit U = {(x; y; z)| 4x – 5y + z = 0}, un sous-ensemble de l’espace
vectoriel R3. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R3.
En
Uneisolant
base de
z dans
ce sous-espace
la condition
vectoriel
4x – 5y
est+:z = 0, on a z = –4x + 5y. On
peut alors dire que les vecteurs
BU = {(1;de
0;U–4),
sont
(0;de1;la5)}
forme générale :
Puisqu’une base de U contient
(x; y;deux
–4x vecteurs,
+ 5y)
la dimension de l’espace
vectoriel U est 2. Graphiquement, ce sous-espace vectoriel est un plan
Montronsque
que
estla
fermé
pourl’addition
la
un scalaire
Montrons
UUest
fermé
pour
Donner
base
dimension
demultiplication
ce sous-espacepar
vectoriel.
dans R3une
passant
àetl’origine.
k U.
 u vide
R.
Soit uu etvque
= (a;
u b;
U Uetest
Soit
= (a;
–4ab;+–4a
5b) +et5b).
v = (c; d; –4c + 5d),
Montrons
non
où
b, c et Alors
d de
Alors
R.vecteur
En additionnant,
on la
obtient
: (x; :y; –4x + 5y). Les
Les
U
sont
lespar
vecteurs
de
forme
Ena,vecteurs
multipliant
le
le scalaire,
on
obtient
Conclusion
opérations
sur
vecteurs
k+ uv ==k(a;
b;exemple,
–4a
+ 5b)xpermettent
u posant,
En
parles
1 d;
et –4c
y = d’écrire
dans :la forme générale, on
(a;
+=(c;
+0 5d)
3 et il est également
=
(ka;
kb;
k(–4a
+
5b))
obtient
(1;
0;
–4).
Ce
vecteur
est
un
élément
de
R
=
(a
+
c;
b
+
d;
–4a
+
5b
–
4c
+
5d)
Puisque le sous-ensemble
U(x;est0; non
vide
ety; que
les deux opérations
(x;
y;
3x
+
2y)
=
–4x)
+
(0;
5y)
==(ka;
kb;
5kb)
un
desur
satisfait
laon
condition
4x – 5yque
+ z =U 0.estPar
(a
+U
c;puisqu’il
+sous-ensemble
d;+–4(a
+ c) +àU,
5(b
+
d))
sontélément
fermées
leb–4ka
peut
conclure
un
=
x(1;
0;
–4)
+
y(0;
1;
5)
conséquent,
(1; 0;du
–4)vecteur
R
U,3. etobtenu
U est non
vide. àà la
Les
composantes
satisfont
Les
composantes
du
vecteur
somme
satisfont
la condition
condition
sous-espace
vectoriel
de
Les vecteurs de U sont donc4xtous
engendrés
par
les
vecteurs (1; 0; –4)
4x –– 5y
5y +
+ zz =
= 00
et
(0; 1; donc
5) et ceux-ci sont
linéairement indépendants,
posant
On
pourentout
k
u  uUetetv.car
On peut
peut donc conclure
conclure que
que ku u+v  U pour
U pour
(x;
–4x + 5y) = (0;
0; 0)
on apour
une tout
solution
unique R.
x par
= 0 et
yscalaire.
= 0.
Le y;
sous-ensemble
U est
fermé
la multiplication
un
tout
Le sous-ensemble U est donc fermé pour
l’addition.
SS
Conclusion
Pour montrer qu’un ensemble muni des opérations d’addition et de
multiplication par un scalaire forme un espace vectoriel, il faut
montrer que les dix propriétés sont satisfaites. Cependant, pour
montrer qu’un sous-ensemble d’un espace vectoriel forme un sousespace vectoriel, il suffit de vérifier que le sous-ensemble est non nul
et montrer que les deux opérations sont fermées sur le sousensemble.
Dans R2, les sous-espaces vectoriels sont l’espace R2 lui-même, les
droites passant par l’origine et le sous-ensemble ne contenant que le
vecteur nul.
Dans R3, les sous-espaces vectoriels sont l’espace R3 lui-même, les
plans passant par l’origine, les droites passant par l’origine et le
sous-ensemble ne contenant que le vecteur nul.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature, Section 7.1, p. 179 à 192.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences humaines, Section 7.1, p. 173 à 179.
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature, Section 7.2, p. 192 et 194.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences humaines, Section 7.2, p. 179 et 180.