mathématiques financières i

MATHÉMATIQUES
FINANCIÈRES I
(ACT2025)
Robert Bédard
CHAPITRE I
Intérêt et escompte
L’intérêt et sa mesure
• L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera à un
prêteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certain
temps.
• C'est aussi ce que le prêteur demande à l'emprunteur à titre de
compensation pour ne pas pouvoir utiliser le montant prêté
pendant la durée du prêt.
• Les deux parties doivent se mettre d'accord sur ce montant.
Quelques facteurs agissant sur le
montant d'intérêt demandé:
• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur
Quelques facteurs agissant sur le
montant d'intérêt demandé:
• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur
• Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur
Quelques facteurs agissant sur le
montant d'intérêt demandé:
• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur
• Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur
• L'inflation
Quelques facteurs agissant sur le
montant d'intérêt demandé:
• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur
• Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur
• L'inflation
• Autres conditions afférentes: disposition permettant à
l'emprunteur de régler son prêt plus
tôt, …
Exemple 1:
Alexandre emprunte 20000$ à la
banque pour l’achat d’une automobile.
Il rembourse ce prêt en faisant 48
paiements mensuels de 450$ à la fin
de chaque mois. L’intérêt payé par
Alex à la banque sera
48 X 450$ - 20000$ = 1600$.
(Montant remboursé) - (montant emprunté)
Exemple 2:
Bobby emprunte 5000$ à Cléo. Il
rembourse ce prêt en faisant deux
paiements: 2000$ après deux ans et
5000$ après six ans. L’intérêt payé
par Bobby à Cléo sera
(2000$ + 5000$) - 5000$ = 2000$.
(Montant remboursé) - (montant emprunté)
Une transaction financière banale est l'investissement
d'une somme d'argent à intérêt.
Il suffit de penser à un dépôt dans un compte d’épargne
à la banque.
Dans une telle situation, le montant initial est appelé le
principal ou le capital, le montant total reçu après une période de
temps est appelé la valeur accumulée et la différence entre les
deux, l'intérêt.
CONVENTION:
• Nous désignerons par
: le temps écoulé depuis la date de
l'investissement avec comme convention que
signifie qu'une
année s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de
temps est appelée la période (de capitalisation) et comme nous
l'avons indiqué, celle-ci sera pour l’instant d'une année à moins
d'avis contraire.
CONVENTION:
• Nous désignerons par
: le temps écoulé depuis la date de
l'investissement avec comme convention que
signifie qu'une année
s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de temps est
appelée la période (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqué, celleci sera pour l’instant d'une année à moins d'avis contraire.
• Nous utiliserons le dollar comme unité monétaire dans ce cours. Mais
nous aurions tout aussi bien pu utiliser l'euro, le yen,... Ceci n'a aucune
incidence pour les concepts présentés.
Il existe plusieurs mesures de l’intérêt.
Par exemple,
• Taux effectif d’intérêt
Par exemple,
• Taux effectif d’intérêt
• Taux nominal d’intérêt
Par exemple,
• Taux effectif d’intérêt
• Taux nominal d’intérêt
• Taux effectif d’escompte
Par exemple,
• Taux effectif d’intérêt
• Taux nominal d’intérêt
• Taux effectif d’escompte
• Taux nominal d’escompte
Par exemple,
• Taux effectif d’intérêt
• Taux nominal d’intérêt
• Taux effectif d’escompte
• Taux nominal d’escompte
• Taux instantané d’intérêt ou force de l’intérêt
L’intérêt peut aussi croître de plusieurs
façons.
Exemples de formes de capitalisation
communes de l’intérêt:
• Intérêt simple
Exemples de formes de capitalisation
communes de l’intérêt:
• Intérêt simple
• Intérêt composé
Exemples de formes de capitalisation
communes de l’intérêt:
• Intérêt simple
• Intérêt composé
• Escompte simple
Exemples de formes de capitalisation
communes de l’intérêt:
•
•
•
•
Intérêt simple
Intérêt composé
Escompte simple
Escompte composé
Pour définir tous ces concepts, il nous
faut premièrement parler de la
fonction de capitalisation.
Considérons l'investissement de 1$ de
principal et désignons alors par
: le
montant total accumulé au temps . Alors
est la
fonction de capitalisation.
Exemple 3: (Intérêt simple)
Exemple 4: (Intérêt composé)
Exemple 5:
Exemple 6:
Propriétés anticipées de la
fonction de capitalisation:
Propriétés anticipées de la
fonction de capitalisation:
•
est une fonction croissante
Propriétés anticipées de la
fonction de capitalisation:
•
est une fonction croissante
•
est une fonction continue si
l'intérêt croit continûment
Considérons l'investissement de $ de
principal et désignons alors par
: le
montant total accumulé au temps . Alors
est la
fonction de accumulation.
CONVENTION:
Nous supposerons dans ce cours à
moins d’avis contraire que
Taux effectif d’intérêt pour la 1e période:
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt
gagné pendant la première période sur
le montant investi initialement. En
formule, nous obtenons
Taux effectif d’intérêt pour la 1e période:
Ce taux est le rapport du montant
d’intérêt gagné pendant la première
période sur le montant investi au début.
En formule, nous obtenons
où
est l’intérêt gagné dans la 1e
période.
Taux effectif d’intérêt pour la
e
période:
Ce taux est le rapport du montant
d’intérêt gagné pendant la e période
sur le montant investi au début de la
période. En formule, nous obtenons
où
est l’intérêt gagné dans la
période.
e
e
Si nous connaissons les taux effectifs
d’intérêt pour toutes les périodes, de la 1e
à la e , et le capital initial, alors nous
pouvons calculer le montant accumulé à
la fin de la
e
période, i.e.
En effet,
En effet,
En effet,
et ainsi de suite
Exemple 3:
Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e
année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la
4e année. Si le principal investi est 8000$, alors
• le montant accumulé après 4 ans est
Exemple 3:
Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e
année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la
4e année. Si le principal investi est 8000$, alors
• le montant accumulé après 4 ans est
Exemple 3:
Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e
année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la
4e année. Si le principal investi est 8000$, alors
• le montant accumulé après 4 ans est
• le montant d’intérêt gagné pendant la 3e année est
Exemple 3:
Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e
année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la
4e année. Si le principal investi est 8000$, alors
• le montant accumulé après 4 ans est
• le montant d’intérêt gagné pendant la 3e année est
c’est-à-dire
.
Intérêt simple: (Description)
Considérons l'investissement de 1$ pour
lequel le montant d'intérêt gagné à
chacune des périodes est constant,
disons égal à
.
Noter que c’est le montant d'intérêt qui
est constant et non le taux effectif
d'intérêt!
Calculons la fonction de capitalisation.
et ainsi de suite pour obtenir
Donc la fonction de capitalisation est
Si nous considérons plutôt la fonction
d’accumulation, nous aurons
Dans ce qui précède,
désigne le taux d’intérêt simple. Nous avons
Calculons le taux effectif d’intérêt pour
chaque période:
Ainsi de suite, nous obtenons
Remarque
L’intérêt simple est surtout utilisé
dans le court terme (semaine, mois)
justement parce que le taux effectif
d’intérêt décroit avec les périodes et
ceci n’est pas intéressant comme
investissement.
Intérêt composé: (Description)
Considérons l'investissement de 1$ pour
lequel nous versons de l’intérêt sur le
principal, mais aussi sur l’intérêt
accumulé. Nous parlons d’intérêt sur
l’intérêt.
Calculons la fonction de capitalisation.
et ainsi de suite pour obtenir
Donc la fonction de capitalisation est
Si nous considérons plutôt la fonction
d’accumulation, nous aurons
Calculons le taux effectif d’intérêt pour
chaque période:
Ainsi de suite, nous obtenons
Remarque
L’intérêt composé est surtout utilisé
dans le long terme (années) justement
parce que le taux effectif d’intérêt est
constant avec les différentes périodes.
À moins d’avis contraire, nous allons
toujours supposer que nous avons de
l’intérêt composé!