Équations trigonométriques • Équations élémentaires Deux angles ont même sinus ssi sin x = sin a ils sont supplémentaires x = 180° - a +k.360° équivalents x = a + k.360° Deux angles ont même cosinus ssi cos x = cos a ils sont équivalents opposés x = a + k.360° Deux angles ont même tangente ssi tan x = tan a ils sont équivalents anti supplémentaires x = a + k.180° C.E. : x 90° + k. 180° Exemple 1 sin 2x sin x 4 3 Angles équivalents 2x x 2k 4 3 7 x 2k 12 Angles supplémentaires 2x x 2k 4 3 11 3x 2k 12 11 2k x 36 3 7 12 si k 0 : si k 1 : si k 2 : 11 36 35 x 36 59 x 36 x 11 36 35 36 59 36 Équations trigonométriques • Équations élémentaires • Équations et angles associés Rappels sur les angles associés - sin a = sin (-a) - = cos (-a) = cos ( -a) 2 cos a sin a par les opposés par les supplémentaires par les complémentaires Exemple 2 : sin x cos 2x Par la méthode des angles complémentaires •Solution en utilisant le sinus sin x = sin (π/2 - 2x ) • x = π/2 - 2x 3x = π/2 + 2kπ x = π/6 + 2kπ/3 • x = π – (π/2 - 2x) -x = π/2 + 2kπ x = -π/2 + 2kπ •Solution en utilisant le cosinus cos (/2 – x) = cos 2x /2 – x = 2x 3x = /2 + 2k x = /6 + 2k/3 - (/2 – x) = 2x x = -/2 + 2k Équations trigonométriques • Équations élémentaires • Équations et angles associés • Équations et formules de trigonométrie Exemple 3 : sin 2x 2 sin x En utilisant les formules de duplication 2 sin x . cos x = 2 sin x 2 sin x . ( cos x – 1) = 0 En utilisant la règle du produit nul • sin x = 0 x = k • cos x = 1 x = 2k S = { k , k Z } mise en évidence de 2 sin x Exemple 4 : sin 2x sin 4x 0 • En utilisant Simpson sin 2x sin 4x 2.sin 3x .cos x Nous devons donc résoudre 2 sin 3x cos x = 0 sin 3x = 0 cos x = 0 3x = k x = k 3 x = k/2 k = 0: x = 0 k = 1 : x = /3 k = 2 : x =2/3 k = 3 : x = k = 4 : x = 4/3 K = 5 : x = 5/3 2/3 k/2 /3 0 4/3 5/3 3/2 •En utilisant les angles associés sin 4x = - sin 2x sin 4x = sin (-2x) Angles équivalents 4x = -2x + 2k 6x = 2k x = k/3 Angles supplémentaires 4x = - (-2x) + 2k 2x = + 2k x = /2+ k S = { k/3 , k /2 } k/2 2/3 /3 00 4/3 5/3 3/2 Exemple 5 : sin x = cos 2x En utilisant les formules de Carnot cos 2x = 1 – 2sin2 x sin x = 1 – 2 sin² x 2 sin² x + sin x – 1 = 0 2 X2 + X – 1 = 0 1 3 X 4 X = -1 équation du second degré en sin x = sin x X = -1/2 = sin x S = -/2 +2k ; /6 +2k ; 5/6 +2k , kZ Exemple 5 : sin x cos 2x Par la méthode des angles complémentaires •Solution en utilisant le sinus sin x = sin (π/2 - 2x ) • x = π/2 - 2x 3x = π/2 + 2kπ x = π/6 + 2kπ/3 • x = π – (π/2 - 2x) -x = π/2 + 2kπ x = -π/2 + 2kπ Exemple 6 : sin x + sin 2x + sin 3x = 0 sinx sin 2x sin 3x 0 2 sin 2xcosx sin 2x 0 sin 2x. 2 cos x 1 0 sin 2x 0 k x 2 ou ou 1 cos x 2 2 x k 3 Exemple 7: cos 2x +9 cos x +5 = 0 On remarque que les angles ne sont pas les mêmes! On transforme donc l’énoncé: 2 2 cos 1 9 cos x 5 0 E5 5 5x 5 5F Carnot 2 cos2 x 9 cos x 4 0 On obtient une équation du second degré qui ne pose aucune difficulté ! Les solutions sont : cos x 43 ou 144442 4444 impossible 1 2 cos x x k 2 3 Équations trigonométriques • Équations élémentaires • Équations et angles associés • Équations et formules de trigonométrie • Equations homogènes en sin x et cos x Equations homogènes en sin x et cos x Une équation est homogène en sin x et cos x, de degré n si, pour chacun de ses termes, la somme des puissances de sin x et de cos x égale n. Pour résoudre une équation homogène en sin x et cos x dont les termes ne comportent plus aucun facteur commun en cos x ou en sin x, • on divise les deux membres de l’équation par la plus haute puissance de cos x (ou de sin x); on vérifiera que les solutions de cos x = 0 (ou de sin x = 0) ne sont pas des solutions de l’équation homogène; • on prend ensuite tan x (ou cot x) comme inconnue auxiliaire ; • on résout l’équation en tan x (ou cot x) obtenue. Exemple 8: cos3 x − 3 sin2x cos x = 0 cos x . cos2 x 3 sin2 x 0 mise en évidence cos x 0 ou cos2 x 3 sin 2 x 0 x k 2 cos x = 0 ( x = k ) 2 n’est pas solution: en effet, 1.0 - 3 .1 0 1 3 tan2 x 0 on divise par cos2 x 3 tan x 3 ou 3 tan x 3 x k 6 Équations trigonométriques • Équations élémentaires • Équations et angles associés • Équations et formules de trigonométrie • Equations homogènes en sin x et cos x • a cos x + b sin x = c Première méthode •1er cas : c = 0 ième •2 cas : c est différent de 0 1er cas : c = 0 a ¡ 0 , b ¡ 0 L’équation s’écrit a cos x + b sin x = 0 Elle est homogène et cos x = 0 n’est pas solution ! a sin x cos x b a tan x b On est ramené à une équation élémentaire 2ième cas : c est non nul a ¡ 0 , b ¡ 0 L’équation s’écrit a cos x + b sin x = c cos x b sin x c a sin cos x sin x c cos b On pose tan a cos x.cos sin x.sin c.cos cos x c.cos Méthode générale On remplace sinx et cos x par les formules en t=tan a/2. L’équation se transforme en une équation rationnelle en la variable t: 1 t² 2t a. b c 1 t² 1 t² a c t² 2bt a c 0 x k 2