CONVERSION DE TAUX

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CONVERSIONDETAUX
Sommaire
1.Vocabulaire..............................................................................................................................1
2.Équivalencedetaux.................................................................................................................1
3.Exercice....................................................................................................................................4
1. Vocabulaire
 Datesd'intérêt:datesoùlesintérêtssontversés;
 Périoded'intérêt:intervalledetempsentredeuxdatesd'intérêt;
 Tauxpériodique:tauxd'intérêtréelparpérioded'intérêt;
 Capitalisation:lefaitd'ajouterlesintérêtsaucapital;
 Tauxnominal:Cetaux,calculésurunebaseannuelle,nesertqu'àdéterminerle
tauxpériodique.C'estgénéralementcetauxquiestaffiché.Ildevraittoujoursêtre
accompagnéd'uneprécisionsurletypedecapitalisation.Parexemple,untauxde
"8%capitalisésemestriellement"signifiequelapérioded'intérêtestlesemestreet
queletauxpériodique(semestriel)est%
4%.Letauxnominalnecorrespond
pasautauxannuelréel,saufsilacapitalisationestannuelle;
 Tauxeffectif:tauxd'intérêtannuelréel.
2. Équivalencedetaux
Imaginezlasituationsuivante:unebanqueAvousoffreuntauxannueleffectifde6%;
unebanquevousoffreuntauxpériodiquede1,5%partrimestre.Commentferiez‐
vouspourdéterminerquellebanqueoffrelemeilleurrendement?Pourcomparerdeux
tauxd'intérêt,ilfautpouvoirlesévaluersurunemêmepériode.Parexemple,nous
pouvonstrouverletauxannuelquiestéquivalentàuntauxtrimestrielde1,5%et
vérifiers’ilestplusélevéque6%.Cetteconversiondoitsefaireenrespectantlavaleur
quiseraitaccumuléeàuntauxdonné.
Définition
Deuxtauxsontditséquivalentssi,pourunplacementinitialidentiquesurun
mêmeintervalledetemps(uneannéecomplète,parexemple),lesvaleurs
acquisesparleplacementinitialcalculéesauxdeuxtauxsontégales.

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ConsidéronslecasoùnousversonsunmontantV0dansunbanqueoffrantuntaux
trimestriel.Auboutd’uneannéecomplète,c’est‐à‐dire4trimestres,lavaleur
acquisesera:
1  
Supposonsmaintenantqu'uneautrebanqueoffreuntauxannuel.Auboutd’une
annéecomplète,lavaleuracquisedumêmeV1  imontantsera1  .
Selonladéfinition,lestauxetsontéquivalentssi
1  
1  
⇔1
1
Remarquezquelavaleurinitialeduplacementn’importepasdutout.Cetterelation
permetdepasserd’untauxtrimestrielàuntauxannueléquivalent,oul’inverse.
Exemple1
Labanquevousoffreuntauxannuel(effectif)de6%;labanquevousoffreuntaux
de1,5%partrimestre.Laquelledesdeuxbanquesoffrelemeilleurrendement.
Solution
Labanqueoffreuntauxtrimestrielde1,5%.Letauxannueléquivalent(outaux
effectif)àcetauxpeutêtreobtenuparlarelation
1  i1i
1,0151i
i  1,015 1  0,06136355
Labanque,avecsontauxannuel(effectif)de6,136355%offredoncunmeilleur
rendementquelabanque.
Solutionalternative
Labanqueoffreuntauxeffectifde6%.Letauxtrimestrieléquivalentestaussiobtenu
delarelation:
1  i1i
1  i 1  0,06  1,06
1  i
 1,06
1i
  1,06
i  1,06
 1  0,014673846i. e1,4673846%

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Cetauxétantinférieurautauxtrimestrieloffertparlabanque,onarriveàlamême
conclusion.
Leraisonnementquenousvenonsd’effectuers’appliqueàtouteslesconversionsde
taux.Untauxpériodiquepeuttoujoursêtreconvertipourvuquelarelation
d'équivalencedestauxsoitrespectée:
Relationd’équivalencedestaux
1  1
1 1
Ondoits'assurerquecetterelationestsatisfaitepourquelavaleuraccumuléed'un
placementde1$,capitaletintérêts,àlafind'uneannéecomplètesoitlamêmequel
quesoitlemodedecapitalisation.
Exemple2
Quelestletauxmensueléquivalentàuntauxtrimestrielde2,5%?
Solution
Nouscherchonsàtrouversachantque 2,5%.Selonlarelation
d'équivalencedestaux,l'égalité
1  1
doitêtresatisfaite.Ilresteàisoler:
1   1
1    1  2,5%
1  
1,025
1   
1,025
1
 1,025
 1,025
1
  0,8265% 

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Exemple3
Quelestletauxmensueléquivalentàuntauxannuelde8%,capitalisationsemestrielle
?
Solution
D'abord,ilfautinterpréterletauxde8%commeétantnominalpuisqu'ilest
accompagnéd'uneprécisionsurletypedecapitalisation.Untauxde8%,capitalisation
semestrielle,représenteenréalitéuntauxde4%semestriel(%
 4%,
semestres/année),sionlaisselesintérêtssecapitaliser.Nouscherchonsdoncà
trouversachantque 4%.Selonlarelationdel'équivalencedestaux,
l'identité
1   1
doitêtresatisfaite.Ilresteàisoler:
1   14%
1  
1,04
1   
1,04
1
 1,04
 1,04
1
  0,6558%
3. Exercice
Soituntauxannuelde15%.Trouverlestauxpériodiques,
,quiluisont
équivalents.
(rép:7,23805%;3,55581%;1,17149%)