Algèbre linéaire - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

Algèbre linéaire
Cours
Serge Dumont
Université de Picardie Jules Verne
2013-2014
Serge Dumont
Algèbre linéaire
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1
Espaces Vectoriels
2
Bases – Dimension
3
Applications linéaires
4
Matrices
5
Systèmes linéaires – Déterminants d’ordre 2 et 3
6
Déterminants
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Introduction
Introduction
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Espaces Vectoriels
Chapitre 1
Espaces vectoriels
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
I – Structure d’un espace vectoriel
1 – Exemples
a) Ensemble des vecteurs du plan ou de l’espace usuel à 3 dimensions.
b) IR, IR2 , IR3 , ..., IRn .
c) Ensemble des fonctions définies sur un intervalle I de IR à valeurs dans IR.
d) Ensemble des complexes C.
e) Ensembles des polynômes à coefficients réels ou complexes, muni de l’addition
(loi interne) et de la multiplication par un réels (loi externe).
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
2 – Espaces vectoriels - Définition
a) Définition
Définition 1
Un ensemble E est un espace vectoriel sur un autre ensemble K si :
1
il est muni d’une loi de composition interne, notée « + » (c.à.d. une application E × E → E) vérifiant (propriété de
groupe commutatif) :
1
2
3
4
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Pour tous →
u, →
v et →
w éléments de E : (→
u +→
v)+→
w =→
u + (→
v +→
w) ;
−
→
−
→
−
→
−
−
−
Il existe un élément de E, notée 0E et appelé vecteur nul, vérifiant, pour tout →
u de E : →
u + 0E = 0E + →
u ;
−
→
−
→
−
→
→
−
→ −
−
−
−
Pour tout →
u ∈ E, il existe un unique élément , notée −u, de E vérifiant : →
u + −u = −u + →
u = 0E (−u est
−
appelé l’opposé de →
u);
−
−
−
−
−
−
Pour tous →
u et →
v éléments de E : →
u +→
v =→
v +→
u ;
il est muni d’une loi de composition externe à opérateurs dans K (i.e. E × K → E), notée « · », appelée
« multiplication par un scalaire », ayant les propriétés suivantes :
−
−
Pour tous λ, µ éléments de K, et tous →
u et →
v éléments de E :
3
−
−
Si λ est dans K, →
u est dans E, alors λ · →
u est dans E ;
−
−
(λµ) · →
u = λ · (µ · →
u);
→
−
→
−
→
−
→
−
λ · (u + v ) = λ · u + µ · v ;
4
−
−
−
(λ + µ) · →
u = λ·→
u +µ·→
v ;
5
Il existe un élément de K, appelé éléments neutre pour la multiplication par un scalaire, noté 1K , tel que :
1
2
−
−
1K · →
u =→
u.
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
b) Remarques
1
On oubliera souvent le « · » pour la multiplication par un scalaire.
2
Le 1-2 entraine qu’un espace vectoriel est non vide.
3
Les éléments de E sont appelés vecteurs. Dans la suite, si il n’y a pas
d’ambiguïté, on dira « espace vectoriel » au lieu de « espace vectoriel sur
K », ou alors « K-espace vectoriel ».
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
c) Espaces vectoriels fondamentaux
Les ensembles IRn (qui sont des IR-espaces vectoriels), et les ensembles Cn qui
sont des IR-espaces vectoriels mais aussi des C-espaces vectoriels.
d) Vecteurs colinéaires
Définition 2
−
−
On dit que →
u et →
v sont colinéaires si il existe un scalaire α (dans K) tel que
→
−
→
−
→
−
−
u = α · v (ou v = α · →
u ).
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
e) Combinaisons linéaires
Définition 3
→, −
→
−
→
On appelle combinaison linéaire des vecteurs (−
u
1 u2 , ..., un ) tout vecteur
s’écrivant sous la forme
→+λ ·−
→
−
→
λ1 · −
u
1
2 u2 + ... + λn · un =
n
X
−
λi · →
ui .
i=1
où les λi sont des éléments de K.
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
3 – Propriétés
a) Régularité
Proposition 4
−
−
−
−
−
−
−
Pour tous →
u, →
v et →
w éléments de E, l’égalité →
u +→
v =→
u +→
w entraine que
→
−
→
−
v = w.
−
→ −
→
b) Pour tout λ élément de K, λ · 0E = 0E .
−
→
−
−
c) Pour tout élément →
u de E : 0 · →
u = 0E .
−→
−
−
d) Pour tout →
u de E : (−1) · →
u = −u.
Fin cours 1
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
4 – Sous-espace vectoriel
a) Définition
Définition 5
Un sous-ensemble F d’un espace vectoriel de E est appelé sous-espace vectoriel
de E si il a une structure d’espace vectoriel pour les opérations définies sur E.
b) Caractérisation
Proposition 6
F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si il est non vide et si, pour
−
−
−
−
tous λ, µ éléments de K, et tous les →
u, →
v éléments de F , λ→
u + µ→
v est dans F .
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
Remarque : certains cours prennent cette caractérisation comme définition de
sous-espace vectoriel.
Preuve de la proposition :
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-
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
c) Proposition
Proposition 7
−
→
F = {0E } est un sous-espace vectoriel de E.
Preuve :
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-
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
d) Exemples de sous-espaces vectoriels
1
L’ensemble des fonctions paires sur IR est un sous-espace vectoriel de
l’ensemble des fonctions définies sur IR (de même celui des fonctions
impaires).
2
L’ensemble des éléments de IR2 (qui est un IR-espace vectoriel) de la forme
{(x, 0), x ∈ IR}.
3
De même celui des éléments de IR2 de la forme {(x, 4x), x ∈ IR}.
Par contre, {(x, 4x + 1), x ∈ IR} n’est pas un sous-espace vectoriel de IR2 .
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
e) Proposition
Proposition 8
L’intersection de 2 sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.
Preuve :
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-
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Espaces Vectoriels
Structure d’un espace vectoriel
f) Remarque
La réunion de 2 sous-espaces vectoriels n’est pas en général un sous-espace
vectoriel.
Exemple : si F = {(x, 0), x ∈ IR} et G = {(0, x), x ∈ IR}, alors
F ∪ G = {(x, 0) ou (0, x), x ∈ IR}.
−
−
Si on prend →
u = (x, 0) et →
v = (0, x) qui sont dans l’intersection alors
→
−
→
−
λ u + µ v = (λx, µx) n’est pas dans F ∪ G si λ 6= 0, µ 6= 0 et x 6= 0.
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Espaces Vectoriels
Sous-espaces vectoriels remarquables
II - Sous-espaces vectoriels
remarquables
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Espaces Vectoriels
Sous-espaces vectoriels remarquables
II - Sous-espaces vectoriels remarquables
1 – Sous-espace vectoriel engendré par une partie
a) Proposition-Définition
Proposition–Définition 9
Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel E. L’ensemble de toutes les
combinaisons linéaires d’éléments de A est un sous-espace vectoriel de E, appelé
sous-espace vectoriel engendré par A, noté Vect(A).
Exemples :
1
A = {(1, 0)} alors V ect(A) = {(x, 0), x ∈ IR}.
2
A = {(1, 0), (1, 4)} alors V ect(A) = IR2 .
3
V ect(0E ) = {0E }.
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Espaces Vectoriels
Preuve de la proposition :
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Sous-espaces vectoriels remarquables
-
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Espaces Vectoriels
Sous-espaces vectoriels remarquables
b) Proposition
Proposition 10
Le sous-espace vectoriel engendré par A est l’intersection de tous les sous-espaces
vectoriels contenant A (c’est le plus petit sous-espace vectoriel contenant A).
Preuve :
Serge Dumont
-
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Espaces Vectoriels
Sous-espaces vectoriels remarquables
2 – Somme de sous-espaces vectoriels
a) Proposition-Définition
Proposition–Définition 11
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. La somme de F et G, notée
−
−
−
F + G, est l’ensemble des vecteurs pouvant s’écrire sous la forme →
u +→
v , avec →
u
→
−
élément de F et v élément de G. C’est un sous-espace vectoriel.
Preuve :
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-
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Espaces Vectoriels
Sous-espaces vectoriels remarquables
Exemples :
1
Si F = V ect{(1, 0, 0), (0, 1, 0)} et G = V ect{(3, 1, 0)} alors F + G = IR2 vu
comme un sous-espace vectoriel de IR3 , et F + G = F .
2
Si F = V ect{(1, 0, 0)} et G = V ect{(0, 1, 0)}, alors F + G = IR2 .
−
Remarque : La décomposition d’un vecteur →
w de F + G peut ne pas être
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
unique : il peut exister u1 , u2 dans F , u1 6= u2 , →
v1 , →
v2 dans G, →
v1 6= →
v2 tels que
→
−
−
→
→
−
−
→
→
−
w =u +v =u +v .
1
Serge Dumont
1
2
2
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Espaces Vectoriels
Sous-espaces vectoriels remarquables
b) Proposition
Proposition 12
Le sous-espace F + G est le sous-espace vectoriel engendré par la réunion F ∪ G.
Preuve :
-
Fin du cours 2
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Espaces Vectoriels
Sous-espaces vectoriels remarquables
3 – Somme directe de sous-espaces vectoriels
a) Définition
Définition 13
−
→
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E tels que F ∩ G = {0E }, leur
somme est dite directe, et est notée F ⊕ G.
b) Proposition
Proposition 14
−
La somme directe de F et G est directe si et seulement si tout élément →
w de
→
−
→
−
→
−
→
−
F + G s’écrit de façon unique sous la forme w = u + v , où u est un élément
−
de F et →
v est un élément de G.
Preuve :
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-
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Espaces Vectoriels
Sous-espaces vectoriels remarquables
c) Exemples
1
E1 = V ect{(1, 0), (0, 1)}, F = V ect{(1, 1)}. Somme non directe.
2
E2 = V ect{(1, 0)}, F = V ect{(1, 1)}. Somme directe.
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Espaces Vectoriels
Sous-espaces vectoriels remarquables
4 – Sous-espaces vectoriels supplémentaires
a) Définition
Définition 15
Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont dits supplémentaires si leur
somme est directe et égale à E.
Bsupplémentaire 6= complémentaire. En particulier, un sous-espace vectoriel
peut avoir une infinité de supplémentaire, alors qu’un sous-ensemble admet un
unique complémentaire.
Exemples :
1
Si on considère E2 et F de l’exemple précédent et E = IR2 : la somme est
directe.
2
Si E = IR3 , la somme n’est pas directe.
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Espaces Vectoriels
Sous-espaces vectoriels remarquables
b) Proposition
Proposition 16
Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont supplémentaires si et seulement si
−
−
−
tout élément de E s’écrit de façon unique sous la forme →
u +→
v avec →
u élément
−
de F et →
v élément de G.
−
Preuve : identique à la précédente, en considérant →
w ∈ E (au lieu de
→
−
w ∈ F ⊕ G).
K
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Bases – Dimension
Chapitre 2
Bases – Dimension
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Bases – Dimension
Systèmes libres et générateurs, bases
Dans tout le chapitre, K désignera l’ensemble des nombres réels ou celui des
nombres complexes. Les éléments de K seront appelés scalaires. Les propriétés des
opérations usuelles sur ces ensembles sont supposées connues.
I – Systèmes libres et générateurs, bases
1 – Système de vecteurs
Définition 17
Soit E un espace vectoriel. On appelle système ordonné fini (le plus souvent
seulement système) de vecteurs toute liste finie d’éléments de E. On le notera
→, ..., −
→
−
(−
u
u→
1
n ), ou ( ui )1≤i≤n .
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Bases – Dimension
Systèmes libres et générateurs, bases
2– Système générateur
Définition 18
→, ..., −
On dit que (−
u
u→
1
n ) est un système générateur de E si tout vecteur de E est
−
une combinaison linéaire des vecteurs (→
u)
.
i 1≤i≤n
Remarque 19
→, ..., −
Le système (−
u
u→
1
n ) est un système générateur de E si et seulement si le
−
sous-espace vectoriel engendré par l’ensemble (→
ui )1≤i≤n est E lui-même.
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Bases – Dimension
Systèmes libres et générateurs, bases
Proposition 20
Tout système contenant un système générateur est générateur.
Preuve :
-
Remarque 21
Si un système est générateur, tout système obtenu en changeant l’ordre des
vecteurs l’est aussi.
Définition 22
On dit qu’un système générateur est minimal si tout système obtenu en lui
enlevant un vecteur n’est pas générateur.
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Bases – Dimension
Systèmes libres et générateurs, bases
3 – Système libre, système lié
Définition 23
→, ..., −
On dit qu’un système (−
u
u→
1
n ) est libre si la seule combinaison linéaire des
−
→
−
→
vecteurs (u1 , ..., un ) égale au vecteur nul est celle où tous les coefficients sont
nuls, c’est-à-dire :
i=n
X
−
λi →
ui = 0E ⇒ λ1 = λ2 = ... = λn = 0K .
i=1
→, ..., −
On dit aussi que les vecteurs (−
u
u→
1
n ) sont linéairement indépendants.
Dans le cas contraire, on dit que le système est lié ou que les vecteurs
→, ..., −
(−
u
u→) sont linéairement dépendants.
1
n
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Bases – Dimension
Systèmes libres et générateurs, bases
Remarque 24
→, ..., −
Les vecteurs (−
u
u→
1
n ) sont liés (ou linéairement dépendants) si il existe
λ1 , λ2 , ..., λn dont au moins un de la liste est non nul tel que :
i=n
X
−
→
−
λi →
ui = 0E .
i=1
Remarque 25
Ces notions ne dépendent pas de l’ordre des vecteurs.
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Bases – Dimension
Systèmes libres et générateurs, bases
Proposition 26
Un système ne contenant qu’un seul vecteur est lié si et seulement si ce vecteur
est nul.
−
→ −
→
Preuve : Vient de λ0E = 0E pour λ 6= 0.
Proposition 27
−
−
Le système (→
u,→
v ) est lié si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
→+λ −
→
Preuve : Vient de λ1 −
u
1
2 u2 = 0 pour λ1 et/ou λ2 6= 0. Supposons que λ2 est
→ = − λ1 −
→ et les 2 vecteurs sont bien colinéaires.
u
non nul, alors −
u
2
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λ2
1
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Bases – Dimension
Systèmes libres et générateurs, bases
Proposition 28
1
Tout système contenu dans un système libre est libre.
2
Un système est lié si et seulement si un de ses vecteurs (au moins) est
combinaison linéaire des autres.
3
Si le vecteur nul appartient au système ou si deux vecteurs du système sont
égaux, le système est lié.
Définition 29
Un système libre est dit maximal si aucun système obtenu en lui ajoutant un
vecteur n’est libre.
Fin cours 3
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Bases – Dimension
Systèmes libres et générateurs, bases
4 – Base
Définition 30
→, ..., −
→
−
Un système B(−
u
u→
1
n ) est une base de E si tout vecteur v de E s’écrit de
façon unique sous la forme :
→
−
v =
i=n
X
−
λi →
ui .
i=1
Définition 31
−
Le scalaire λi de la définition précédente est appelé la composante de →
v suivant
→
−
−
ui et (λ1 , ..., λn ) les composantes de →
v dans la base B.
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Bases – Dimension
Systèmes libres et générateurs, bases
Théorème 32
Un système est une base si et seulement si il est libre et générateur.
Exemples : bases canoniques de IRn et Cn .
Preuve :
Serge Dumont
-
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Bases – Dimension
Propriétés
II – Propriétés
Proposition 33
1
Tout système générateur minimal est libre
2
Tout système libre maximal est générateur.
Preuve :
-
Proposition 34
→, ..., −
Soit A(−
u
u→
1
n ) un système d’un espace vectoriel E. On a l’équivalence entre :
1
A est une base de E ;
2
A est un système générateur minimal ;
3
A est un système libre maximal.
Preuve :
-
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Bases – Dimension
Propriétés
Proposition 35 (Lemme de Steinitz (1871-1928))
−
Si →
v1 , ..., −
v→
m sont des vecteurs linéairement indépendants d’un espace vectoriel E
→, ..., −
engendré par −
u
u→, alors, m ≤ n, et, à une permutation près des vecteurs u ,
1
n
k
−
−−−→
−
→
la famille {→
v1 , ..., −
v→
m , um+1 , ..., un } engendre E.
Preuve de la proposition :
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-
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Bases – Dimension
Dimension d’un espace vectoriel
III – Dimension d’un espace vectoriel
Proposition–Définition 36
Si un espace vectoriel E admet une base de cardinal n, toutes ses bases ont pour
cardinal n. Cet entier n est appelé la dimension de l’espace vectoriel. On note
dimE = n. Par convention, on dira que l’espace vectoriel réduit au seul vecteur
nul a pour dimension 0.
Exemples :
1
Si n = 1, on dit que E est une droite vectorielle.
2
Si n = 2, on dit que E est un plan vectoriel.
Preuve de la proposition :
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Bases – Dimension
Dimension d’un espace vectoriel
Proposition 37
→, ..., −
Si (−
u
u→
1
n ) est un système libre d’un espace vectoriel E, il est une base du
sous-espace vectoriel qu’il engendre, qui est donc de dimension n.
Preuve : Evident puisqu’il est libre par hypothèse, et générateur par construction
de l’espace vectoriel engendré.
Théorème 38 (Théorème de la base incomplète)
−
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n, muni d’un système (→
v1 , ..., −
v→
m)
→, ..., −
→) est un système libre de E, il existe
générateur (m > n) et p < n. Si (−
u
u
1
p
→
−
→
−
→
−
→
n − p vecteurs (−
u−
p+1 , ..., un ) tels que B(u1 , ..., un ) soit une base de E. On dit que
→, ..., −
→) pour obtenir une base de E.
l’on a complété (−
u
u
1
Preuve :
-
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p
Fin du cours 4
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Bases – Dimension
Dimension d’un espace vectoriel
Proposition 39
Si E est un espace vectoriel de dimension finie n, tout sous-espace vectoriel de E
est de dimension finie inférieure ou égale à n.
Proposition 40
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de E tels que
F ⊂ G , on a l’équivalence :
F = G ⇐⇒ dimF = dimG.
Proposition 41 (Existence d’un supplémentaire)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace vectoriel de E
admet un supplémentaire.
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Bases – Dimension
Dimension d’un espace vectoriel
Proposition 42 (Sous-espaces supplémentaires et dimension)
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un espace vectoriel
E de dimension finie, alors
dim(E) = dimF + dimG
Preuve :
-
Proposition 43
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un espace
vectoriel E, alors
dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G)
Preuve :
-
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Bases – Dimension
Dimension d’un espace vectoriel
Proposition 44 (Caractérisation d’une somme directe de sous-espaces vectoriels
supplémentaires)
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie
E, alors E = F ⊕ G si et seulement si F ∩ G = {0E } et dimF + dimG = dimE.
Preuve :
-
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Bases – Dimension
Changement de base
IV – Changement de base
1 – Introduction – Exemple
−
−
−
a) Exemple : Dans IR3 , on considère la base canonique B(→
e1 , →
e2 , →
e3 ) et le
−
→
−
→
−
→
système formé des vecteurs u1 = (1, −1, 0), u2 = (0, 2, 1) et u3 = (−1, 0, 2). On
peut montrer que ce système est une base de IR3 , que l’on notera B 0 .
→
−
Soit un vecteur V = (x, y, z) de IR3 . Cela signifie que ce vecteur (qui est
intrinsèque et ne dépend donc pas de la base) s’écrit donc dans la base canonique :
→
−
−
−
−
V =x·→
e1 + y · →
e2 + z · →
e3 .
Mais ce vecteur peut aussi s’écrire dans la base B 0 . Dans cette nouvelle base, il
aura les coordonnées (X, Y, Z), c’est à dire que :
→
−
−
−
−
→+Y ·−
→+Z ·−
→.
V =x·→
e1 + y · →
e2 + z · →
e3 = X · −
u
u
u
1
2
3
Problème : comment calculer de façon systématique (X, Y, Z) en fonction de
(x, y, z) (et inversement).
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Bases – Dimension
Changement de base
b) Proposition :
Proposition 45
−
−
→ −
→
−
→
0 −
Soient B(→
e1 , →
e2 , ..., −
e→
n ) et B (u1 , u2 , ..., un ) deux bases d’un espace vectoriel E de
dimension finie n. Pour tout j tel que 1 ≤ j ≤ n , on note par (aij )1≤i≤n les
−
composantes des vecteurs →
u dans la base B, c’est à dire que
j
→
−
−
−
uj = a1j →
e1 + a2j →
e2 + ... + anj −
e→
n =
i=n
X
−
aij →
ei .
i=1
→
−
Alors, si un vecteur V a pour composante (x1 , x2 , ..., xn ) dans la base B et
(X1 , X2 , ..., Xn ) dans la base B 0 , on a pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ n :
xi =
j=n
X
aij Xj .
j=1
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Bases – Dimension
Changement de base
Preuve : On écrit
→
−
−
−
V = x1 →
e1 + ... + xi →
ei + ... + xn −
e→
n
→ + ... + X →
−
−
→
= X1 −
u
1
j uj + ... + Xn un
= X1
−
=→
e1
n
X
−
ai1 →
ei + ... + Xj
n
X
i=1
i=1
n
X
n
X
−
a1j Xj + ... + →
ei
j=1
−
aij →
ei + ... + Xn
n
X
−
ain →
ei
i=1
aij Xj + ... + −
e→
n
j=1
n
X
anj Xj
j=1
et on en déduit par identification que
xi =
j=n
X
aij Xj .
j=1
Fin du cours 5
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Bases – Dimension
Changement de base
2 – Ecriture matricielle, matrice de passage
a) Ecriture matricielle
Pour traduire les égalités ci-dessus, on adopte l’écriture suivante :








x1
..
.
..
.
xn


a11
a12
...
a1n
 
 
  a21
=
  ..
  .

an1
a22
..
.
...
..
.
a2n
..
.
an2
...
ann


X1

.. 



 . 
 . 
 . 
 . 

Xn
qui donne les anciennes composantes en fonction des nouvelles, si on considère
que B est la base de départ et B 0 la nouvelle base.
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Bases – Dimension
Changement de base
b) Définition- proposition
Proposition–Définition 46
La matrice définie par



P =

a11
..
.
...
..
.
a1n
..
.
an1
...
ann





est appelée matrice de passage de la base B à la base B 0 .
−
Sa j-ème colonne est constituée des composantes de →
uj dans B.
Si on note respectivement CB et CB0 la matrice colonne des composantes d’un
vecteur dans respectivement B et B 0 , on notera :
CB = P CB0 .
Cette notation sera justifiée au V du chapitre 3 – Applications linéaires.
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Bases – Dimension
Changement de base
c) Proposition
Proposition 47
Si on note PB,B0 la matrice de passage de la base B à la base B 0 , alors cette
matrice est inversible, et
−1
PB,B
0 = PB 0 ,B .
(son inverse est la matrice de passage de la base B 0 à la base B).
Preuve : En effet, pour calculer PB0 ,B , il suffit de calculer les composantes des
vecteurs de l’ancienne base dans la nouvelle (au contraire de ce qu’on avait fait
précédemment). Cela est toujours possible puisque on a une base, donc un
système générateur.
Ensuite, le produit PB0 ,B PB,B0 est la matrice de passage de la base de la nouvelle
base à elle-même, donc c’est la matrice identité, donc PB0 ,B est l’inverse de PB,B0 .
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Applications linéaires
Chapitre 3
Applications linéaires
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Matrices
Chapitre 4
Matrices
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Systèmes linéaires – Déterminants d’ordre 2 et 3
Chapitre 5
Systèmes linéaires
Déterminants d’ordre 2 et 3
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Déterminants
Chapitre 6
Déterminants
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